新課程背景下數(shù)學(xué)分析教學(xué)研究

陳娟

[摘 要]數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課程之一。2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》增加了一些數(shù)學(xué)分析中的內(nèi)容，如定積分，零點存在定理等。但是高中增加的內(nèi)容并不是大學(xué)內(nèi)容的直接下放，經(jīng)過了化簡，并且更注重數(shù)學(xué)思想的滲透。為此大學(xué)數(shù)學(xué)分析教學(xué)應(yīng)該針對新課改的情況作出適當(dāng)調(diào)整，以便更好的促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)。本文將結(jié)合極限、泰勒公式、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等具體內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計，分析如何在新課程背景下進(jìn)行數(shù)學(xué)分析教學(xué)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)分析；教學(xué)；極限；泰勒公式；導(dǎo)數(shù)

[中圖分類號]00 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1009 — 2234（2015）08 — 0173 — 02

2003年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》（一下簡稱《課標(biāo)》）頒布以來，已經(jīng)逐步在全國范圍內(nèi)推廣，到2012年廣西壯族自治區(qū)也采用了課標(biāo)版教科書，從此全國范圍內(nèi)均采用課標(biāo)版教科書。與之前的《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》相比，課標(biāo)增加了很多新的學(xué)習(xí)內(nèi)容，如積分、合情推理、數(shù)學(xué)史等，同時對以往的內(nèi)容，如導(dǎo)數(shù)、極限等進(jìn)行了重新定位。這樣進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生已經(jīng)對數(shù)學(xué)分析的有些內(nèi)容有了初步了解，但是大學(xué)的數(shù)學(xué)分析教材并沒有改變，這就要求教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)做適當(dāng)調(diào)整，以更好的促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效果。

另外，《課標(biāo)》非常強調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值等。那么大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)課程的教學(xué)中，教師要繼續(xù)發(fā)揚《課標(biāo)》中的理念，不但教會學(xué)生知識，更要教會學(xué)生方法，這才是使得學(xué)生受益終身的內(nèi)容。

本文將結(jié)合一些具體教學(xué)內(nèi)容，如極限、泰勒公式、導(dǎo)數(shù)等，談?wù)勅绾卧谛抡n程背景下進(jìn)行大學(xué)數(shù)學(xué)分析教學(xué)。

1 極限教學(xué)

2000年頒布的《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》已將極限內(nèi)容下放到中學(xué)，雖然《課標(biāo)》中又刪除了極限內(nèi)容，但是在講導(dǎo)數(shù)時還要用到極限的概念，所以很多中學(xué)老師依然補充了這部分知識，很多中學(xué)生都會計算一些簡單的數(shù)列極限與函數(shù)極限。但是中學(xué)生所接觸的極限都是很直觀初等的。并沒有精確的給出極限的概念。而很多學(xué)生進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析，就要接觸、語言，這是中學(xué)數(shù)學(xué)完全沒有接觸過的。學(xué)生往往感到困惑，為何要這樣定義極限，這是因為中學(xué)所學(xué)的都是從直觀角度入手，要引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，如果不向?qū)W生展示引出極限概念的必要性，而直接給出嚴(yán)格定義，學(xué)生陷于形式化的符號中，容易喪失學(xué)習(xí)的興趣。

學(xué)生經(jīng)過計算討論后，自然可以發(fā)現(xiàn)有些數(shù)列隨著增大會趨于穩(wěn)定，而有的則不是定值。但是對于最后一個數(shù)列學(xué)生會得出不同的結(jié)論，在教師引導(dǎo)下學(xué)生們自然會發(fā)下，以高中知識無法解決這個問題，引發(fā)了認(rèn)知沖突，這樣就引出了精確定義極限概念的必要性。學(xué)生才會明白中學(xué)里沒有精確給出極限定義，這樣有些數(shù)列是否有極限是不能確定的。這樣的教學(xué)設(shè)計充分體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體作用，由教師的教轉(zhuǎn)向?qū)W生的學(xué)，學(xué)生既感受到學(xué)習(xí)新知識的原因，同時也體會到了歸納在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用，這樣安排教學(xué)比直接給出極限定義要好得多。

2 實數(shù)連續(xù)性定理教學(xué)

