基于最小二乘法的弦振動(dòng)的研究

張松鋒　張鴻輝　周小東

摘要：弦振動(dòng)的研究是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中研究駐波的經(jīng)典例子，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理一般都是利用Origin軟件進(jìn)行，用最小二乘法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理比較少見。 本文利用最小二乘法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，并用Origin進(jìn)行線性擬合，結(jié)果表明：弦上橫波波長的對(duì)數(shù)和弦線張力的對(duì)數(shù)成線性關(guān)系，和Origin擬合結(jié)果相符；利用兩種方法計(jì)算波速時(shí)，誤差很小，只有質(zhì)量在120g時(shí)誤差稍大，但也在允許的范圍內(nèi)；振動(dòng)的實(shí)際頻率和理論頻率和波速誤差相似。

關(guān)鍵詞：弦振動(dòng)；最小二乘法；Origin；波速；頻率

中圖分類號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2095-2163（2015）06-

Abstract： String vibration research is the classical example of a standing wave in university physics experiment， the experimental data processing are generally using Origin software， using least square method are relatively rare. This paper using least square method to deal with the experimental data， and linear fitting with the Origin， the results showed that a linear relationship with logarithm of wavelength and string tension，whichagrees with Origin fitting results； Using two methods to calculate the wave velocity， the error is very small， only at 120 g larger quality， but also in allowed range； The error of actual frequency and theoretical is similar with wave velocity.

Keywords： String Vibration；Least Squares Method； Origin；Wave Velocity； Frequency

0 引言

物理學(xué)的幾乎每一個(gè)領(lǐng)域都涉及到波動(dòng)的研究。 不同性質(zhì)的波動(dòng)傳播機(jī)制雖然各異，但卻具有共同的規(guī)律性，這種規(guī)律性可以用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達(dá)式來進(jìn)行提煉和呈現(xiàn)，所區(qū)別之處則在于數(shù)學(xué)公式中各個(gè)量所代表的物理意義不同[1]。物理學(xué)中有關(guān)波動(dòng)的論述，大多以弦線上的駐波為例[2]。弦振動(dòng)的研究是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中研究駐波最典型的例子，是幫助學(xué)生理解波的形成、傳播和干涉的一個(gè)重要實(shí)驗(yàn)[3]。

基于當(dāng)下成果的研究分析可知，很少有采用最小二乘法處理弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的。 本文利用最小二乘法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，研究了弦上橫波的波長與弦線張力的關(guān)系，并與Origin擬合結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比， 對(duì)波速和頻率及其誤差也進(jìn)行了計(jì)算。

1 實(shí)驗(yàn)原理[1，4-5]

將細(xì)弦線的一端固定在電振音叉頂端，另一端繞過一個(gè)位置固定的滑輪懸掛砝碼。 當(dāng)電振音叉以固有頻率f0振動(dòng)時(shí)，適當(dāng)調(diào)節(jié)細(xì)弦線的長度l，沿細(xì)弦線會(huì)產(chǎn)生一列向前傳播的橫波，橫波的振動(dòng)頻率亦為f0，當(dāng)橫波沿細(xì)弦線傳播到滑輪處時(shí)會(huì)產(chǎn)生一列反射波，此反射波的頻率、振幅與原波完全相同，原波與反射波在細(xì)弦線上發(fā)生干涉，實(shí)際在細(xì)弦線上觀察到的是兩列波相干涉疊加以后的波形。 當(dāng)l正好等于弦上橫波半波長的整數(shù)倍時(shí)，即：

利用（4）式計(jì)算弦振動(dòng)時(shí)的實(shí)際頻率，與理論頻率進(jìn)行比較.

