多元函數(shù)在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用初探

易強(qiáng) 呂希元

【摘要】經(jīng)管類學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的目的是為了將微積分的知識(shí)在經(jīng)濟(jì)上有所應(yīng)有，解決經(jīng)濟(jì)方面的問題。借助二元函數(shù)的全微分和極值問題解決經(jīng)濟(jì)上的近似計(jì)算和最大利益問題。

【關(guān)鍵詞】全微分 偏導(dǎo)數(shù) 極值 經(jīng)濟(jì)函數(shù)

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）06-0105-02

本文通過簡(jiǎn)單介紹全微分和二元函數(shù)極值求法的相應(yīng)理論和用法，用于經(jīng)濟(jì)方面的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

1.全微分

1.1定義：二元函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處的全增量

△z=f（x0+△x，y0+△y）-f（x0，y0）

則可以表示為：

△z=A△x+B△y+o（？籽）

其中A，B與△x，△y無關(guān)，？籽=■，則稱z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）可微分，并將Aa△x+B△y稱為z=f（x，y）在（x0，y0）處的全微分，記作dz。

即：dz=A△x+B△y。

1.2定理：若函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）可微分，則A=fy′（x0，y0），B=y′（x0，y0）。

證明：由△z=A△x+B△y+o（？籽）.，令△y=0，則？籽=△x，從而：

fx′（x0，y0）=■■

=■■=A

同理可得：B=fy′（x0，y0）。

從而，當(dāng)自變量的絕對(duì)值△x和△y趨近于0時(shí)，可以利用全微分作近似計(jì)算，即：

f（x0+△x，y0+△y）≈f（x0，y0）+fx′（x0，y0）·△x+fy′（x0，y0）·△y。

例1：計(jì)算1.023.96的近似值。

解：設(shè)f（x，y）=xy，則問題變?yōu)榍蠛瘮?shù)在x=1.02，y=3.96時(shí)的近似值，

令x0=1，y0=4，△x=x-x0=1.02-1=0.02，△y=y-y0=3.96-4=-0.04，且f（1，4）=14=1，fx′（x，y）=y·xy-1，fx′（1，4）=4·13=4，fy′（x，y）=xy·lnx，fy′（1，4）=14·ln0=0。

從而：1.023.96≈1+4×0.02+0×（-0.04）=1.08。

例2：已知某工廠的產(chǎn)量Q為其投入的資金K和勞動(dòng)力L的函數(shù)Q=f（K，L）。若Q（20，60）=2500（產(chǎn)量），QK′（20，60）=350（資金的邊際產(chǎn)出率），QL′（20，60）=270（勞力的邊際產(chǎn)出率），現(xiàn)在工廠準(zhǔn)備擴(kuò)大投入，使K=21，L=62，試計(jì)算擴(kuò)大投入后，該廠產(chǎn)量及產(chǎn)量增量的近似值。

解：記K0=20，L0=60，△K=K-K0=1，△L=L-L0=2，QK′（K0，L0）=350，QL′（K0，L0）=270.

于是：△Q≈QK′（K0，L0）·△K+QL′（K0，L0）·△L

=350×1+270×2=890；

從而：Q（21，62）≈Q（20，60）+△Q=2500+890=3390。

2.二元函數(shù)的極值問題

2.1極值的充要條件：

設(shè)函數(shù)z=f（x，y），在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；設(shè)fx′（x0，y0）=0，fy′（x0，y0）=0。再令A(yù)=fxx″（x0，y0），B=fxy″（x0，y0），C=fyy″（x0，y0），從而f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處是否取得極值的條件如下：

（1）若B2-AC<0時(shí)，具有極值，且當(dāng)A<0時(shí)有極大值，當(dāng)A>0時(shí)有極小值。

（2）B2-AC<0時(shí)沒有極值；

（3）B2-AC=0時(shí)可能有極值，也可能沒有極值。

對(duì)于一些實(shí)際問題存在最大值或最小值時(shí)，可以利用極值的方法求解，若解出有唯一的駐點(diǎn)，則在駐點(diǎn)處取得極大值，同時(shí)也是最大值；同理取得極小值的也是最小值。

例3：設(shè)生產(chǎn)某種商品需原料A和B，設(shè)A的單價(jià)為2，數(shù)量為x；而B的單價(jià)為1，數(shù)量為y，而產(chǎn)量為：z=20-x2+10x-2y2+5y，且商品售價(jià)為5，求最大利潤(rùn)。

解：利潤(rùn)函數(shù)為：

L（x，y）=5·（20-x2+10x-2y2+5y）-2x-y

=11-5x2+48x-10y2+24y

令：

Lx′=-10x+48=0Ly′=-20y+24=0

解得唯一駐點(diǎn)：（4.8，1.2）；令A(yù)=fxx″（x，y）=-10，B=fxy″（x，y）=0，

C=fyy″（x，y）=-20；所以：B2-AC<0，A<0，故唯一駐點(diǎn)為極大值點(diǎn)也為最大值點(diǎn)。

最大利潤(rùn)為：L（4.8，1.2）=229.6.

3.小結(jié)

對(duì)經(jīng)管院校的學(xué)生來說學(xué)好微積分對(duì)解決一些經(jīng)濟(jì)問題很有好處，本文就是利用多元函數(shù)的知識(shí)解決了幾個(gè)經(jīng)濟(jì)問題，當(dāng)然微積分的作用遠(yuǎn)大于此，實(shí)際上微積分在各門科學(xué)中都有應(yīng)用。

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