二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的建構(gòu)性教學(xué)初探

陸蘭蘭

【摘要】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)的核心，而二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)又是二次函數(shù)教學(xué)的關(guān)鍵，新課程理念指導(dǎo)下的本節(jié)教學(xué)立足學(xué)生的親身探索和實踐，并在一定的探索下得到相關(guān)知識.

【關(guān)鍵詞】 二次函數(shù)；初中數(shù)學(xué)；圖像；性質(zhì)；數(shù)學(xué)思想

二次函數(shù)是初中函數(shù)教學(xué)的核心，其將初中函數(shù)從一味的線性狀態(tài)提升到了曲線的狀態(tài).如何將二次函數(shù)可以較為形象化地傳授給學(xué)生呢？筆者認為，對其圖像與性質(zhì)的教學(xué)設(shè)計是關(guān)鍵，這里不僅要有較為合理的探究、建構(gòu)設(shè)計，還要努力開發(fā)學(xué)生積極地參與，緊緊抓住函數(shù)最形象的部分——圖像，才能將初中數(shù)學(xué)中最困難的一種函數(shù)講授得深入人心.

1. 背 景

從課程標(biāo)準(zhǔn)來說，初中數(shù)學(xué)要致力于改變學(xué)生被動學(xué)習(xí)的陋習(xí)，努力營造學(xué)生探求知識的氛圍.因此，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)一課的設(shè)計，以學(xué)生學(xué)習(xí)知識的心理機制設(shè)計，通過從特殊到一般、從具體到抽象、從感性到理性的設(shè)計規(guī)律，結(jié)合啟發(fā)式教學(xué)和建構(gòu)式教學(xué)的理念進行教學(xué)設(shè)計.

從知識結(jié)構(gòu)來說，二次函數(shù)為何如此重要？因為它聯(lián)系著函數(shù)從直向曲的變化，顛覆了學(xué)生對線性函數(shù)之外的認知，從生活實踐來說，二次函數(shù)模型還有著很多利潤最大的生活運用實踐，它與學(xué)生學(xué)習(xí)過的二次方程和以后涉及的二次不等式，都有著橋梁般的緊密聯(lián)系.通過學(xué)習(xí)二次函數(shù)，學(xué)生對二次方程有了更清晰的認知，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，為以后進一步學(xué)習(xí)更深層次的函數(shù)奠定了一些思想方法基礎(chǔ)和研究問題的經(jīng)驗.

2. 設(shè) 計

2.1 情境引入

師：同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)過一次函數(shù)，我請大家回顧一下一次函數(shù)的圖像，并通過圖像小結(jié)一次函數(shù)的性質(zhì).

生：一次函數(shù)分為k > 0和k < 0兩種，其圖像為上升和下降兩種.

師：我們通過什么樣的方法得到了一次函數(shù)的圖像呢？

生：描點法.

師：好，今天我們將學(xué)習(xí)一種新的函數(shù)，請大家類比一次函數(shù)圖像得到的方法，畫一畫學(xué)案中的二次函數(shù)y = x2，我請兩位同學(xué)上黑板來畫一畫，其余同學(xué)畫在學(xué)案上.

設(shè)計說明：通過復(fù)習(xí)引導(dǎo)，帶來學(xué)生回顧一次函數(shù)圖像的形成過程，并利用類比思想指導(dǎo)學(xué)生對拋物線y = x2進行嘗試，請學(xué)生動手，讓學(xué)生對拋物線的形態(tài)有一個清晰的認識.

2.2 探求新知

師：我們看看兩名同學(xué)在黑板上的圖像，正確嗎？

生：好像都不太正確.甲同學(xué)他把描點之后的點與點之間用直線聯(lián)起來了，和我的不一樣.乙同學(xué)，只選了一些自變量為正數(shù)的點坐標(biāo)，圖像只分布在第一象限，似乎有些欠缺.

師：這名同學(xué)分析得非常好.甲同學(xué)描點非常好，最大的弊端在于它選擇的點坐標(biāo)都是整數(shù)，導(dǎo)致其認為這些點之間是線段連接，若我們在整數(shù)間再多選擇一些點畫一畫，你會發(fā)現(xiàn)函數(shù)y = x2的圖像不應(yīng)該是直線；乙同學(xué)的圖像只作出了y軸右側(cè)的圖像，對自變量的選擇上過于缺失，因此兩位同學(xué)都沒有完全作出該函數(shù)的圖像.（將正確的圖像進行PPT或幾何畫板演示）

設(shè)計意圖：通過學(xué)生積極參與板演，使其了解最基本的二次函數(shù)y = x2.并指導(dǎo)學(xué)生，在畫非線性函數(shù)時，多取一些自變量，使學(xué)生能夠盡可能的對圖形有整體的把握，并指出這些基本初等函數(shù)在繪制時，一定要注意曲線的光滑性.