2 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及原始數(shù)據(jù)記錄

將砝碼質(zhì)量依次取為20g、40g、60g、80g、100g、120g、140g、160g、180g、200g，調(diào)節(jié)細(xì)弦線的長度l，使弦線上出現(xiàn)振動(dòng)情況穩(wěn)定的駐波，記錄半波區(qū)的個(gè)數(shù)n值，用米尺測量l大小，測量5次，數(shù)據(jù)如表1所示。

3 數(shù)據(jù)處理及結(jié)果分析

3.1 驗(yàn)證波長與張力的關(guān)系

根據(jù)實(shí)驗(yàn)原理中所述公式，計(jì)算波長λ、lnλ和lnFT，如表2所示。

3.1.1 最小二乘法處理數(shù)據(jù)

根據(jù)最小二乘法處理數(shù)據(jù)的原理，設(shè)直線方程為y=a+bx，通過計(jì)算得出b=0.501169，a=-0.52878，關(guān)聯(lián)系數(shù)γ=0.999855。Eγ=0.0145%，Eb=0.2338%. 從結(jié)果上看，關(guān)聯(lián)系數(shù)接近于1，說明lnλ、lnFT具有良好的線性關(guān)系，b的數(shù)值和理論值1/2的誤差僅為0.2338%，在誤差允許的范圍內(nèi)，說明實(shí)際值和理論值符合得較好。

3.1.2 Origin軟件處理數(shù)據(jù)[5]

打開Origin軟件后，界面上會(huì)出現(xiàn)兩列空白數(shù)據(jù)表格A（X）、B（Y），分別輸入表2中的lnFT和lnλ，以lnFT作為橫坐標(biāo)X的數(shù)據(jù)，lnλ作為縱坐標(biāo)Y的數(shù)據(jù)，通過Origin軟件進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖1所示，擬合報(bào)告如表3所示。

從圖1和表3中可以看出實(shí)際曲線和擬合曲線具有貼切良好的跟隨性，更加印證了lnλ和 lnFT是線性關(guān)系。 這和利用最小二乘法算出的結(jié)果是一致的。

3.2 波速和振動(dòng)頻率的計(jì)算

利用（2）式計(jì)算V，利用（3）式計(jì)算V？，利用（4）式計(jì)算f，并計(jì)算EV和Ef，其中f0=100Hz。計(jì)算結(jié)果如表4所示。

利用Origin軟件作m-EV圖和m-Ef圖，分別以m為橫坐標(biāo)，EV和Ef為縱坐標(biāo). 如圖2、圖3所示。

從表4和圖2、3中可以看出，兩種方法計(jì)算波速的誤差大部分都在1%以內(nèi)，最低達(dá)到0.00878%，只有質(zhì)量在120g時(shí)出現(xiàn)大于1%的情況，頻率的誤差和波速的誤差相似。 另外不同質(zhì)量下EV和Ef幾乎相等，也很好的印證了兩種計(jì)算方法得出的結(jié)果是一致的. 即如果令V？=λf，EV的比值就是Ef的比值。

4 結(jié)束語

本文用最小二乘法對(duì)弦振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，并用Origin對(duì)lnλ-lnFT進(jìn)行線性擬合，計(jì)算結(jié)果和線性擬合結(jié)果呈現(xiàn)出優(yōu)質(zhì)的現(xiàn)實(shí)一致性，得出lnλ、lnFT具有良好的線性關(guān)系；用兩種方法計(jì)算波速，誤差大都在1%以內(nèi)，當(dāng)質(zhì)量在120g時(shí)誤差較大，但也在允許范圍內(nèi)；頻率的誤差和波速的誤差相似。

參考文獻(xiàn)：

[1] 吳定允，常加忠. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M]. 河南：河南科學(xué)技術(shù)出版社，2014：134-138.

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[3] 苗錕，黃育紅，李康等. 弦振動(dòng)形成駐波的規(guī)律和數(shù)據(jù)的MATLAB處理[J]. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2010，23（4）：75-79.

[4] 崔群. “弦振動(dòng)的研究”實(shí)驗(yàn)強(qiáng)化偏微分方程的感性認(rèn)知[J]. 鞍山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，16（6）：21-26.

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