英國高中數(shù)學(xué)教科書矩陣代數(shù)內(nèi)容介紹

劉明

[摘 要]矩陣是代數(shù)學(xué)的重要研究對象之一，也是數(shù)學(xué)以及其它領(lǐng)域研究與應(yīng)用的重要工具。2003年頒布的《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》增加了矩陣與變換的選秀內(nèi)容。本文選取英國AQA版教科書中的矩陣代數(shù)內(nèi)容，從知識呈現(xiàn)、例習(xí)題編制等角度進(jìn)行比較研究，從微觀層面來考察英國初中數(shù)學(xué)教科書，尋找英國教科書是否有值得借鑒之處。

[關(guān)鍵詞]教科書；矩陣；變換；比較

[中圖分類號]G71 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1009 — 2234（2015）07 — 0171 — 03

1前言

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》頒布以來，矩陣與變換作為選修內(nèi)容，正式進(jìn)入了我國高中課程。而縱觀美英法德加日等發(fā)達(dá)國家的高中數(shù)學(xué)課程中均有矩陣、幾何變換的內(nèi)容，這反映出矩陣、變換概念在現(xiàn)代高中數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中的不可或缺性，這些事實也為我國“矩陣與變換”的教科書編寫提供了橫向參考依據(jù)。

英國第六學(xué)級（以下稱為英國高中）相當(dāng)于中國大陸高中階段高二和高三年級，第六學(xué)級結(jié)束后的A水平考試相當(dāng)于中國大陸高考，矩陣內(nèi)容在中國大陸高中屬于選修4-2的內(nèi)容，并且屬于高考內(nèi)容，英國矩陣學(xué)習(xí)內(nèi)容在“進(jìn)一步的純數(shù)學(xué)”（Further pure maths）模塊中學(xué)習(xí)，屬于難度較高的數(shù)學(xué)模塊，有志于報考包括劍橋、牛津等名校的學(xué)生需要選修這個模塊數(shù)學(xué).現(xiàn)就英國高中AQA考試委員會編寫的A水平課本（以下簡稱英國教科書）Further pure maths中的“矩陣代數(shù)”一章進(jìn)行介紹.

2英國教科書矩陣內(nèi)容知識范圍及呈現(xiàn)順序

英國教科書“矩陣與代數(shù)”安排在“進(jìn)一步的純數(shù)學(xué)”第一冊的第4章，由四部分內(nèi)容組成，按照教科書呈現(xiàn)順序為矩陣概念與矩陣運算（加法、減法、乘法），求二階矩陣的逆矩陣，利用二階矩陣表示幾何變換，利用矩陣解線性方程組。具體目錄細(xì)節(jié)如表1：

表1

對照我國的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，可以發(fā)現(xiàn)我國課標(biāo)中的“矩陣與變換”與英國教科書的“矩陣代數(shù)”內(nèi)容基本相同，我國只是多了矩陣特征值與特征向量這一內(nèi)容。因此可以看出，本研究是具有可比性的。

3英國教科書編寫體例簡介

英國教科書是由章前言與題圖、正文、習(xí)題、綜合習(xí)題、小結(jié)構(gòu)成。其中正文包括概念與例題?？梢钥闯鲇炭茣c我國教科書的編寫體例也是相近的。

英國教科書每章前言與題圖安排在一頁。該頁的上部分為本章學(xué)習(xí)目標(biāo)（objectives），以開門見山的形式，使學(xué)生在學(xué)習(xí)之前了解該章內(nèi)容學(xué)習(xí)的方向。學(xué)習(xí)目標(biāo)下面是該章題圖，但是此題圖畫了兩個超人（如圖1），與本章內(nèi)容并沒有必然聯(lián)系。題圖的右下部分則是本章內(nèi)容簡介。我國教科書每章第一頁也是由題目與前言組成?？梢园l(fā)現(xiàn)在編寫體例形式上，兩國教科書是一致的，但是我國教科書題圖會和本章內(nèi)容相關(guān)，從教育心理學(xué)的角度來講，這樣做起到先行組織者的作用，使得學(xué)生對于本章內(nèi)容有個大致了解，

有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)?？梢钥闯鲈谡虑把耘c題圖的設(shè)計上，我國教科書優(yōu)于英國教科書。

英國教科書正文是由定義、命題與例題組成?？傮w來看，英國教科書在正文中直接給出定義或命題，然后就是例題。而中國的教科書往往會安排一些導(dǎo)入的環(huán)節(jié)，如觀察、操作、探索、歸納等等。英國教科書中例題的編排最大特點是加入了很多旁白。這是中國教科書沒有的。有了旁白，更能有助于指導(dǎo)學(xué)生分析題意、解答例題的思路，更適于學(xué)生自學(xué)。這樣的編排是由于我國教科書的。