實數(shù)連續(xù)性六大定理（閉區(qū)間套定理、確界定理、有限覆蓋定理、聚點定理、致密性定理、柯西收斂準(zhǔn)則）歷來是教學(xué)難點。造成教學(xué)困難的有如下幾點。首先學(xué)生在初中就學(xué)習(xí)到了無理數(shù)，但是初中的無理數(shù)引入主要是通過“開方不盡數(shù)”的，這種引入很自然，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。但是這種引入方式雖然簡單，但是“開方不盡數(shù)”只有極為少數(shù)的無理數(shù)，是可數(shù)的，而我們知道無理數(shù)是不可數(shù)的。但是初中生還沒有接觸這些概念，他們就會認(rèn)為無理數(shù)就是“開方不盡數(shù)”。而這時又從另外一個角度來定義無理數(shù)，學(xué)生在心理上是沒有準(zhǔn)備的，因此很難理解。第二個原因在于這六大定理過于形式化，充滿了精確的數(shù)學(xué)語言，如確界、聚點等，又有大量抽象的符號等，學(xué)生在理解這些名詞符號上就好花費很多時間，自然也影響了對于定理所表達(dá)的實質(zhì)內(nèi)容的理解。因此教師在教學(xué)時，要進(jìn)行學(xué)情分析，要清楚的了解學(xué)生學(xué)習(xí)的難點困惑所在。為次考慮到高中已經(jīng)開設(shè)了數(shù)學(xué)史選講，并且“類比”這一重要的數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)進(jìn)入了教科書，結(jié)合這些特點，進(jìn)行如下教學(xué)設(shè)計。

實數(shù)理論的奠基是與微積分的嚴(yán)密化緊密聯(lián)系在一起的。而中學(xué)已經(jīng)簡單的介紹了數(shù)系擴(kuò)充的歷史，并且簡要介紹了微積分的發(fā)展歷程。因此教師在教學(xué)時不妨先讓學(xué)生回顧為什么數(shù)系要擴(kuò)充，學(xué)生很容易回答出是運算的封閉性要求數(shù)系要擴(kuò)充。然后再引導(dǎo)學(xué)生考慮無理數(shù)是如何擴(kuò)充的？學(xué)生自然會想到開方運算，但是教師還要引導(dǎo)學(xué)生去思考是如何計算出來的，還是利用開方運算嗎？這樣就引起了學(xué)生的認(rèn)知沖突，教師再引導(dǎo)學(xué)生回憶重要極限，這樣學(xué)生會發(fā)現(xiàn)很多無理數(shù)其實是有理數(shù)列的極限，因此極限運算是無理數(shù)的重要來源。然后再指出，從運算角度來看，實數(shù)集關(guān)于極限運算是封閉的。而這個性質(zhì)就是實數(shù)的連續(xù)性，因此要對實數(shù)集連續(xù)性的定理進(jìn)行嚴(yán)格證明。

這樣進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，充分考慮了學(xué)生的認(rèn)知特點與學(xué)習(xí)心理，有借助類比的方法，讓學(xué)生與以前所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行比較，降低了學(xué)習(xí)難度，比一開始就講解定理的證明效果要好。

3 泰勒公式教學(xué)

泰勒公式在函數(shù)值的近似計算中有重要作用，是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具。但在教學(xué)中，泰勒公式繁瑣的推導(dǎo)過程會占用大量的數(shù)學(xué)課堂時間，反而其重要的應(yīng)用例子，教師可能簡單一帶而過，有心理學(xué)中的注意理論可知，學(xué)生一節(jié)課上的能集中注意力的時間一般為20分鐘左右，因此學(xué)生在復(fù)雜的推導(dǎo)論證之后，很可能難以去認(rèn)真學(xué)習(xí)泰勒公式的應(yīng)用價值了。因此教學(xué)時以問題為中心，通過問題來引出泰勒公式的重要性。可進(jìn)行如下的教學(xué)設(shè)計。借助函數(shù)重要的函數(shù)模型。讓學(xué)生自己歸納出引出泰勒公式的必要性。

