妙解選擇題

譚斌

絕大部分選擇題要用直接法，所以加強基礎(chǔ)知識、基本技能的訓(xùn)練是解選擇題的關(guān)鍵，直接法是解選擇題最重要的方法，本專題重點研究間接法. 有相當(dāng)一部分考生對于用間接手段解題并不放心，認為這樣做“不可靠”，以至于在用間接法做過以后又用直接法再做一遍予以驗證. 甚至有思想不解放的，認為這樣做“不道德”，而不明白這其實正是高考命題者的真實意圖所在，高考正是利用選擇題作為甄別不同層次思維能力的考生的一種重要手段.

特值法

用特殊值（特殊圖形、特殊位置）代替題設(shè)中的普遍條件，得出特殊結(jié)論，對各個選項進行檢驗，從而作出正確的判斷.常用的特例有特殊數(shù)值、特殊角、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊方程、特殊圖形、特殊位置等.這種方法實際上是一種“小題小做”的解題策略，對解答某些選擇題時十分奏效.

例1 △ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，[OH=m（OA+OB+OC）]，則[m]的取值是（ ）

A. -1 B. 1 C. -2 D. 2

解析 此題如果用一般三角形，會覺得很難入手，但如果選擇特殊圖形，問題就迎刃而解.此處不能用等邊三角形，應(yīng)該用直角三角形，點H在直角頂點，點O為斜邊中點，則很快可得m=1.

答案 B

例2 雙曲線[x2-y2=1]的左焦點為F，點P為左支下半支異于頂點的任意一點，則直線[PF]的斜率的變化范圍是（ ）

A. [（-∞，0）] B. [（-∞，-1）?（1，+∞）]

C. [（-∞，0）?（1，+∞）] D. [（1，+∞）]

解析 此題只要抓住兩個特殊位置即可.即點[P]無限接近點[A]和點[P]向下運動到無限遠處.

答案 C

點撥 注意：（1）所選取的特例一定要簡單，且符合題設(shè)條件；（2）特殊只能否定一般，不能肯定一般；（3）當(dāng)選取的特例出現(xiàn)兩個或兩個以上的選項都正確時，這時要根據(jù)題設(shè)要求選擇另外的特例代入檢驗，直到找出正確選項為止.

排除法

根據(jù)數(shù)學(xué)選擇題的特征——有且只有一個選項符合題目要求這一信息，通過靈活賦值，代入選項驗證，可以間接得到符合題目要求的選項.

例3 （2013年高考陜西卷）設(shè)[[x]]表示不大于[x]的最大整數(shù)，則對任意實數(shù)[x，y]，有（ ）

A.[-x]=-[x] B.[2x]=2[x]

C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x-y]≤[x]-[y]

解析 取[x=0.5]，排除A，B；取[x=y=1.8]，排除C.

答案 D

點撥 當(dāng)題目中的條件多于一個時，先根據(jù)某些條件找出明顯與之矛盾的選項予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小的范圍內(nèi)找出矛盾，這樣逐步排除，直到得到解決正確的選項.

估算法

估算法是根據(jù)變量變化的趨勢或極值的取值情況進行求解的方法.當(dāng)題目從正面解析比較麻煩，特值法又無法確定正確的選項時，常用此方法確定選項，如難度稍大的函數(shù)的最值或取值范圍、函數(shù)圖象的變化等問題.

例4 我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑. “開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積[V]，求其直徑[d]的一個近似公式[d≈166V3]. 人們還用過一些類似的近似公式. 根據(jù)[π=3.14159…]判斷，下列近似公式中最精確的一個是（ ）

A.[d≈169V3] B.[d≈2V3]

C.[d≈300157V3] D.[d≈2111V3]

解析 根據(jù)球的體積公式求出直徑得，

[V=4π3（d2）3，∴d=6Vπ3].

由選項A得，[6π=169?π=3.375].

由選項B得，[6π=2?π=3.]

同理由選項C代入可知[π=3.14].

由選項D可知，[π=3.142857]，其值接近真實的值.

答案 D

例5 （2014年高考福建卷）用[a]代表紅球，[b]代表藍球，[c]代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個籃球中取出若干個球的所有取法可由[1+a1+b]的展開式[1+a+b+ab]表示出來，如：“1”表示一個球都不取、“[a]”表示取出一個紅球，而“[ab]”則表示把紅球和籃球都取出來. 依此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍球和5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有的籃球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）

A. [（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5]

B. [（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5]

C. [（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）]

D. [（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）]

解析 依題意所有的籃球都取出或都不取出.所以要有[b5]或不含[b]的式子. 所以[（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5]符合.

答案 A

數(shù)形結(jié)合

畫出圖形或者圖象能夠使問題提供的信息更直觀地呈現(xiàn)，從而大大降低思維難度，是解決數(shù)學(xué)問題的有力策略，這種方法使用得非常之多.

例6 （2014年高考重慶卷）已知函數(shù)[f（x）=][1x+1-3，x∈（-1，0]，x，x∈（0，1]，]且[g（x）=f（x）-mx-m]在[（-1，1]]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)[m]的取值范圍是（ ）

A. [（-94，-2）∪（0，12）] B. [（-14，-2）∪（0，12）]

C. [（-94，-2）∪（0，23）] D. [（-114，-2）∪（0，23）]

解析 令[h（x）=mx+m]，則問題轉(zhuǎn)化為[f（x）]與[h（x）]的圖象在[-1，1]上有且僅有兩個交點. [f（x）]是一個分段函數(shù)，[h（x）]的圖象是過定點（-1，0）的直線，易求當(dāng)直線與曲線在第三象限相切時[m=-94]，可知[-94[1 2 3 4] [-1][-1][-2][2][1]

答案 A

點撥 以形化數(shù)，以數(shù)轉(zhuǎn)形均是重要的解題思想.圖形需簡潔易畫，且應(yīng)注意變量范圍對圖形形狀的影響.

正難則反法

當(dāng)從正面解決比較困難時，可以轉(zhuǎn)化為其反面的問題來解決，即將問題轉(zhuǎn)化為其對立事件來解決，實際上就是補集思想的應(yīng)用.

例7 由命題“存在[x0∈R，使e|x0-1|-m≤0]”是假命題，得到[m]取值范圍是[（-∞，a）]，則實數(shù)[a]的取值是（ ）

A.[（-∞，1）] B. [（-∞，2）] C. 1 D. 2

解析 ∵命題“存在[x0∈R]，使[e|x0-1|-m]≤0”是假命題，

∴對于任意的[x∈R]，[e|x-1|-m]>0都成立，即[m