淺談隱含條件在數(shù)學解題中的作用

譚翰舉

【內容摘要】在數(shù)學解題中，常常會因為學生沒有注意到題目中的隱含條件，而出現(xiàn)解題錯誤，影響了學生解題能力的提高。但是，任何事物都有其兩面性，如果能夠利用好隱含條件，就能很好地發(fā)揮其積極作用，從而提高解題教學的有效性。為此，本文試圖針對初中數(shù)學中的一些概念及性質，舉例說明隱含條性在解題中的作用，供今后在教學中參考。

【關 鍵 詞】隱含條件 數(shù)學解題 作用

【中圖分類號】G634.6

《初中數(shù)學新課程標準》對學生提出的要求是：“綜合運用數(shù)學知識和方法等解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力?！庇纱丝梢姡ㄟ^數(shù)學解題來提高學生的能力是初中數(shù)學教學的一項重要目標，數(shù)學解題教學在初中數(shù)學教學中占據(jù)十分重要的地位。然而，在數(shù)學解題中，數(shù)學中的隱含條件在題目中沒有明確告訴初學者往往一時不易發(fā)現(xiàn)，較容易忽視題中隱含條件的發(fā)掘，結果犯了條件不足解答不全，答案不正確等錯誤，影響了學生解題能力的提高。但是，任何事物都有其兩面性，如果能夠利用好隱含條件，就能很好地發(fā)揮其積極作用，從而提高解題教學的有效性。因此，探討隱含條件在數(shù)學解題中的作用，就有著重要的現(xiàn)實意義。下面，就結合教學實踐來舉例說明隱含條性在解題中的作用，供今后在教學中參考。

一、分式中的隱含條件

例1：當x=___時， 的值為零

此題容易填x= ，而忽視分式的分母不能為零，故應填x=-3。

例2：已知：x、y為實數(shù)，且y= ，求

分析：認真考慮，在y= 中隱含著條件 1- ，1+ 這一條件，若能注意到這一點，問題就不難解決了。

解： 偶次方根的被開方數(shù)為非負數(shù)，且分式的分母不為零。 1+

解得x=1時，y=0，故 =8

1-

二、根式中的隱含條件

例3：已知根式 與 是同次根式，求n。

錯解：依提議，得 =3n+4，解得n=4或n=-1

此解忽視了根指數(shù)的取值必須保證根式有意義這一題目本身所要求的條件，故n=-1不合題意，應舍去，本題正確答案為n=4，

例4：化簡

錯解： = =

分析：此題顯然忽視了b<0這一題目本身所要求的條件。

正確解法： =- =

例5：已知根式 是同類根式，則滿足條件的a、b的值為（ ）

A.不存在 B.有一組 C.有二組 D.多于二組

錯解：由已知得 2a+b=7 a=3

a-b=2 解得 b-1，故選B。

分析：顯然 a=10

b=8也是滿足題設條件的一組解，由同類根式定義可知，兩根式是同類根式，要求每一根式都是最簡根式，上述答案正是忽視了定義中的這一隱含條件，造成錯解。

正確解法為： 根式 不一定是最簡根式， 由已知條件可得 2a+b= 解得 a=

a-b=2 b= ，故選D。

三、方程中的隱含條件

例6：m為何值時方程（m+1） +（2m+3）x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根。

錯解： 方程有兩個不相等的實數(shù)根， △>0，即（2m+3）-4m（m+1）>0，解得，m>-

分析：產(chǎn)生上述錯誤的原因是忽視了一元二次方程二次項系數(shù)不為零的條件，在本例中m+1 0，即m -1，正確結論為m>- 且m -1。

例7：已知： 、 是方程 的兩個實根，則 + 的最大值是（ ）

錯解：由根與系數(shù)的關系容易得： + =（ + ） -2 =（k-2） -2（k -3k+5）=-（k+5） +19，故最大值為-19.

分析：因為當k=-5時，△=7 -4×15=-11<0無實根。這是忽略了有關根隱含著△ 0的條件，由△ 0得到-4 k - ，故最大值為18。

四、函數(shù)中的隱含條件

例8：函數(shù)y=（m+1） 是反比例函數(shù)，則m的值為_。

錯解：因為函數(shù)y=（m+1） 是反比例函數(shù)，所以 ，即 ，解得m=2或m=-1。

分析：上述答案忽視了反比例函數(shù)的定義，在這里m+1 0這一隱含條件，所以正確答案為m=2。

例9：設x 0，y 0，且2x+y=1，求3x +2y的最小值。

錯解：由題給的約束條件解出y=1-2x代人3x +2y中得，3x +2y =3x +2（1-2x）=3x -4x+3=3（x- ） + ，因此所求的最小值為 。

分析：產(chǎn)生上述錯誤的原因是忽視了約束條件x 0，y 0，且2x+y=1所隱含的對、y取值范圍的作用，事實上要使3x +2y取得最小值 ，必須x= ，然而x= 并不滿足約束條件x 0，y 0， 2x+y=1，可見答案是錯誤的。

正確解法：將約束條件x 0，y 0， 2x+y=1變形為y=1-2x，有0 1-2x 1，求得0 x ，而3x +2y =3（x- ） + 中，由于0 x ，當x= 時，3x +2y有最小值3（ - ） + = 。

五、幾何中的隱含條件

例10：已知三角形的兩邊為3和5，第三邊為 的根，求此三角形的周長。

錯解：由 得 =4， =8，所以三角形的周長為12和16。

分析：上述解答忽視了三角形中的一個重要的隱含條件：“任意兩邊之和大于第三邊”，所以正確答案為12。

例11：兩圓相交，已知公共弦長為16，兩圓半徑分別為10、17，求兩圓圓心距。

分析：對于這道題，要分析兩圓的圓心可能在公共弦的同側，也可能在公共弦的異側，答案應該是21和9。

六、三角函數(shù)中的隱含條件

例12：若角A、B是△ABC的內角，且sinA=sinB，則有：

（A）A=B （B）A=180-B （c）A=B或A=180-B （D）A=90-B

此題容易錯選（C），因為只注意sinA=sinB，而忽視了A、B是△ABC的內角，隱含著A+B 180，故應選（A）。

總之，隱含條件是數(shù)學解題中的一把“雙韌劍”。雖然它會給我們的數(shù)學解題教學帶來困擾和阻礙，但只要我們能夠有效地加以利用和科學引導，就能夠發(fā)揮其積極作用。在教學實踐中，可以利用隱含條件，培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S方式，提高學生的創(chuàng)新能力，糾正不良的解題習慣，從而使數(shù)學解題教學更加有效。