英國教科書習(xí)題的設(shè)置與我國教科書基本一致。

總體來看，英國教科書的編寫體例與我國教科書是一致的，只是具體細(xì)節(jié)處理會有差異，在綜合教科書內(nèi)容，兩套教科書的比較是可行的。下面就從知識呈現(xiàn)，例題習(xí)題的設(shè)置這兩個角度進(jìn)行具體的分析。

4英教科書知識呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)特點

如果單獨考慮矩陣知識內(nèi)容的安排，英國高中數(shù)學(xué)教科書基本上是按照矩陣概念矩陣運算逆矩陣矩陣的應(yīng)用（表示幾何變換、解線性方程組）安排的。

英國教科書中每節(jié)都有相對固定的知識呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)順序：新概念（或性質(zhì)、定理）→舉例→習(xí)題訓(xùn)練.在知識呈現(xiàn)方面最大的特點是開門見山，直接給出概念，沒有任何引入的內(nèi)容。使得學(xué)生直接面對本節(jié)基本概念、性質(zhì)或公式，簡潔明快。以4.1節(jié)“找矩陣維數(shù)（You can find the dimension of a matrix）”為例，教科書在章節(jié)標(biāo)題下直接給出矩陣的概念“矩陣可以看成一張數(shù)表，并且有不同的形狀”，之后便給出判斷矩陣維數(shù)的方法與矩陣的表示方法。給出定義后便是例題，通過例題來鞏固所學(xué)的知識。

可以看出英國教科書更類似于大學(xué)教學(xué)課的編寫風(fēng)格。這與我國教科書是不太類似的。這可能與AQA教科書“矩陣與代數(shù)”內(nèi)容安排在“進(jìn)一步的純數(shù)學(xué)”（Further pure maths）模塊中學(xué)習(xí)有關(guān)，因為該書相當(dāng)于大學(xué)先修課程，因此在排版上也與大學(xué)教材相近。這樣安排雖然簡明，但是從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來講并不是很好。因為教科書面對的畢竟是中學(xué)生，他們的抽象運算水平還沒有達(dá)到大學(xué)生的高度。另外這樣引入矩陣的話，學(xué)生很難理解到矩陣的用處。雖然矩陣的重要用途，如可以用來表示線性變換，或者在群表示論中有著至關(guān)重要的作用。這些用途會隨著學(xué)校的不斷深入而逐漸顯現(xiàn)，學(xué)生也會加深對矩陣的認(rèn)識。但是從學(xué)習(xí)心理學(xué)的角度，從動機的角度而言，教科書還是應(yīng)該先給出一些矩陣的來源為好。如國內(nèi)教科書那樣，先介紹一些矩陣的來源，如線性方程組、經(jīng)濟學(xué)中表述投產(chǎn)出等問題都可以用矩陣來刻畫，這樣才會使學(xué)生了解到矩陣這個重要的概念不是從天而降的，而是有著重要來源的。這樣的安排的好處，既可以讓學(xué)生了解實際問題是產(chǎn)生數(shù)學(xué)理論的源泉，數(shù)學(xué)是為了解決實際問題的重要工具。這樣學(xué)生才能會有興趣去學(xué)習(xí)矩陣這部分內(nèi)容，起到激發(fā)學(xué)生興趣，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的作用。

雖然英國教科書矩陣代數(shù)內(nèi)容的后半部分安排了矩陣在幾何變換和解線性方程組的作用。但是出現(xiàn)過完，如果學(xué)生一開始就沒有被矩陣內(nèi)容所吸引，那也難認(rèn)真去學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容了，自然也體會不到矩陣的精華之處。可能就是記住了矩陣是一個數(shù)表。

5例題和練習(xí)及習(xí)題特點介紹

英國教科書例習(xí)題最大特點就是題量大，全章共有24個例題，70個習(xí)題。對比兩國教科書的例題，可以發(fā)現(xiàn)，我國教科書中的例題基本上都是對所學(xué)的知識的應(yīng)用與鞏固，但是沒有引出新知識的功能。英國教科書則具備了這兩個功能，既能對所學(xué)的知識進(jìn)行練習(xí)鞏固，進(jìn)一步加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解。而有的例題則是為了進(jìn)一步引入新知識。下面分別說明。

