高考解析幾何得分秘訣談

羅剛明

解析幾何是高考考查的重點內容，以近3年全國卷I為例，不包括選做題每年都有兩道小題和一道大題，分值共22分，加上選做題共32分. 高考中失分嚴重，非?？上?其實解析幾何題雖然難，但是如果我們深入研究其命題規(guī)律，掌握得分技巧，也能得高分.

基礎知識的考查

主要以小題形式考查，屬于中、低難度. 復習時應注重回歸教材，除重視課本中圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質外，還要重視課本例題、習題、練習中對圓錐曲線的多種定義以及課本中補充材料對圓錐曲線性質的擴充.

1. 求圓錐曲線中[a，b，c，e，p，]焦點坐標、漸近線方程等基本幾何量的問題

例1 已知[F]是雙曲線[C]：[x2-my2=3m（m>0）]的一個焦點，則點[F]到[C]的一條漸近線的距離為（ ）

A. [3] B. [3]

C. [3m] D. [3m]

分析 將雙曲線的方程化為標準方程，求出雙曲線的焦點坐標和漸近線方程，根據(jù)點到直線的距離公式可以求出點[F]到[C]的一條漸近線的距離.

解 將雙曲線[C]化為標準方程[x23m-y23=1（m>0）]，

∴一個焦點[F]的坐標為[（3m+3，0）]，一條漸近線的方程為[x+my=0]，

∴焦點[F]到[C]的一條漸近線的距離為[3m+31+m=3].

答案 A

解讀 本題型主要考查圓錐曲線的標準方程及圓錐曲線的幾何性質，解決這類題型要熟練掌握圓錐曲線中[a，b，c，e，p，]焦點坐標、漸近線方程等基本幾何量之間的關系，任意給出其中兩個幾何量都能求出其他幾何量.

2. 圓錐曲線中與向量有關的問題

例2 已知[M（x0，y0）]是雙曲線[C：x22-y2=1]上的一點，[F1，F(xiàn)2]是[C]上的兩個焦點，若[MF1·MF2<0]，則[y0]的取值范圍是（ ）

A. （-[33]，[33]） B. （-[36]，[36]）

C. （[-223]，[223]） D. （[-233]，[233]）

分析 將[MF1與MF2]的數(shù)量積用[M]的坐標表示，得到關于[y0]的不等式，從而解除[y0]的范圍.

解 由題意知，[F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0）]，點[M]在雙曲線上，則[x202-y20=1.]

∴[MF1?MF2=（-3-x0，-y0）?（3-x0，-y0）]

[=x20+y20-3=3y20-1<0]，

解得[-33答案 A

解讀 在解析幾何中向量主要是起工具作用，用向量表示幾何關系，通常情況是將向量用點的坐標來表示，得到關于點的坐標的方程或不等式，然后解方程或不等式.

綜合應用能力的考查

求點的軌跡方程主要有：定義法、直接法、相關點法、參數(shù)法.直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用是對分析問題、解決問題、計算等綜合能力的考查. 基本思路分兩步：①將問題中要求解的幾何量想辦法用直線與圓錐曲線的交點坐標表示；②聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，將交點坐標用相關參數(shù)表示，得到問題中要求解的幾何量與參數(shù)的關系，從而使問題得到解決. 其中聯(lián)立直線與圓錐曲線得到的方程，有時解方程更易解決問題. 下列三種特殊情況可以直接解方程得交點坐標：①直線與圓錐曲線方程都不含參數(shù)；②直線與圓錐曲線有一個交點坐標已知；③直線過原點. 其他情況都用韋達定理.

1. 與弦長、弦的中點、三角形的面積相關的問題

例3 已知橢圓[E]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的右焦點為[F（3，0）]，過點[F]的直線交橢圓[E]于[A]，[B]兩點.若[AB]的中點坐標為[（1，-1）]，則[E]的方程為（ ）

A. [x245+y236=1] B. [x236+y227=1]

C. [x227+y218=1] D. [x218+y29=1]

分析 在圓錐曲線中與弦中點有關的問題用點差法比較簡單.