師：同學(xué)們，再試一試y = -x2的圖像呢？

設(shè)計意圖：學(xué)生通過類比，迅速得到該函數(shù)的圖像.讓學(xué)生初步感受二次項系數(shù)對二次函數(shù)張口的影響.

師：好，接下來請同學(xué)們互相給同桌出一個二次函數(shù)，請對方來畫一畫你編制的函數(shù).

設(shè)計意圖：通過學(xué)生建構(gòu)，調(diào)動了課堂的氣氛、積極性，也提高了學(xué)生思維的主動性.

師：好，同學(xué)們給對方編制的函數(shù)都很有難度.（投影）有些同學(xué)甚至編制出函數(shù)y = x2 - 2x + 1，y = -x2 - 3x + 4等等，都比老師剛剛的問題要復(fù)雜，但我們的同學(xué)都很清楚的將圖像作出來了，這種函數(shù)我們給它一個科學(xué)的定義，叫二次函數(shù)：二次函數(shù)分為開口向上和向下兩種，它的基本解析式為y = ax2 + bx + c（a ≠ 0），同學(xué)們已經(jīng)畫出了一些相關(guān)的圖像，我們接下來重點研究下它的性質(zhì).我們以二次函數(shù)y = x2，y = 2x2，y = -x2，y = -2x2為例，一起來研究.請同學(xué)們在同一坐標(biāo)系下畫一畫上述幾個函數(shù)圖像.

設(shè)計意圖：繼續(xù)尊崇初中生知識認知的心理機制，從特殊到一般、從形象到抽象的認知特點.

師：觀察這四個函數(shù)圖像，你發(fā)現(xiàn)了些什么？

生：這四個函數(shù)都是二次函數(shù)，它們的圖像都是拋物線，而且都關(guān)于y軸對稱，四個函數(shù)圖像有一個公共定點，即坐標(biāo)原點.二次項系數(shù)為正數(shù)時，拋物線開口向上，反之則向下.

師：很好！這位同學(xué)對圖像的觀察很仔細.那么，結(jié)合上述的分析，你怎么認識這個二次函數(shù)呢？y = ax2（a ≠ 0）.

生：這個應(yīng)該和上面的是一樣的，a > 0時，拋物線開口向上，圖像關(guān)于y軸對稱，有一個頂點是（0，0）；當(dāng)a < 0時，拋物線開口向下，圖像關(guān)于y軸對稱，它的頂點也是（0，0）.

師：通過類比學(xué)習(xí)，我們掌握了y = ax2（a ≠ 0）的圖像基本形態(tài)，也通過圖像對其基本性質(zhì)有了一些初步的認識.那么，對于一般的二次函數(shù)y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的認識，我們將在后續(xù)知識繼續(xù)學(xué)習(xí).請同學(xué)看一看下面練習(xí)：

（1）函數(shù)y = （m - 3）x■是二次函數(shù)，求m的值；（2）二次函數(shù)y = ax2（a ≠ 0），當(dāng)a = 5，x = 3時，求y的值.

2.3 課堂小結(jié)

（1）力主通過大量學(xué)生自主作圖，對二次函數(shù)y = ax2（a ≠ 0）有基本的認知.

（2）在教學(xué)中始終以建構(gòu)式為主導(dǎo)、以啟發(fā)式為輔助進行本課的設(shè)計安排.

（3）在教學(xué)中滲透了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想.

3. 尾 聲

本課，筆者對教材進行了探究性重組，同時放手讓學(xué)生在探究活動中去經(jīng)歷、體驗、內(nèi)化知識的做法是成功的.通過充分的過程探究，學(xué)生容易得出也是最早得出了圖像的性質(zhì)，借助直觀圖像的性質(zhì)而得到二次函數(shù)的性質(zhì).

從時間角度而言，學(xué)生探究花去了一些時間，但從知識吸收的效果來說，自主實踐探究圖像遠比教師直接投影來得優(yōu)異.因此，筆者認為教師要合理對概念起始課進行合理的開發(fā)，做合適自己學(xué)生學(xué)情的設(shè)計，做到有的放矢，并創(chuàng)造性地使用數(shù)學(xué)教材，才是有效、高效的.用華東師大汪曉琴教授的話說，即優(yōu)秀的教師在于將線性的文字合理地教授給學(xué)生，通俗易懂、深入淺出，這樣的課堂設(shè)計才是成功的.