由蒲豐投針想到的數(shù)學(xué)教學(xué)問題

【摘要】本文從蒲豐投針問題說起，探討了當(dāng)今大學(xué)數(shù)學(xué)教師所面臨的困惑和學(xué)生的無所適從。而作為一線的教師如何為激活大學(xué)數(shù)學(xué)課堂，提高課堂效率，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，學(xué)科交叉教學(xué)不能不說是一種行之有效的方法。

【關(guān)鍵詞】蒲豐投針；學(xué)科交叉教學(xué)；概率；創(chuàng)新

1 蒲豐投針問題

1777年法國科學(xué)家Buffon提出下列著名問題：

（投針問題）平面上畫著一些平行線，它們之間的距離都等于 ，向此平面任投一長度為 （ ）的針，試求此針與任一平行線相交的概率。

解：設(shè) 表示針落下后針的中點 到最近的一條平行線的距離， 表示針與平行線所成的角（見下圖1），則

.

而針與一直線相交的充要條件是 。

作一分別以 為橫軸和縱軸的平面直角坐標(biāo)系，則所有基本事件可以用邊長為 及 的矩形 內(nèi)的點表示出來（如圖2），而“針與直線相交”這一事件所包含的基本事件可以用圖2中 內(nèi)的點表示出來，因而，所求概率

.

假設(shè)這一試驗總共做了 次，而針與平行線相交的次數(shù)是 ，則當(dāng) 較大時，可以用相交的頻率 去近似概率 ，即。從而由上式又可以進一步得到。也就是說我們可以通過這樣的試驗得到圓周率 的近似值。

歷史上就有很多人曾做過這樣的試驗去推導(dǎo) 的值。不過直到目前為止，用這種方法得到最好的 值就是意大利人拉澤里尼（Lazzerini）作了3408次投針，給出 的值為3.1415929——準(zhǔn)確到小數(shù)點后六位。他的試驗結(jié)果比其他試驗者得到的結(jié)果準(zhǔn)確多了，甚至受到了美國韋伯大學(xué)的一位教授L·巴杰的質(zhì)疑。

不過，蒲豐試驗的重要性并非是為了求得比其他方法更精確的 值，而在于它是第一個用幾何形式表達概率問題的例子。這種首次使用隨機試驗處理確定性數(shù)學(xué)問題，為概率論的發(fā)展起到一定的推動作用。計算 值的這一方法，不但因其新穎、奇妙而讓人叫絕，而且他開創(chuàng)了使用隨機數(shù)處理確定性數(shù)學(xué)問題的先河，是用偶然性方法去解決確定性計算的前導(dǎo)。這種方法被稱為蒙特卡羅方法（Monte Carlo method）。蒙特卡羅方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間隨著計算機的誕生而興起和發(fā)展起來的。這種方法在應(yīng)用物理、原子彈、固體物理、化學(xué)、生態(tài)學(xué)、社會學(xué)以及經(jīng)濟行為等領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。

2 由蒲豐投針引發(fā)的對大學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的思考

長期以來，對我國中小學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的成績，我們都有一種由衷的自豪感。然而，很多學(xué)生步入大學(xué)以后就對數(shù)學(xué)產(chǎn)生一種恐懼感，尤其是大一第一學(xué)期高數(shù)就掛科更是成為很多學(xué)生的夢魘。是因為我們教師教學(xué)的投入不足，還是因為我們從初高中知識到大學(xué)數(shù)學(xué)跨度太大？帶著這樣的疑問，北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院郇中丹教授與王昆揚教授和劉永平教授一起將自己大部分精力投入到本科的教學(xué)工作中。

北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生都是經(jīng)過十分嚴(yán)格選拔的，且有80%以上的學(xué)生表示他們熱愛數(shù)學(xué)，將來立志從事數(shù)學(xué)。真可謂是教師盡心，學(xué)生竭力的師生隊伍。郇中丹教授經(jīng)過八年的潛心研究，他發(fā)現(xiàn)有五種令人困惑的現(xiàn)象很難糾正和克服。其中一條就是“學(xué)生只會背，不會甚至不敢去自己探索；沒有觸類旁通的能力，對于需要自己利用已有知識進行邏輯推理之類的問題，感覺十分吃力，難以承受?！?/p>

許多同行工作者又何嘗不是有這樣的困惑呢？對于這樣的問題，作為一線的任課教師，我們不妨可以好好回味一下蒲豐投針這個試驗。

蒲豐投針本身是一個要求概率的問題，可是卻用幾何知識巧妙地解決了，并且還由此產(chǎn)生了蒙特卡羅方法，在很多領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。這事實上就是知識交叉融合的力量！

大學(xué)數(shù)學(xué)知識本身有一定的深度，甚至比較抽象難懂。但對大多數(shù)理工科專業(yè)學(xué)生來說，數(shù)學(xué)是一門工具，只有學(xué)好了才能夠用這一工具解決自己的專業(yè)知識，所以數(shù)學(xué)又是一門基礎(chǔ)課。對這樣一塊必啃的硬骨頭學(xué)生如何去學(xué)，教師又如何去教呢？