解 設[A（x1y1），B（x2，y2）]，則[x1+x2=2，y1+y2=-2]，

[x21a2+y21b2=1]，① [x22a2+y22b2=1].②

①-②得，[（x1+x2）（x1-x2）a2+（y1+y2）（y1-y2）b2=0].

∴[kAB=y1-y2x1-x2=-b2（x1+x2）a2（y1+y2）=b2a2=12].

又 [a2-b2=c2=9]，解得[b2=9，a2=18]，

∴橢圓方程為[x218+y29=1].

答案 D

解讀 解與圓錐曲線弦的中點有關的問題有兩種方法：①點差法；②聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程用韋達定理.點差法相對簡單，計算量小，但如果與范圍有關則容易出錯. 聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程用韋達定理方法，并且結合判別式容易求范圍.

例4 已知圓[M]：[（x+1）2+y2=1]，圓[N]：[（x-1）2+y2][=9]，動圓[P]與圓[M]外切并與圓[N]內切，圓心[P]的軌跡為曲線[C].

（1）求[C]的方程；

（2）[l]是與圓[P]，圓[M]都相切的一條直線，[l]與曲線[C]交于[A]，[B]兩點，當圓[P]的半徑最長時，求[AB].

分析 （1）由動圓與兩定圓相切可以列出動圓圓心[P]滿足的條件，從而能判斷[P]的軌跡是橢圓，然后求出橢圓的方程.（2）由[P]的軌跡容易判斷圓[P]的半徑最大值，由直線與兩圓相切可以求出直線方程，根據(jù)弦長公式可以求出弦長.

解 由已知得圓[M]的圓心為[M（-1，0）]，半徑[r1=1]；圓[N]的圓心為[N（1，0）]，半徑[r2=3].

設圓[P]圓心為[P（x，y）]，半徑為[R].

（1）因為圓P與圓M外切并且與圓N內切，

所以[PM+PN=（R+r1）+（r2-R）=r1+r2=4].

由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為[3]的橢圓（左頂點除外），其方程為[x24+y23=1（x≠-2）.]

（2）對于曲線[C]上的任意一點[P（x，y）]，由于[PM-PN=2R-2≤2]，所以[R≤2.]

當且僅當圓[P]的圓心為[（2，0）]時，[R=2].

所以當圓[P]的半徑最長時，其方程為[（x-2）2+y2=4.]

①若[l]的傾斜角為[90°]，則[l]與[y]軸重合，[AB=23.]

②若[l]的傾斜角不為[90°]，由[r1≠R]知[l]不平行于[x]軸，設[l]與[x]軸的交點為[Q]，

則[QPQM=RR1]，可求得[Q（-4，0）]，

所以可設[l]：[y=k（x+4）]，

則由[l]與圓[M]相切得[3k1+k2=1]，解得[k=±24].

當[k=24]時，將[y=24x+2]代入[x24+y23=1]，并整理得[7x2+8x-8=0.]

解得[x1，2=-4±627].

所以[AB=1+k2x2-x1=187.]

當[k=-24]，由圖形的對稱性可知，[AB=187].

綜上，[AB=23]或[AB=187.]

解讀 求點的軌跡方程主要有：定義法、直接法、相關點法、參數(shù)法.圓錐曲線中的弦長[AB=1+k2?x2-x1]或[AB=1+1k2?y2-y1]. 三角形的面積[S=12AB?d][=121+k2x1-x2?kx0-y0+b1+k2][=12x1-x2?kx0-y0+b].

2. 圓錐曲線中的定點、定值、范圍與最值的問題

例5 已知點[A]（0，-2），橢圓[E]：[x2a2+y2b2=1][（a>b>0）]的離心率為[32]，[F]是橢圓的焦點，直線[AF]的斜率為[233]，[O]為坐標原點.

