培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維廣度和深度探究

石小江

[摘要]數(shù)學(xué)教學(xué)要從學(xué)生的生活實際出發(fā)，創(chuàng)造合適的學(xué)習(xí)條件，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣度和深度，努力在課堂教學(xué)時做到知識問題化、問題層次化、任務(wù)習(xí)題化、習(xí)題探究化。

[關(guān)鍵詞]生活化思維能力探究性學(xué)習(xí)

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2015）180040

費賴登塔爾曾說過，“與其說我們是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，倒不如說我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，通過自己的體驗、用自己的思維方式，建構(gòu)屬于自己的數(shù)學(xué)知識。對此，我在講授“切線的判定”時，努力在課堂上實踐“四化”，即知識問題化、問題層次化、任務(wù)習(xí)題化、習(xí)題探究化，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣度和深度方面做了些嘗試。

一、創(chuàng)設(shè)探究情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

為了調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，我嘗試把古典詩詞與本課結(jié)合起來。在本課的導(dǎo)入中，我是這樣問的，王維的《使至塞上》中的名句大家都知道嗎？學(xué)生朗朗上口：“大漠孤煙直，長河落日圓?！薄按蠹蚁胍幌耄@句詩中包含了哪些幾何圖形？圖形之間還形成了哪些幾何關(guān)系？”學(xué)生對這個問題很感興趣，積極思考，討論熱烈。通過討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)有這樣幾種圖形：大漠、孤煙——直線與曲線。而“長河落日圓”的“畫面”，由線與圓所構(gòu)成。我進一步追問：隨著時間的推移，“長河”與“落日”，也就是“線”與“圓”之間先后有幾種關(guān)系？然后讓學(xué)生動手畫一畫。這個教學(xué)環(huán)節(jié)是引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“直線與圓”的位置關(guān)系，學(xué)生很快得出結(jié)論：相離、相切、相交。這樣一種讓數(shù)學(xué)與文學(xué)相融合的處理方法，既切合了生活，也調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，一舉兩得。

二、借助數(shù)量關(guān)系，拓展思維深度

幾何圖形是一種形象思維，教學(xué)中我們應(yīng)該讓學(xué)生嘗試用數(shù)量關(guān)系來加深對本課內(nèi)容的理解。教學(xué)實踐中，我先出示了三組判斷題讓學(xué)生判斷：（1）若C為⊙O上的一點，則過點C的直線與⊙O相切。（2）直線與圓最多有兩個公共點。（3）和圓有一個公共點的線段是圓的切線。

然后引導(dǎo)學(xué)生思考：這說明了什么？在我的引導(dǎo)下，學(xué)生認識到判斷直線和圓的位置關(guān)系就是要知道直線和圓的公共點的個數(shù)。我接著追問：能不能像判定點和圓的位置關(guān)系那樣，通過數(shù)量關(guān)系來判定直線和圓的位置關(guān)系呢？想一想我們應(yīng)該通過比較半徑和哪個距離之間的數(shù)量關(guān)系來判斷直線和圓的位置關(guān)系呢？

接著，我引導(dǎo)學(xué)生深思：根據(jù)切線的定義可以判定一條直線是不是圓的切線，但有時使用定義判定很不方便，常用的是“和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線”及切線的判定定理。同學(xué)們能說出這兩種方法的聯(lián)系和區(qū)別嗎？學(xué)生通過仔細思考，發(fā)現(xiàn)切線的判定定理是由“和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線”直接推出來的，兩種方法本質(zhì)是一致的，只不過切線的判定定理是從位置角度來判定的，“和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線”是從數(shù)量角度來判定的。

這樣，以問題鏈的形式引導(dǎo)學(xué)生探索切線的判定定理，解決了兩個問題：一條直線成為切線需同時滿足兩個條件：①經(jīng)過半徑外端。②垂直于這條半徑。

三、精心選擇例題，強化探究能力

教學(xué)中，只有選擇好具有探究價值的例題，才能真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。教師要善于從例題中引導(dǎo)學(xué)生深入思索，總結(jié)規(guī)律。已知：⊙O的半徑為3厘米，直線上有兩點A、B，且OA=OB=5厘米，AB=8厘米，求證：AB與⊙O相切。

我首先要求學(xué)生確定選用的切線判定方法。學(xué)生認為題目條件中未明確指出直線AB與⊙O有公共點，所以適宜選用“和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線”進行證明，只需作OH⊥AB于點H，證明OH等于該圓的半徑即可。在請兩位學(xué)生到黑板上演示自己的推理過程之后，我讓學(xué)生自己總結(jié)從本題中得到的啟發(fā)。學(xué)生經(jīng)過討論，集思廣益后發(fā)現(xiàn)：在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線與圓是否有公共點時，輔助線的作法是“過圓心向直線作垂線”，再證圓心到直線的距離等于圓的半徑。可以簡單地說成“無交點，作垂線，證半徑”。這樣，通過引導(dǎo)學(xué)生自主、合作、探究，總結(jié)歸納根據(jù)公共點是否明確來選用切線的判定方法以及相應(yīng)輔助線的畫法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的意識和能力。

接著，我再追問：學(xué)完本課，我們能不能得出一些規(guī)律性的東西？研討之后，大家發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：判定一條直線是圓的切線時，當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，輔助線的作法是“連圓心和公共點”，再證直線與半徑垂直。當已知條件中未明確指出直線與圓是否有公共點時，輔助線的作法是“過圓心向直線作垂線”，再證圓心到直線的距離等于圓的半徑。這種探究式的學(xué)習(xí)方法，就比教師直接灌輸?shù)男Ч玫枚唷?/p>

培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和廣度需要開闊他們的視野，需要拓展思維的力度，見多才能識廣，練多才能生巧。要做到這一點，作為數(shù)學(xué)教師首先要做到成為一個愛動腦的人、一個“識廣”的人。只有這樣，才能讓學(xué)生在“柳暗”之時“花明”，親其師，明其道，獲益匪淺。

（責任編輯黃曉）