集合與常用邏輯用語

郭聯(lián)福 鄒同儉

縱觀近幾年高考的集合與常用邏輯用語題，可謂精彩紛呈.在設問上，“新而不難，活而不偏”，重視理解、把握了本質(zhì).在命題思路上，仍然注重基礎，注重知識交匯. 預計集合與充要條件仍然是考查的重點，命題及真假性的判斷也不能忽視，這種命題思路仍將延續(xù).

元素與集合的關(guān)系

這類題主要考查集合的基本概念、對集合的理解、元素與集合的關(guān)系，意在考查我們的數(shù)形結(jié)合能力和運算能力.常用的解法有列舉法、圖解法（畫出數(shù)軸或維恩圖）以及語言轉(zhuǎn)換法等.

例1 已知集合[A=1，2，3，4，5]，[B={（x，y）|x∈A，][y∈A，x-y∈A}，]則[B]中所含元素的個數(shù)為（ ）

A. 3 B. 6

C. 8 D. 10

分析 集合[B]中的元素是點集[→] 對[x，y]賦值，[x∈A]，[y∈A][→]判斷[x-y]是否屬于[A][→]進而確定集合[B]中的元素.

解 當[x=5∈A]，[y=1∈A]，

則[x-y=4∈A]，即點[（5，1）∈B].

同理（5，2）[∈][B]，（5，3）[∈][B]，（5，4）[∈][B]，（4，1）[∈][B]，（4，2）[∈][B]，（4，3）[∈][B]，（3，1）[∈][B]，（3，2）[∈][B]，（2，1）[∈][B]，所以[B]中所含元素的個數(shù)為10.

答案 D

點撥 求解本題的關(guān)鍵是過好三關(guān). 第一關(guān)是“區(qū)別關(guān)”，注意數(shù)集與點集的區(qū)別. 容易出現(xiàn)兩個方面的錯誤：一是書寫錯誤，如把點集[（1，2）]誤寫為[1，2]或[x=1，y=2]等；二是理解上的錯誤，如把數(shù)集[y|y=x2+1，x∈R]錯誤地理解為[（x，y）|y=x2+1，x∈R]或[x|y=x2+1，x∈R]等. 第二關(guān)，“運算關(guān)”，利用集合元素的三個特性，尤其是元素的互異性判斷元素個數(shù)，常把兩個相同的對象錯算作集合中的兩個元素. 第三關(guān)“周密關(guān)”，對[x，y]賦值，[x∈A]，[y∈A]時要周密，按照一定的順序取值，做到不重不漏.

集合與集合之間的關(guān)系

這類題常結(jié)合不等式的求解、函數(shù)的定義域、值域或新定義等知識，來考查兩個集合之間的包含關(guān)系及利用兩個集合之間的包含關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍等.目的是考查我們解不等式的能力、綜合運用知識的能力、數(shù)形結(jié)合能力以及理解運算能力.

例2 設集合[A={（x，y）|x24+y216=1}]，[B={（x，y）|y=3x}]，則[A?B]的子集個數(shù)是（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

分析 集合翻譯成圖形語言[→][A]表示橢圓，[B]表示指數(shù)函數(shù)的圖象[→]利用兩個圖象的交點個數(shù)解題.

解 集合[A]是以原點為對稱中心，長半軸長為4，短半軸長為2的橢圓；集合[B]是經(jīng)過點（0，1）的指數(shù)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可以找到兩個圖象的兩個交點，所以[A?B]中有兩個元素，[A?B]的子集個數(shù)是4.