（1）求[E]的方程；

（2）設過點[A]的直線[l]與[E]相交于[P，Q]兩點，當[△OPQ]的面積最大時，求[l]的方程.

分析 （1）由直線[AF]的斜率為[233]可以求出焦點[F]的橫坐標[c]，由離心率為[32]可以求出[a]，從而得到橢圓的方程.（2）設直線[l：y=kx-2]，聯(lián)立直線與橢圓方程，由[Δ>0]可以得到[k]的范圍，將[△OPQ]的面積用[k]表示，求出面積最大時[k]的值.

解 （1）[x24+y2=1].

（2）當[l⊥x]軸時不合題意，故設[l：y=kx-2]，[P（x1，y1），Q（x2，y2）]，

將[y=kx-2]代入[x24+y2=1]得，

[（1+4k2）x2-16kx+12=0].

當[Δ=16（4k2-3）>0]，即[k2>34]時，

[x1，2=8k±24k2-34k2+1].

從而[|PQ|=k2+1|x1-x2|=4k2+1?4k2-34k2+1].

又點[O]到直線[PQ]的距離[d=2k2+1]，

所以[△OPQ]的面積[S△OPQ=12d?|PQ|=44k2-34k2+1].

設[4k2-3=t]，則[t>0]，[SΔOPQ=4tt2+4=4t+4t].

因為[t+4t≥4]，當且僅當[t=2]，即[k=±72]時等號成立，且滿足[Δ>0].

所以當[△OPQ]的面積最大時，

[l]的方程為[y=72x-2]或[y=-72x-2].

解讀 解圓錐曲線中的定點、定值、范圍與最值的問題通常是將所求的幾何量用一個變量來表示.如果在化簡過程中變量自動約分或抵消，所求的幾何量不含變量即為定點、定值.如果化簡過后還含有變量，就將所求的幾何量看成該變量的函數(shù)，從而可以求出所求的幾何量的范圍或最值.

3. 圓錐曲線中角相等的問題

例6 在直角坐標系[xOy]中，曲線[C：y=x24]與直線[l：y=kx+a（a>0）]交與[M，N]兩點，

（1）當[k=0]時，分別求C在點M和N處的切線方程；

（2）[y]軸上是否存在點[P]，使得當[k]變動時，總有[∠OPM=∠OPN]？說明理由.

分析 （1）解出直線與拋物線的交點，利用導數(shù)求出切線的斜率，從而得到切線方程. （2）由[∠OPM=∠OPN]可知[PM，PN]的斜率[k1，k2]相等，將[k1，k2]都用[P，M，N]的坐標表示，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關系將M，N的坐標用k，a表示就能求出P的坐標.

解 （1）由題設可得[M（2a，a），N（-2a，a）]，

又[y=x2]，

①當[y=x24]在[x=2a]處的導數(shù)值為[a]，[C]在點[（2a，a）]處的切線方程為[y-a=a（x-2a）]，即[ax-y-a=0].

②當[y=x24]在[x=2a]處的導數(shù)值為[-a]，[C]在點[（-2a，a）]處的切線方程[y-a=-a（x+2a）]，即[ax+y+a=0].

故切線方程為[ax-y-a=0]和[ax+y+a=0].

（2）存在符合題意的點，證明如下.

設[P（0，b）]為符合題意的點，[M（x1，y1），N（x2，y2）]，直線[PM，PN]的斜率分別為[k1，k2]，

將[y=kx+a]代入[C]的方程得[x2-4kx-4a=0]，

故[x1+x2=4k，x1x2=-4a].

[∴k1+k2=y1-bx1+y2-bx2]

[=2kx1x2+（a-b）（x1+x2）x1x2][=k（a+b）a].

當[b=-a]時，有[k1+k2=0]，

則直線PM的傾角與直線PN的傾角互補，

故[∠OPM=∠OPN]，所以點[P（0，-a）]符合題意.

解讀 求解析幾何中角相等的問題通常有三種途徑：①轉化為直線的斜率互為相反數(shù)；②用向量來表示角；③用余弦定理.