由蒲豐投針試驗，我想到了學(xué)科交叉教學(xué)。學(xué)科交叉教學(xué)就是在對某單一學(xué)科教學(xué)的基礎(chǔ)上聯(lián)系其他不同學(xué)科領(lǐng)域、部門和分支學(xué)科進行相互理解、相互作用、彼此融合，從而達到對知識更加深入細(xì)致的理解和學(xué)習(xí)。

例如，在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的高等代數(shù)課堂上，時常會碰到求解 元齊次線性方程組最小二乘解的問題，教師引導(dǎo)學(xué)生至少可以結(jié)合兩門不同的學(xué)科去解決。一是代數(shù)與幾何的交叉融合，可以把問題轉(zhuǎn)化成尋求一個向量使得它到一個 維線性空間距離最短。二是代數(shù)與數(shù)學(xué)分析的交叉，又可以把問題轉(zhuǎn)化成多元函數(shù)求極值，利用數(shù)學(xué)分析中的相關(guān)定理一樣可以完美解決。再例如，無論是在高等數(shù)學(xué)還是在數(shù)學(xué)分析的課程中都會學(xué)到不定積分的運算，結(jié)合高等代數(shù)中線性變換的理論，可以用逆矩陣的方法求一個不定積分。像這樣的例子聽起來是不是又有了“蒲豐投針”的感覺，令人拍案叫絕呢？！

豈止這些？像這樣的例子在我們的大學(xué)數(shù)學(xué)中比比皆是。比如概率論中多維隨機變量的理論可以借助代數(shù)中矩陣這一工具高效的解決問題；數(shù)學(xué)和計算機的交叉融合使得這兩個學(xué)科的發(fā)展堪稱是“比翼雙飛”；數(shù)學(xué)借助各種軟件的力量使得問題程序化，圖形清晰化，抽象具體化等等。我們結(jié)合我們學(xué)生自身的特點，在大學(xué)數(shù)學(xué)課堂上進行這種教學(xué)嘗試后，發(fā)現(xiàn)課堂氣氛明顯活躍起來，學(xué)生的思維也更加積極，學(xué)習(xí)興趣更加濃厚，對知識的掌握也更加牢固，理解也更加全面。這樣的課堂是充滿活力的課堂，是具有創(chuàng)造力的課堂！

學(xué)科交叉不僅僅能夠讓學(xué)生有效地掌握所學(xué)課程的知識點，使他們對大學(xué)數(shù)學(xué)中的純理論不再恐懼，更重要的是能夠培養(yǎng)他們的發(fā)散性思維，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和熱情，開發(fā)他們的探索精神，在潛移默化中培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力。

實踐經(jīng)驗告訴我們，如果教師在課堂上帶領(lǐng)學(xué)生從不同學(xué)科解決同一個問題，或者是從不同學(xué)科的角度去理解相同的理論，一定能夠使學(xué)生領(lǐng)略到“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”之意境，不僅可以豐富自己的課堂教學(xué)，而且可以優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

3 結(jié)語

曾有耶魯大學(xué)校長理查德·萊文指出：跨學(xué)科的廣度和批判性思維的培養(yǎng)，是中國大學(xué)本科教育缺乏的兩個關(guān)鍵要素。微軟公司首席研究及戰(zhàn)略官科瑞格·蒙迪則認(rèn)為：未來人類所面臨的問題將會越來越復(fù)雜，解決問題的辦法取決于跨學(xué)科的合作，企業(yè)界特別希望大學(xué)能培養(yǎng)出更多具有跨學(xué)科能力和合作能力的人才。

教師的教學(xué)方式是開啟學(xué)生智慧閘門的鑰匙，教學(xué)工作不僅僅是向?qū)W生傳授知識，更重要的是開發(fā)學(xué)生智力、鍛煉學(xué)生思維和培養(yǎng)學(xué)生能力。在大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師應(yīng)注重學(xué)科交叉教學(xué)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)能夠融會貫通，解決問題的能力得到提升。這就需要教師在教學(xué)過程中，多加留心，引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象認(rèn)識本質(zhì)，挖掘更加深刻的內(nèi)容。

參考文獻：

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編.概率統(tǒng)計簡明教程[M].第2版.北京：高等教育出版社，2012.

[2]谷偉平，董晶.關(guān)于大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科交叉教學(xué)的探討[J].課程教育研究，2014（34）：26-27.

[3]張德然.蒲豐投針問題的推廣及其應(yīng)用[J].阜陽師范學(xué)院學(xué)報，1997，1（31）：17-19.

[4]郇中丹，對我國師生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)觀念的反思[J].數(shù)學(xué)通報，2009，7（48）：8-10.

[5]盧建飛，吳太山，吳書光，尹承梅.基于交叉學(xué)科的研究生創(chuàng)新人才培養(yǎng)研究[J].中國高教研究，2006（1）：46-48.

基金項目：重慶人文科技學(xué)院教改項目，名稱：《高等數(shù)學(xué)》課程教學(xué)改革的研究與實踐，項目編號：14CRKJ02。