例題的第一功能是對剛學(xué)過知識的鞏固與應(yīng)用。通過例題提出與剛剛介紹的概念、性質(zhì)或公式相對應(yīng)的問題，隨后給出該問題的詳細(xì)解答步驟（solution）.這樣的例題和解答可能只有一組，也可能兩組以上，這要根據(jù)該性質(zhì)或概念的難度來確定.如4.1矩陣的維數(shù)這一節(jié)就只有一組例題，而4.5用矩陣描述線性變換就安排了4組例題，并且每組例題中有若干小題。

例題的另外一個功能就是引出新知識。由于英國教科書每一節(jié)沒有引言，直接給出概念。這樣雖然簡介明了，但是減少了數(shù)學(xué)知識發(fā)生的過程。很難給學(xué)生展示觀察、操作、歸納、抽象、猜想這樣的數(shù)學(xué)過程。而這些正是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究中至關(guān)重要的。因為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是學(xué)習(xí)知識，更重要的是掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的方法。日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏曾經(jīng)說過，學(xué)生學(xué)完數(shù)學(xué)，多年之后，知識都會遺忘，而留在頭腦中的，則是重要的數(shù)學(xué)方法。但是如果教師在教學(xué)中不重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，教科書中也不注意呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，那么多年之后，對于那些不再學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，或者從事和數(shù)學(xué)相關(guān)的職業(yè)的學(xué)生，可能就什么數(shù)學(xué)知識也剩不下了。那么教科書以怎樣的形式編排才能更好的促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法呢？一般來說有兩種編排方式，一個是通過引言、觀察、探索、思考的方式得出概念、命題等。另外就是在例題中滲透這些。這兩種編排方式各有利弊。放在每節(jié)的引入部分，可能不易引起學(xué)生和教師的關(guān)注。而放在例題中，那么教師和學(xué)生必然會對此重視，在教師講解與學(xué)生做題的情況下，潛移默化的將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法傳授給學(xué)生。英國教科書以例題形式來滲透數(shù)學(xué)思想方法的。

以例題8為例，該題安排在4.4節(jié)矩陣乘法中。該節(jié)開始只是給出了矩陣乘法的法則，而沒有給出矩陣乘法的形式。矩陣運算與實數(shù)運算是有很大不同的。即矩陣運算不滿足交換律，但是滿足結(jié)合律。于是教科書安排了例題7與例題8，通過具體矩陣的運算讓學(xué)生去感受、總結(jié)這些性質(zhì)。

另外，英國教科書中例題是統(tǒng)一排序的，即本節(jié)例題的題號會承接上一節(jié)最后的例題，這樣可以清楚的看出矩陣代數(shù)一章共有24道例題。另外英國教科書會根據(jù)每節(jié)所涉及的知識點的數(shù)量及難易程度來安排例題和習(xí)題的數(shù)量。在4.1-4.4節(jié)，例題和習(xí)題全是矩陣的計算題，到了4.5節(jié)后，由于介紹了矩陣與線性變換的關(guān)系，開始出現(xiàn)證明題和較復(fù)雜的計算題（如求表示線性變換的矩陣、描述矩陣所代表的幾何變換的含義等）。英國教科書中例題的特色在于其例題的解題的解題過程屬于推理分析型的，一邊推理分析一邊解題，讓人隨著分析過程一步步走到結(jié)果出現(xiàn)，思路很清晰?？梢悦黠@的看出這樣的排版方式非常利于學(xué)生學(xué)習(xí)。

英國教科書的習(xí)題分為兩類，習(xí)題和混合習(xí)題分別相當(dāng)于中國教科書中的習(xí)題和復(fù)習(xí)參考題。英國教科書中的習(xí)題不是每節(jié)都有，矩陣代數(shù)一章共11節(jié)，但只有10個習(xí)題，第一節(jié)因為內(nèi)容很簡單，沒有安排習(xí)題。英國教科書其他章節(jié)也有這樣的特點。習(xí)題（exercise）沒有根據(jù)難度分組，有計算、證明、畫圖等各種題型，涉及該節(jié)知識點的各個方面.每個習(xí)題有練習(xí)題數(shù)量不等，用來鞏固對該節(jié)知識的學(xué)習(xí)，同時也檢驗了學(xué)生對該節(jié)知識的掌握程度.英國教科書題目類型較單一，基本不涉及具體情境，也沒有任何圖案。

章末有一個混合練習(xí)題組，涵蓋本章所有知識點的內(nèi)容，是對該章知識的總結(jié)和復(fù)習(xí)，沒有明確按照難度分組，但是從題的難度和題型看，難度略高于前面的活動題和練習(xí)題。

