一點(diǎn)定直線 形同意不同

汪志強(qiáng)

[摘 要]眾所周知，兩點(diǎn)能確定一條直線，但在幾何中特定情況下，也有一點(diǎn)“確定”的直線.基于此，對二次曲線切線和切點(diǎn)弦所在直線方程進(jìn)行推廣與研究.

[關(guān)鍵詞]定點(diǎn) 推廣 研究

眾所周知，幾何上有兩點(diǎn)確定一條直線.但在幾何中，特定情況下的確也有由一點(diǎn)“確定”的直線.比如，給定點(diǎn)P（x0，y0），對于圓、橢圓、雙曲線、拋物線來說，若點(diǎn)P在其曲線上，過點(diǎn)P只有一條切線;若點(diǎn)P在其曲線外，可作兩條切線，但兩個切點(diǎn)所在的直線是唯一的.（兩個切點(diǎn)所在的直線，以下簡稱為“切點(diǎn)弦直線”）

一、問題的發(fā)現(xiàn)

對于已知定點(diǎn)P（x0，y0）和圓的方程，易得到以下兩結(jié)論.

結(jié)論1 已知圓C的方程為x2+y2=r2，圓C上點(diǎn)P（x0，y0），則過點(diǎn)P關(guān)于圓C的切線方程為：x0x+y0y=r2.

結(jié)論2 已知圓C的方程為x2+y2=r2，圓C外點(diǎn)P（x0，y0），則過點(diǎn)P關(guān)于圓C的切點(diǎn)弦所在的直線方程為：x0x+y0y=r2.

從上面的兩個結(jié)論來看，至少有兩個問題值得注意：一是兩條直線所表示的意義不同，但是直線方程完全一樣，只跟點(diǎn)P（x0，y0）的坐標(biāo)有關(guān);二是直線方程的結(jié)果與原來圓的方程結(jié)構(gòu)相同，只是變量x和y的二次項(xiàng)中，分別把其中的一個x和y用點(diǎn)P的坐標(biāo)x0和y0代替.

推廣1：已知圓C的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，圓C上（或外）一點(diǎn)P（x0，y0），則過點(diǎn)P關(guān)于圓C的切線（或切點(diǎn)弦）直線方程為：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

二、推廣與研究

1.過定點(diǎn)P（x0，y0）有關(guān)橢圓的切線和切點(diǎn)弦直線方程

結(jié)論3 已知橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1 ，橢圓C上（或外）一點(diǎn)P（x0，y0），則過點(diǎn)P關(guān)于橢圓C的切線（或切點(diǎn)線直線）方程為：x0xa2+ y0yb2=1 .

推廣2：已知橢圓C的方程為（x-m）2a2+ （y-n）2b2=1 ，橢圓C上（或外）一點(diǎn)P（x0，y0） ，則過點(diǎn)P關(guān)于橢圓C的切線（或切點(diǎn)弦）直線方程為：

（x0-m）（x-m）a2 +（y0-n）（y-n）b2=1 .

2.過定點(diǎn)P（x0，y0）有關(guān)雙曲線的切線和切點(diǎn)弦直線方程

結(jié)論4 已知雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1 ，雙曲線C上一點(diǎn)P（x0，y0），則過點(diǎn)P關(guān)于雙曲線C的切線方程為：x0xa2-y0yb2=1 .

結(jié)論5 已知雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1 ，雙曲線C外一點(diǎn)P（x0，y0）（不在其漸近線上），則過點(diǎn)P關(guān)于雙曲線C的切點(diǎn)弦直線方程為：x0xa2-y0yb2=1 .

3.過定點(diǎn)P（x0，y0）有關(guān)拋物線的切線和切點(diǎn)弦直線方程

對于拋物線的方程x2=2py，其中2py=py+py，自然想到x·x=py+py.

結(jié)論6 已知拋物線C的方程為x2=2py（p≠0），拋物線C上（或外）一點(diǎn)P（x0，y0），則過點(diǎn)P關(guān)于拋物線C的切線（或切點(diǎn)弦直線）方程為：x0x=p（y+y0）.

引申：已知拋物線C的方程為y2=2px（p≠0），拋物線C上（或外）一點(diǎn)P（x0，y0），則過點(diǎn)P關(guān)于拋物線C的切線（或切點(diǎn)弦）直線方程為：y0y=p（x+x0）.

三、應(yīng)用與思考

【案例】 （2013·山廣東高考）過點(diǎn)（3，1）作圓（x-1）2+y2=1的切點(diǎn)分別為A、B，則直線AB的方程為（ ?）.

A.2x+y-3=0 ? ?B.2x-y-3=0

C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0

由結(jié)論2知，直線AB的方程為（3-1）（x-1）+1·y=1，化解得2x+y-3=0，故選A.因此，案例說明上面的研究結(jié)果是很有價值的.但是值得注意的是： （1）上面研究的結(jié)論條件是點(diǎn)P（x0，y0）必須在曲線上或其外側(cè); （2）曲線只能是二次方程的曲線; （3）定點(diǎn)P（x0，y0）對于一般的二次方程的曲線C：Ax2+By2+2Cxy+2Dx+2Ey+F=0 都有同樣的結(jié)果嗎？

據(jù)前面研究結(jié)果的規(guī)律，上面方程主要考慮2Cxy這一項(xiàng)如何處理，由于結(jié)果是直線方程，故可能是C（x0y+xy0）.

猜想推論：若定點(diǎn)P（x0，y0）在二次曲線M：Ax2+By2+2Cxy+2Dx+2Ey+F=0上（或其外側(cè)），則點(diǎn)P關(guān)于曲線M的切線（或切點(diǎn)弦）直線方程為：Ax0x+By0y+C（x0y+xy0）+D（x0+x）+E（y0+y）+F=0.