一道自主招生試題的拓展

曹建娣 林楚標(biāo)

[摘要]縱觀2005年、2007年高考卷及2011年的卓越聯(lián)盟試題，都涉及橢圓內(nèi)以兩條相互垂直的焦點(diǎn)弦為對角線的四邊形面積的最值問題.對這類問題進(jìn)行了深入思考，從而進(jìn)行推廣，得到一般的結(jié)論.

[關(guān)鍵詞]橢圓最值問題拓展

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2015）140036

2005年高考全國卷II理科第21題、2007年高考全國卷I理科第21題和2011年卓越聯(lián)盟試題第13題這三道題目均是求橢圓內(nèi)以兩條相互垂直的焦點(diǎn)弦為對角線的四邊形面積的最值.限于篇幅，在此僅呈現(xiàn)2011年卓越聯(lián)盟的第13題.

題目：（2011·卓越聯(lián)盟）已知橢圓的兩個焦點(diǎn)F1（-1，0），F(xiàn)1（1，0），且橢圓與直線y=x-3相切.（1）求橢圓的方程;（2）過F1作兩條相互垂直的直線l1，l2，與橢圓分別交于P，Q及M，N，求四邊形PMQN面積的最大值與最小值.

受上述三題的啟發(fā)，筆者思考如何求拋物線內(nèi)以兩條相互垂直的焦點(diǎn)弦為對角線的四邊形面積的最值.鑒于此時四邊形面積的最大值是不存在的，故僅討論最小值.筆者編制了如下一題.

題1：過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于A、B和C、D兩點(diǎn)，且xAxB=4.（1）求拋物線的方程;（2）求四邊形ABCD面積的最小值，并求此時弦AB、CD所在直線的傾斜角.

解：（1）∵xAxB=p24=4，∴p=4，則拋物線的方程為y2=8x.

（2） 設(shè)弦AB所在直線的傾斜角為θ，則

S四邊形ABCD=12|AB||CD|sinπ2=12×2psin2θ×

2psin2（θ±π2）=

2p2sin2θcos2θ=

2p2

14sin22θ

≥

8p2=128

.

此時弦AB、CD所在直線傾斜角分別為π4，3π4或3π4，π4.

筆者對題1進(jìn)行深入思考，并對其進(jìn)行變式，得到題2.

題2：過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F作夾角為π3的兩條直線分別交拋物線于A、B和C、D兩點(diǎn)，且xAxB=4.（1）求拋物線的方程;（2）求四邊形ABCD面積的最小值，并求此時弦AB、CD所在直線的傾斜角.

解：第一問解答如題1.（2）設(shè)弦AB所在直線的傾斜角較小，為θ（0<θ<2π3），則弦CD所在直線的傾斜角為θ+α（0<θ+α<π），則α=π3或α=π-π3=2π3.

S四邊形ABCD=12|AB||CD|sinα=12×2psin2θ×

2psin2（θ+α）×

sinα=

2p2sinα{-12[cos（2θ+α）-cosα]}2

=8p2sinα[cos（2θ+α）-cosα]2.

①當(dāng)α=π3時，則當(dāng)2θ+α=π時，θ=π-α2=

π3

，四邊形ABCD的面積取得最小值，

Smin=8×42×sinπ3（cosπ-cosπ3）2

=25639

，此時弦AB所在直線的傾斜角為π3，弦CD所在直線的傾斜角為2π3.

②當(dāng)α=2π3時，則當(dāng)2θ+α=2π時，θ=2π-α2=

2π3

，四邊形ABCD的面積取得最小值，但0<θ<2π3，故此時最小值取不到.

綜上，四邊形ABCD面積的最小值為25639，此時弦AB所在直線的傾斜角為π3，弦CD所在直線的傾斜角為2π3，傾斜角互補(bǔ).

反思：若將直線AB與CD的夾角π3改為其他度數(shù)，方法同上，亦可求得四邊形ABCD面積的最小值，且此時直線AB與直線CD的傾斜角互補(bǔ).若將y2=2px（p>0）改為y2=-2px，x2=2py，x2=-2py（p>0），方法亦同上.對此類題目進(jìn)行推廣，可得到一般的結(jié)論，在此不展開證明，留給有興趣的讀者去證明.

對于題1，直線AB與直線CD垂直，即kAB·kCD=-1，即拋物線兩條焦點(diǎn)弦所在直線斜率的乘積為定值，求四邊形ABCD面積的最小值.筆者對題1進(jìn)行變式，得到題3.

題3：過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F作兩條直線分別交拋物線于A、B和C、D兩點(diǎn)，且xAxB=4，kAB·kCD=-4.（1）求拋物線的方程;（2）求四邊形ABCD面積的最小值，并求此時弦AB、CD所在直線的斜率.

題3留給有興趣的讀者去求解.

[參考文獻(xiàn)]

蘇進(jìn)文.橢圓焦點(diǎn)弦四邊形面積的最值[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2008（4）.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）