6啟發(fā)和思考

6.1英國教科書內(nèi)容呈現(xiàn)和表達(dá)方式與學(xué)生認(rèn)知特點

英國教科書的編寫只是簡單的定義、性質(zhì)加例題加習(xí)題的形式，相當(dāng)于把大學(xué)數(shù)學(xué)中的二階方陣的知識下放到中學(xué)。如果閱讀一些大學(xué)線性代數(shù)或者高等代數(shù)教科書，可以發(fā)現(xiàn)與大學(xué)教科書的風(fēng)格是很類似的。對于矩陣的引入沒有任何說明。這樣編寫時不符合高中生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的。編寫者并沒有進(jìn)一步的考慮如何編排教科書才能使得學(xué)生更好的掌握、應(yīng)用矩陣。學(xué)生只是知道了矩陣的運算，矩陣可以表示幾何變換，可以用來求解線性方程組。沒有體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程，也沒有更好的體現(xiàn)出矩陣的應(yīng)用價值。

6.2教科書難度和容量適中

英國的“進(jìn)一步的純數(shù)學(xué)”（Further pure maths）是一套難度很大的教科書，在這套教科書的第二冊中已經(jīng)涉及了二階常微分方程、泰勒級數(shù)等高等數(shù)學(xué)知識。其他的一些章節(jié)，如復(fù)數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法，是我國教科書中也有的，知識容量以及難度都不如英國教科書。但是矩陣這部分內(nèi)容，中國教科書與英國教科書相比，多介紹了切變變換、初等變換、初等變換矩陣、矩陣的特征值與特征向量等知識內(nèi)容。這些內(nèi)容，尤其是矩陣的特征值與特征向量，都是較難的內(nèi)容。因此可見英國教科書矩陣代數(shù)部分難度與容量是適中的。英國教科書按照純數(shù)學(xué)形式編寫教科書，沒有將任何實際生產(chǎn)、生活情境融入教科書中。

6.3英國教科書章首呈現(xiàn)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)的預(yù)覽模式有利于學(xué)生自學(xué)

英國教科書在章首列出該章學(xué)習(xí)目標(biāo)（objectives），讓學(xué)生學(xué)習(xí)新內(nèi)容了解本章主要學(xué)習(xí)內(nèi)容、重點內(nèi)容、以及各個知識點的呈現(xiàn)順序、各個知識點之間的基礎(chǔ)和提高之間的邏輯關(guān)系，同時也讓學(xué)生剛開始就了解到該章內(nèi)容的各個知識點需要掌握的程度，很大程度上有利于學(xué)生對整章內(nèi)容提前有一個總體的認(rèn)識，同時還可以按照目標(biāo)要求中所列的針對不同知識點的不同掌握程度有重點地進(jìn)行學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率，也有利于提高復(fù)習(xí)效率，不至于造成沒有重點地學(xué)習(xí)，這種知識呈現(xiàn)模式顯然有利于學(xué)生對照目標(biāo)進(jìn)行自學(xué).中國教科書知識在目錄中體現(xiàn)出要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，但是體現(xiàn)不出重難點。英國教科書這一點值得我們借鑒。

6.4英國的純數(shù)學(xué)形式編寫使得教科書更加簡明

從英國AQA高中數(shù)學(xué)教科書知識呈現(xiàn)形式看，該教科書與中國20世紀(jì)80年代使用的以俄羅斯中學(xué)數(shù)學(xué)教科書為藍(lán)本的高中數(shù)學(xué)教科書編排方式相似，很少有實際應(yīng)用背景知識出現(xiàn)，同時在習(xí)題中也很少看到應(yīng)用題或數(shù)學(xué)模型題的出現(xiàn)，完全不同于中國現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)新教科書的模式。這樣編寫教科書的最大特點就是一目了然，簡潔明快。前面談到了我國教科書編寫的特點與優(yōu)勢，但是這樣編寫出的教科書有顯得過于厚重。同樣是矩陣內(nèi)容，英國教科書只用了36頁，而我國教科書卻用了111頁，這樣在教學(xué)中又增加了教師的負(fù)擔(dān)。能否保留我國現(xiàn)在編寫教科書的特點，同事吸收英國教科書簡潔明快的風(fēng)格，是一個值得繼續(xù)探討的問題。

〔參 考 文 獻(xiàn)〕

〔1〕中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）〔M〕.北京：人民教育出版社，2003.

〔2〕普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書，矩陣與變換（選修4-2）〔M〕.北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.