答案 A

點撥 首先要搞清楚集合的屬性，再根據(jù)屬性選擇適當?shù)姆椒?如本題的兩個集合是兩個圖象上的點集，就可以采用數(shù)形結(jié)合的方法求解.求兩個點集的交集的子集個數(shù)問題的關(guān)鍵：首先，過好轉(zhuǎn)化關(guān)，即把求兩個點集的交集的子集個數(shù)轉(zhuǎn)化為求兩個圖象的交點個數(shù)問題；其次，過好畫草圖關(guān)，把兩個圖象畫出來，注意畫草圖的技巧，關(guān)鍵點描出來，記住“草圖不草”；最后，利用列舉法或公式法，求出子集個數(shù).一般地，集合[A=a1，a2，…an]含有[n]個元素，其子集的個數(shù)為[2n]，其真子集個數(shù)[2n]-1，非空真子集個數(shù)[2n-2]，利用這個結(jié)論可以加快解題速度.

命題及其關(guān)系

這類題主要考查四種命題的關(guān)系、邏輯連接詞、全稱量詞與存在量詞等基礎性知識. 特別注意命題的否定與否命題的區(qū)別.

例3 設命題[P]：[?n∈N，n2>2n，則?p為]（ ）

A. [?n∈N]， [n2>][2n]

B. [?n∈N]， [n2≤][2n]

C. [?n∈N]， [n2≤][2n]

D. [?n∈N]， [n2=][2n]

分析 將命題中的“存在”改為“任意”[→]將結(jié)論進行否定.

解 命題[P]是特稱命題，其否定是全稱命題.

所以[?n∈N，n2>2n，則?p為]：[?n∈N]， [n2≤][2n].

答案 C

點撥 對含有全稱（存在）量詞的命題進行否定需要兩部操作：第一步，將全稱（存在）量詞改寫成存在（全稱）量詞；第二步，將結(jié)論加以否定.含有全稱量詞的命題的否定是含有存在量詞的命題.含有存在量詞的命題的否定是含有全稱量詞的命題.注意命題中可能省略了全稱或存在意義的量詞，需要認真判斷.特別注意區(qū)別“命題的否定”與“否命題”. 理解記憶常用詞語的否定，如：“都是”的否定是“不都是”“至多有[n]個”的否定是“至少有[n+1]個”等.

充要條件

充要條件既可以全面認識有關(guān)數(shù)學知識的前因后果，也可以探索數(shù)學命題的來龍去脈. 因此充要條件的考題一直受到命題者的青睞. 試題多與集合、函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、立體幾何等知識交匯考查.

例4 “[φ=π]”是“曲線[y=sin（2x+φ）]過坐標原點”的（ ）

A. 充分而且不必要條件

B. 必要而不充分條件

C. 充分必要條件

D. 既不充分也不必要條件

分析 將[φ=π]代入曲線[y=sin（2x+φ）][→]利用誘導公式與三角函數(shù)圖象判斷已知曲線是否經(jīng)過坐標原點[→]由曲線[y=sin（2x+φ）]過坐標原點判斷[φ]是否一定等于[π][→]作出選擇.

解 當[φ=π]時，[y=sin（2x+π）]，

即[y=-sin2x]的圖象經(jīng)過坐標原點.

條件能推出結(jié)論，所以條件是充分的.

反過來，當曲線經(jīng)過坐標原點時，[φ=kπ]，[k∈Z]不一定有[φ=π]，即結(jié)論不能推出條件.

所以條件是結(jié)論成立的不必要條件.

答案 A

點撥 （1）充要條件的判斷問題，一定要先搞清楚誰是條件，誰是結(jié)論，條件能否推出結(jié)論. 若能，則條件是結(jié)論成立的充分條件；再看結(jié)論能否推出條件，能，則條件是結(jié)論成立的必要條件；能夠互推，則條件是結(jié)論成立的充要條件.

（2）本題是三角函數(shù)與充要條件交匯的問題，解題突破口是熟練掌握三角公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并且抓住充要條件的定義和“以小推大”（小范圍是大范圍的一部分，小范圍成立則大范圍必成立）的技巧.

（3）充要條件的命題范圍很廣，可以以數(shù)學中任意的知識作為背景命題，但萬變不離其宗，緊扣（1）即可. 同時注意該知識的特性，結(jié)合起來考慮是可以輕松解決的. 注意，對假命題的判斷只需舉一個反例就行了.