淺談構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

杜少鋒

[摘要]構(gòu)造法是數(shù)學(xué)解題中常用的方法之一，適用于一些難以運(yùn)用定向思維方法求解的數(shù)學(xué)問題，其本質(zhì)就是利用已知數(shù)學(xué)關(guān)系式和數(shù)學(xué)理論，構(gòu)造出滿足條件的數(shù)學(xué)對象.數(shù)學(xué)構(gòu)造法是一種極具創(chuàng)新性和技巧性的數(shù)學(xué)方法，往往會給學(xué)生解題帶來眼前一亮的效果.

[關(guān)鍵詞]初中數(shù)學(xué)構(gòu)造法實踐應(yīng)用

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2015）140043

解題思路是解決數(shù)學(xué)問題的核心，只有學(xué)生具有清晰明了的解題思路，才會取得顯著的解題效果.數(shù)學(xué)構(gòu)造法利用題設(shè)與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)學(xué)問題與學(xué)生熟知的數(shù)學(xué)概念、定理、公式等知識聯(lián)系起來，實現(xiàn)未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜向簡便轉(zhuǎn)化.數(shù)學(xué)構(gòu)造法的關(guān)鍵在于構(gòu)造.那么，什么樣的題型需要構(gòu)造？怎樣構(gòu)造才更加有效呢？本文將從初中數(shù)學(xué)知識出發(fā)，探討構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

一、方程構(gòu)造法

【例1】已知實數(shù)a、b滿足4a4-2a2-3=0

和b4+b2-3=0，試根據(jù)已知條件求解代數(shù)式a4b4+4a4的值.

分析：對于本題，學(xué)生首選的思路就是整體替換，利用已知條件中的a4、b2替換欲求解代數(shù)式中的a4b4.可是，在嘗試過后不難發(fā)現(xiàn)，這樣的做法不僅復(fù)雜，而且行不通.對此，教師不妨引導(dǎo)學(xué)生使用方程構(gòu)造法，實現(xiàn)已知與未知的形式統(tǒng)一.由題中已知條件實數(shù)a、b滿足代數(shù)式4a4-2a2-3=0

和b4+b2-3=0，所以我們可以得到（-2a2）2+（-2a2）-3=0

和（b2）2+b2-3=0.從以上兩式的形式我們不難發(fā)現(xiàn)它們在形式上的類似性，故將-2a2與b2視為方程t2+t-3=0的兩個根.為了得到欲求的代數(shù)式的形式，我們不妨構(gòu)造方程的根，利用韋達(dá)定理求解.首先，設(shè)t1=b2，t2=-2a2，由韋達(dá)定理可知t1+t2=-1，t1t2=-3，此時再將未知形式向已知形式轉(zhuǎn)化，可以得到a4b4+4a4=b4+4a4=（b2）2+（-2a2）2=t21+t22=（t1+t2）2-2t1t2=7

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二、 圖形構(gòu)造法

【例2】已知：0

a2+b2+（1-a）2+b2+a2+（1-b）2+（1-a）2+（1-b）2≥22

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分析：對于此題，很多學(xué)生拿到手的第一件事就是想辦法去除根號，再進(jìn)行不等式的化簡和證明.但是，這樣的思路卻被不等式復(fù)雜的形式所限制，難以解決.此時，我們不妨構(gòu)造幾何圖形，將代數(shù)向圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用邊長關(guān)系來進(jìn)行證明.首先，由已知條件0

圖1

（如圖1），在邊AB上任意取一點E，令A(yù)E=a;在邊AD上任意取一點G，令A(yù)G=b.再作EF∥AD、GH∥AB，其中EF、GH交于點O.結(jié)合圖1，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)△AOG、△BOE、△COF、△DOG都是直角三角形.根據(jù)以上這些構(gòu)造出的三角形，我們可以利用最基礎(chǔ)的勾股定理進(jìn)行輔助證明.OA=a2+b2，OB=（1-a）2+b2，OC=（1-a）2+（1-b）2，OD=a2+（1-b）2，且有OA+OC≥AC，OB+OD≥BD，AC=BD=2.

∴OA+OC+OB+OD≥AC+BD=22，即結(jié)論得證.

這樣就實現(xiàn)了構(gòu)造幾何圖形輔助代數(shù)的證明.

三、 函數(shù)構(gòu)造法

圖2

【例3】如圖2，一位籃球運(yùn)動員跳起投籃，球沿拋物線y=-15x2+3.5

運(yùn)行，然后精準(zhǔn)地落入籃筐.已知籃筐高度距地面距離為3.05米.試求：（1）球在空中運(yùn)行的最大高度;（2）如果該運(yùn)動員跳投時，球出手離地面的高度為2.25米，請問他距籃筐中心的水平距離是多少？

分析：對于第一問，我們首先需要構(gòu)建出完整的函數(shù)圖形，由已知條件：球沿拋物線y=-15x2+3.5運(yùn)行，我們可知該拋物線的定點為（0，3.5），驗證可知最高點在定義域內(nèi)，于是可知球運(yùn)行的最大高度為3.5米.對于第二問，我們首先需要構(gòu)建如圖2所示的坐標(biāo)系，審題后不難發(fā)現(xiàn)，求出運(yùn)動員位置的橫坐標(biāo)即可求出答案.首先由籃筐處的高度為y=3.05米可知，x=1.5（x≥0）;再由運(yùn)動員的出手高度y=2.25米，求得x=-2.5（x≤0），于是可知運(yùn)動員距籃筐處的距離水平為4米.

總之，構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題中有著重要的意義和地位.我們必須以學(xué)生為本，致力于構(gòu)造法的實踐應(yīng)用教學(xué)，提高學(xué)生解決初中數(shù)學(xué)實際問題的能力.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）