圓錐曲線離心率的幾種常見解法探討

邵長福

[摘要]探討幾種常見的圓錐曲線離心率的求解方法，以培養(yǎng)學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞]圓錐曲線離心率解法

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2015）140041

離心率是圓錐曲線的重要性質(zhì)，也是圓錐曲線的重要幾何特征，它考查學(xué)生的綜合能力，因此在高考中頻繁出現(xiàn)，它的解法靈活多變，下面例析幾種常見的解法.

一、直接求出a，c

已知圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直接求出a，c的值，再利用離心率公式e=ca，求其離心率.

【例1】 （2014年高考江西卷文第14題）設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C交于 A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸交于點(diǎn)D，若AD⊥F1B，則橢圓C的離心率等于.

分析：∵OD∥F2B，O為F1F2的中點(diǎn)，∴D為F1B的中點(diǎn)，又AD⊥F1B，∴|AF1|=|AB|=2|AF2|.設(shè)|AF2|=m，則|AF1|=2m，|F1F2|=33.

因此e=ca=|F1F2||AF1|+|AF2|

=3m2m+m=

33.

評(píng)注：利用橢圓的幾何性質(zhì)及橢圓的定義來求解，這就要求考生熟練地掌握橢圓的幾何性質(zhì).

【例2】（2005年全國高考江蘇卷）點(diǎn)P（-3，1）在橢圓x2a2+

y2b2=1（a>b>0）

的左準(zhǔn)線上，過點(diǎn)P且方向?yàn)閍=（2，-5）的光線，經(jīng)直線y=-2反射后通過橢圓的左焦點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率為（）.

A.33B.13C.22D.12

分析：由題意知，入射光線為y-1=-52（x+3），關(guān)于y=-2的反射光線（對(duì)稱關(guān)系）為5x-2y+5=0，∵P（-3，1）在左準(zhǔn)線上，左焦點(diǎn)在反射光線上，有

a2c=3

-5c+5=0

，

解得a=3，c=1，知e=ca=33

.故選A.

評(píng)注：利用對(duì)稱性先求反射光線所在的直線的方程，然后再求出a，c，問題即可迎刃而解.

二、構(gòu)造a，b或a，c的齊次式，通過方程解出離心率e

根據(jù)題設(shè)條件，借助a，b，c之間的關(guān)系，尋找a、c的關(guān)系式（特別是齊二次式），進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二次方程，從而解方程，求出離心率e.

【例3】（2014年高考重慶卷文第8題）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得（|PF|-|PF2|）2=b2-3ab，則該雙曲線的離心率為（ ）.

A.2 B.15C.4D.17

分析：由雙曲線的定義知：||PF1|-|PF2||=2a，

又（|PF1|-|PF2|）2=b2-3ab，∴4a2=b2-3ab，

（ba） 2-3（ba）-4=0，解得ba=-1（舍去）或ba=4.∴e2=c2a2=a2+b2a2=1+（ba）2=17，e=17.

【例4】 （2014年高考江蘇卷第17題）如右圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，b），連接BF2并延長交橢圓于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連接F1C.

（1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（43，13），且BF2=2，求橢圓的方程;（2）若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值.

分析：

（1）由題意知，F(xiàn)2（c，0），B（0，b），|BF2|=b2+c2=a=2.

又C（43，13），∴（43）22+（13）2b2=1，得b=1，

∴橢圓方程為x22+y2=1.

（2）直線BF2的方程為xc+yb=1，解得A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2a2ca2+c2，-b3a2+c2）.

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2a2ca2+c2，b3a2+c2），

kF1C=

b3a2+c2

2a2ca2+c2+c

=

b33a2c+c3

，

又F1C⊥AB，kAB=-bc，

∴b33a2c+c3·（-bc）=-1，

即b4=3a2c2+c4，

∴（a2-c2）2=3a2c2+c4，解得c2a2=15，故

e=ca=55.

評(píng)注：以上兩個(gè)例題都是運(yùn)用方程的思想求離心率.另外，牢記一些常用結(jié)論，有助于快速解題，如焦半徑公式、通徑、焦點(diǎn)三角形面積公式、定值結(jié)論等.

三、尋找a與c的關(guān)系式

由于離心率是a與c的比值，故不能分別求出a，c時(shí)，可尋找a與c的關(guān)系式，即用c來表示a或用a來表示c即可解決.

【例5】（2005年全國高考卷）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）.

A.22B.2-12C.2-2D.2-1

分析： 由題意得|PF1|=2|PF2|=2|F1F2|=22c，，又由橢圓的定義得|PF1|+|PF2|=2a，

即22c+2c=2a，則a=（2+1）c，得e=ca=2-1，故選D.

【例5】 （2014高考安徽卷文第21題）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，|AF1|=3|BF1|.

（1） 若|AB|=4，△ABF2的周長為16，求|AF2|;

（2）若cos∠AF2B=35，求橢圓E的離心率.

分析：（1）由|AF1|=3|F1B|，|AB|=4，得|AF1|=3，|F1B|=1，又∵△ABF2的周長為16，∴4a=16，a=4.

|AF1|+|AF2|=2a=8，∴|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.

（2）設(shè)|F1B|=k（k>0），|AF1|=3k，|AB|=4k，由橢圓的定義得|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k，

在△ABF2中，由余弦定理得：（4k）2=（2a-3k）2+（2a-k）2-2×（2a-3k）（2a-k）×35，

化簡得：（a+k）（a-3k）=0，∵a+k>0，∴a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k，故|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，

故F1A⊥F2A，

所以△AF1F2為等腰直角三角形，從而c=22a，所以橢圓E的離心率e=ca=22.

評(píng)注：以上例題涉及橢圓的第一定義，故常用到余弦定理及式子a2=b2+c2來求解.

四、求離心率e的取值范圍

這類題型的難度較大，解決這類題目主要的思路是去尋找一個(gè)關(guān)于a，b，c的齊次不等式，轉(zhuǎn)化為解關(guān)于e的不等式，求出e后，要注意圓錐曲線離心率的取值范圍：橢圓的離心率01;拋物線的離心率e=1.

【例6】（2008年高考福建卷理第11題）雙曲線

x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）.

A.（1，3）B.（1，3]C.（3，+∞）D.[3，+∞）

分析：依題意，設(shè)P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|PF1|-|PF2|=2a及|PF1|=2|PF2|得，|PF1|=4a，

|PF2|=2a.

設(shè)P（x0，y0），由焦半徑公式得|PF2|=ex0-a=2ax0=3ae，∵點(diǎn)P在雙曲線的右支上，

∴x0≥0，即3ae≥a，解得e≤3，又∵e>1，∴1

評(píng)注：利用雙曲線的幾何性質(zhì)去尋找與有關(guān)的不等式，從而求出e的取值范圍.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）