高中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題解法探討

黃佳

[摘要]最值問(wèn)題是一類特殊的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是歷年高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一.以高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)最值問(wèn)題為載體，從均值不等式、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合三個(gè)角度闡述解決最值問(wèn)題的基本策略.

[關(guān)鍵詞]最值問(wèn)題函數(shù) ?不等式幾何

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2015）140037

在高三復(fù)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常為一些最值問(wèn)題而頭疼，掌握的情況也不夠理想.本文通過(guò)對(duì)一道典型的例題的多解探析及拓展，以期培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

題目：已知a，b均為正數(shù)，且滿足1a+2b=14

，求a+b+a2+b2的最小值.

分析：將目標(biāo)函數(shù)適當(dāng)轉(zhuǎn)化是求解最值問(wèn)題的基本策略.根據(jù)該問(wèn)題的已知條件和目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)，求a+b+a2+b2的最小值有如下的方法.

方法一：將目標(biāo)函數(shù)線性化，運(yùn)用均值不等式求最值

將a2+b2轉(zhuǎn)化為一次形式的途徑有很多，這里使用不等式“a2+b2≥asinθ+bcosθ（a>0，b>0）”來(lái)線性化，該不等式簡(jiǎn)證如下.

證明：若asinθ+bcosθ <0，不等式顯然成立.

當(dāng)asinθ+bcosθ≥0時(shí)，a2+b2≥asinθ+bcosθ

（a2+b2）2≥（asinθ+bcosθ）2（1-sin2θ）a2-2absinθcosθ+（1-cos2θ）b2≥0 a2cos2θ-

2absinθcosθ+b2sin2θ≥0（acosθ-bsinθ）2≥0， 而（acosθ-bsinθ）2≥0顯然成立，所以a2+b2≥asinθ+bcosθ①成立（當(dāng)且僅當(dāng)acosθ=bsinθ時(shí)取等號(hào)），綜上，不等式成立.

因此，a+b+a2+b2≥a+b+asinθ+bcosθ=（1+sinθ）a+（1+cosθ）b.（當(dāng)且僅當(dāng)acosθ=bsinθ時(shí)取等號(hào)）

由已知1a+2b=14，可得4a+8b=1.

∴（1+sinθ）a+（1+cosθ）b=（4a+8b）[（1+sinθ）a+（1+cosθ）b]=4（1+sinθ）+8（1+cosθ）+4（1+cosθ）ba+8（1+sinθ）ab

≥4（1+sinθ）+8（1+cosθ）+8（1+cosθ）（1+sinθ）②（當(dāng)且僅當(dāng)4（1+cosθ）ba=8（1+sinθ）ab時(shí)取等號(hào)）.

根據(jù)不等式①，acosθ=bsinθba=cosθsinθ=1tanθ=

1-tan2θ22tanθ2.

根據(jù)不等式②，

4（1+cosθ）ba=

8（1+sinθ）abb2a2=

2（1+sinθ）1+cosθ

=2（sinθ2+cosθ2）22cos2θ2

=

（1+tanθ2）2ba=1+tanθ2（a>0，b>0）.

由以上兩式可得：1+tanθ2=1-tan2θ22tanθ2

，解得tanθ2=13.

所以ba=1+tanθ2=1+13=43，再結(jié)合已知條件4a+8b=1，可求得a=10，b=403.

將a=10，b=403代入a+b+a2+b2，求得最小值為40.

方法二：將目標(biāo)函數(shù)齊次化，構(gòu)造函數(shù)求最值

a+b+a2+b2=（a+b）2-（a2+b2）2（a+b）-a2+b2

=2aba+b-a2+b2.

由已知1a+2b=14

得：4b+8a=ab.

將ab=4b+8a代入2aba+b-a2+b2得：

a+b+a2+b2=

8b+16aa+b-a2+b2=

8ba+161+ba

-1+（ba）2

.

令x=ba，構(gòu)造函數(shù)f（x）=

8x+161+x-1+x2（x>0）

便可解決.

f′（x）=-81+x2+16x-8（1+x-1+x2）2·1+x2.

令f′（x）=0-81+x2+16x-8=0，解得：x=43或x=0（舍去）.

f（x）在（0，+∞）上有唯一的極值點(diǎn)x=43，且為極

域皆相鄰，是特殊區(qū)域，先選一種顏色把區(qū)域1染好，共4種選法;第二步，其他區(qū)域又轉(zhuǎn)變成用3種顏色染5塊區(qū)域的問(wèn)題，共種（3-1）5+（-1）5×（3-1）=30.由分步原理可知共有4×30=120種方法.

圖5

2. 將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端點(diǎn)異色， 如果只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)有多少？

分析：與第1題的方法相同.先染P再染其他的點(diǎn).共5×[（4-1）4+（-1）4×（4-1）]=420種.

3. 用5種不同的顏色給圖6中標(biāo)①②③④的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？

圖6

分析：先給①號(hào)區(qū)域涂色，有5種方法，再給②號(hào)涂色，有4種方法，接著給③號(hào)涂色，有3種方法.由于④號(hào)與①、②不相鄰，所以有4種涂法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的涂色方法有5×4×3×4=240種.

圖7

四、辨析應(yīng)用

某傘廠生產(chǎn)的品牌“太陽(yáng)傘”傘蓬都由太陽(yáng)光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘蓬八個(gè)區(qū)域內(nèi)，且恰有一種顏色涂在相對(duì)區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽(yáng)傘至多有多少種？

分析：本題不能運(yùn)用上述公式來(lái)解決，運(yùn)用公式時(shí)一定要注意判斷準(zhǔn)確.把八個(gè)區(qū)域分別標(biāo)上1、2、3、4、5、6、7、8八個(gè)號(hào)碼，則用七種顏色對(duì)1、2、3、4、6、7、8七個(gè)區(qū)域涂色（因5號(hào)與1號(hào)同色）有7！種方法，又由于1號(hào)與5號(hào)，2號(hào)與6號(hào)，3號(hào)與7號(hào)，4號(hào)與8號(hào)是對(duì)稱的.學(xué)過(guò)旋轉(zhuǎn)后可知，5、6、7、8、1、2、3、4與1、2、3、4、5、6、7、8是重合的，所以每種染色方法重復(fù)了兩次，因此這種圖案的傘至多有7！2=2520種.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）