因此先以問題為引導(dǎo)，提出如下的問題。

要求學(xué)生計算分別取1， 1.2，1.21時候三個函數(shù)值，學(xué)生很快就可以發(fā)現(xiàn)，不利用計算器，也很容易求出第一個函數(shù)的值，但對于第二、三個函數(shù)不借助計算器是很難算出的。此時在要求學(xué)生觀察這3個函數(shù)的特點，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)這3個函數(shù)分別是多項式函數(shù)、三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，這些函數(shù)都是學(xué)生熟悉的。而且學(xué)生也知道對于后兩個函數(shù)，只能計算自變量為特殊值的函數(shù)值。這樣學(xué)生才會體會出多項式函數(shù)在計算上的優(yōu)點。教師再進(jìn)一步指出多項式函數(shù)是最簡單的函數(shù)，因為多項式函數(shù)的運算只有加、減、乘三種運算?！?〕《課標(biāo)》指出學(xué)習(xí)函數(shù)要掌握重要的函數(shù)模型，多項式函數(shù)就是一個重要的函數(shù)模型。再由此引導(dǎo)學(xué)生去思考是否能將無理函數(shù)和初等超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為多項式函數(shù)，將一個要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題。這就是數(shù)學(xué)上重要的化歸思想。然后便是嚴(yán)密的推理論證過程。這樣的教學(xué)，不但傳授了知識，更重要的是給出了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的方法。

4 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)上的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性態(tài)的重要工具，在高中課程中增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，主要利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性。但是并沒有給嚴(yán)格證明，而要證明則要用到微分學(xué)基本定理，由此引出學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的必要性。

另外，羅爾定理、拉格朗日定理的引出也要充分借助幾何背景。高中課程中已經(jīng)增加了合情推理的內(nèi)容，但是合情推理的能力不是一朝一夕形成的，要不斷地在教學(xué)中滲透。而微分學(xué)中值定理的發(fā)現(xiàn)就是一個很好的素材。教師教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)圖像進(jìn)行觀察，進(jìn)而得出猜想，猜想的過程更重要，只有提出猜想，數(shù)學(xué)才能進(jìn)步。如果課上只是進(jìn)行證明，那么學(xué)生學(xué)到的只是解決問題，而不是提出問題。

高考題中很多壓軸題都是要利用導(dǎo)數(shù)，并結(jié)合具體函數(shù)模型來討論解決的。例如2014年數(shù)學(xué)高考題大綱卷第22題第1問：函數(shù)，討論f（x）的單調(diào)性。該題思路很明顯，要對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，得到f。可以看出導(dǎo)函數(shù)分母恒大于0，因此要討論分子的正負(fù)。而分子有事一個二次函數(shù)，并且是二次項系數(shù)為1，常數(shù)為0的二次函數(shù)。學(xué)生只要熟練掌握了二次函數(shù)模型，就會通過對參數(shù)a的討論得出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性。

因此在教學(xué)中，不防結(jié)合某些高考題，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)分析在解決初等問題中的強大作用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

5 常用不等式

高中課程中增加了柯西不等式、琴生不等式等常用的不等式。而數(shù)學(xué)分析會對這些不等式進(jìn)行進(jìn)一步的深入研究和推廣。例如數(shù)學(xué)分析中的赫爾德不等式：

當(dāng)p=q=2時，就是柯西不等式?？梢钥闯龊諣柕虏坏仁骄褪强挛鞑坏仁降耐茝V。因此教學(xué)時教師可以從中學(xué)所學(xué)的柯西不等式入手，這樣既降低了教學(xué)難度，也使得學(xué)生理解了各個不等式之間的關(guān)系。同時也給出了學(xué)生創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)結(jié)論的方法，即從已有結(jié)論出發(fā)，進(jìn)行推廣。

不等式一直是中學(xué)教學(xué)的重難點，《課標(biāo)》降低了不等式證明的技巧，但是更加突出不等式的幾何背景。所以在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，既要繼承幾何背景在學(xué)習(xí)不等式的作用，引導(dǎo)學(xué)生通過不等式的幾何解釋去理解不等式。

柯西不等式，琴生不等式經(jīng)常在競賽和自主招生考試中出現(xiàn)，教師在教學(xué)過程中也可以結(jié)合具體的題目來幫助學(xué)生去理解應(yīng)用這些不等式。

而這個是在數(shù)學(xué)分析中一個重要的內(nèi)容，另外2010年湖北數(shù)學(xué)高考題，也是以此為背景命題的。在進(jìn)行歐拉常數(shù)教學(xué)時，教師可以結(jié)合這類高考題來講解，這樣學(xué)生就可以體會到數(shù)學(xué)分析在指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，讓學(xué)生學(xué)以致用，不再認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥無味的。

總之，在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，要深入分析學(xué)生在高中學(xué)習(xí)的情況，精心進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，選取合適的材料，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高其學(xué)習(xí)效果。

〔參 考 文 獻(xiàn)〕

〔1〕 劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義（上冊）.北京：高等教育出版社，2008：264.

〔責(zé)任編輯：侯慶海〕