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    函數(shù)及其圖象常見題型

    2015-05-30 10:48:04徐永杰
    高中生學(xué)習(xí)·高三版 2015年7期
    關(guān)鍵詞:對(duì)稱性交點(diǎn)零點(diǎn)

    徐永杰

    從近幾年的高考試題來看,一次、二次函數(shù)圖象的應(yīng)用是高考的熱點(diǎn),重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合與等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論三種數(shù)學(xué)思想. 冪函數(shù)重點(diǎn)考查冪指數(shù)為1,2,3,[12],-1時(shí)的情形.下面,筆者以近幾年的高考題為例歸納此部分內(nèi)容的常見題型.

    圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)、范圍問題

    例1 函數(shù)[f(x)=2lnx]的圖象與函數(shù)[g(x)=][x2-4x+5]的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )

    A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

    解析 作出函數(shù)[f(x)=2lnx]的圖象與函數(shù)[g(x)=][x2-4x+5]的圖象,結(jié)合[f(2)=2ln2=ln4>1=][g(2)],如圖所示.

    答案 B

    例2 設(shè)函數(shù)[f(x)=1x],[g(x)=ax2+bx(a,b∈R,][a≠b)],若[y=f(x)]的圖象與[y=g(x)]的圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)[A(x1,y1)],[B(x2,y2)],則下列判斷正確的是( )

    A. 當(dāng)[a<0]時(shí),[x1+x2<0],[y1+y2>0]

    B. 當(dāng)[a<0]時(shí),[x1+x2>0],[y1+y2<0]

    C. 當(dāng)[a>0]時(shí),[x1+x2<0],[y1+y2<0]

    D. 當(dāng)[a>0]時(shí),[x1+x2>0],[y1+y2>0]

    解析 若[y=f(x)]的圖象與[y=g(x)]圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),當(dāng)[a<0]時(shí),其圖象如圖.作出點(diǎn)[A]關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)[C,C]點(diǎn)的坐標(biāo)為[(-x1,-y1)]. 由圖象知,[-x1y2],故[x1+x2>0,y1+y2<0],同理當(dāng)[a>0]時(shí),有[x1+x2<0,y1+y2<0].

    答案 B

    解讀 解決圖象交點(diǎn)問題時(shí),首先是畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象(根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性和對(duì)稱性).觀察圖象,結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理和函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、函數(shù)值變化速度等具體特征分析交點(diǎn)的個(gè)數(shù)和范圍.

    函數(shù)零點(diǎn)、方程根的問題

    例3 已知函數(shù)[fx=2-x, x≤2,x-22, x>2,] 函數(shù)[gx=b-f2-x],其中[b∈R],若函數(shù)[y=fx-gx]恰有4個(gè)零點(diǎn),則[b]的取值范圍是( )

    A. [74,+∞] B. [-∞,74]

    C. [0,74] D. [74,2]

    解析 由[fx=2-x, x≤2,x-22, x>2]得,

    [f(2-x)=2-2-x,x≥0,x2, x<0.]

    [則y=f(x)+f(2-x)=2-x+x2, x<0,4-x-2-x, 0≤x≤2,2-2-x+(x-2)2, x>2.=x2+x+2, x<0,2, 0≤x≤2,x2-5x+8,x>2.]

    [y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b],[y=fx-gx]恰 有4個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程[f(x)+f(2-x)-b=0]有4個(gè)不同的解,即函數(shù)[y=b]與函數(shù)[y=f(x)+f(2-x)]的圖象的4個(gè)公共點(diǎn),由圖象可知,[74

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