運動電荷在有界磁場中的運動分析

高翔

[摘 要]磁場的強弱和運動速度的大小決定了荷質(zhì)比一定的粒子的磁偏轉(zhuǎn)半徑，而磁場分布的位置（或者粒子進與出磁場的位置）和磁場在空間分布范圍限定了磁偏轉(zhuǎn)運動的徑跡，從而決定了磁偏轉(zhuǎn)所對應(yīng)的圓心角和所夾的弦，進而決定了粒子在有界磁場中運動的時間和實際通過的路徑。粒子從什么位置以什么樣的速度進入和射出有界磁場，以及有界磁場的分布區(qū)域是分析粒子進出有界磁場問題的重要條件。

[關(guān)鍵詞]有界磁場 分布范圍 進出位置

[中圖分類號] G633.7 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2015）230039

荷質(zhì)比q/m不同的電荷以不同速度進入指定的磁場區(qū)域，磁偏轉(zhuǎn)的半徑r=mv/qB，因荷質(zhì)比的不同而存在差異，同時由于運動電荷進入有界磁場的方向不同，即與磁場邊界的夾角存在差異，磁偏轉(zhuǎn)的路徑也就不同。由于受磁場邊界的限制，使得磁偏轉(zhuǎn)的路徑受到相應(yīng)的限定，這也就決定了磁偏轉(zhuǎn)對應(yīng)的圓心角和運動弧長所夾的弦長不同，從而使得磁偏轉(zhuǎn)的時間和經(jīng)歷的路徑存在差別。

求解此類問題常用的方式是：通過確定進入和射出有界磁場的位置求解磁回旋對應(yīng)的弦，通過弦長的最值求解磁回旋路徑的長短，或者通過尋找磁回旋的圓心角求解磁回旋經(jīng)歷的時間，其中求入射速度或qm是解決此類問題切入點。

一、粒子從確定的位置以確定的速率進、出指定區(qū)域內(nèi)磁場的最值問題分析

圖1

【例1】 如圖1所示為可測定比荷的某裝置的簡化示意圖，在第一象限區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小B=2.0×10-3T，在x軸上距坐標原點L=0.5m處為離子的入射口，在y軸上安放接收器，現(xiàn)將一帶正電荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率從P處射入磁場，若粒子在y軸上距坐標原點L=0.5m的M處被觀測到，且運動軌跡半徑恰好最小，設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為m、電量為q，不計其重力。則上述粒子的比荷qm（Ckg）是（ ）。

A.3.5×107 B.4.9×107

C.5.3×107D.7×107

【認知及思維過程分析】

1.粒子從確定的位置進、出有界磁場，雖然知道速度的大小，但射入和射出的方向未知，在指定分布區(qū)域的有界磁場中發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)。學生多會錯誤地認為是從P和M處垂直邊界進、出有界磁場，誤認為磁偏轉(zhuǎn)的半徑為r=L。這是審題不清，擴大條件導致錯誤建立物理過程模型的結(jié)果。

圖2

2.邏輯推理磁偏轉(zhuǎn)的最大半徑是解決問題的關(guān)鍵。由牛頓運動定律可知Bqv=mv2r，解得r=mv/qB，即磁偏轉(zhuǎn)r∝m/q。由此可知磁偏轉(zhuǎn)半徑隨荷質(zhì)比的變化而改變。欲求最大的q/m，只要尋求最小磁回旋半徑即可，即進、出磁場位置的間距等于磁偏轉(zhuǎn)的直徑時方可滿足，如圖2所示，連接MP，以之為直徑求出半徑r=22L，從而求得qm=4.9×107Ckg。

二、粒子從確定的位置以確定的速度進入三角形分布區(qū)域有界磁場問題分析

粒子從確定的位置以確定的速度進入指定位置的三角形有界磁場區(qū)域，磁偏轉(zhuǎn)的半徑隨磁場強度的變化而改變，但由于磁場是在三角形區(qū)域內(nèi)分布的，使得磁偏轉(zhuǎn)的徑跡不能任意增大，邊界限制就成為求解問題的切入點。

圖3

【例2】 如圖3所示的平面直角坐標系xOy中，在第Ⅰ象限內(nèi)有平行于y軸的勻強電場，方向沿y正方向；在第Ⅳ象限內(nèi)的正三角形abc區(qū)域內(nèi)有垂直于xOy平面向里的勻強磁場，正三角形邊長為L，且ab邊與y軸平行。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子，從y軸上的p（0，h）點，以大小為v0的速度沿x軸正方向射入電場，通過電場后從x軸上的a（2h，0）點進入第Ⅳ象限，又經(jīng)過磁場從y軸上的某點進入第Ⅲ象限，且速度與y軸負方向成45°角，不計粒子所受的重力。求：

（1）電場強度E的大??；

（2）粒子到達a點時速度的大小和方向；

（3）abc區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強度B的最小值。

【認知及思維障礙分析】

1.粒子經(jīng)由“組合場”，故解題時應(yīng)明確先后經(jīng)歷的物理過程，準確求解前后物理過程銜接的物理量“速度”和層遞發(fā)生的“位置”是求解問題的關(guān)鍵。

運動電荷先在勻強磁場中做類平拋運動，從確定的位置a（2h，0）射出電場，再從該點進入正三角形的勻強磁場，并發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)。通過類平拋運動的始末位置求解電場強度和到達a點的速度是解決問題的前提。

2.難點是粒子經(jīng)過磁偏轉(zhuǎn)后與y軸負方向成45°角射出三角形磁場，我們知道了磁偏轉(zhuǎn)的速度（大小和方向），但從什么位置射出三角形磁場，是未知的，盡管知道與-y相交，但交點在哪兒未知，因此從何位置射出有界磁場是一個未知的點，我們也就無法確定磁回旋的徑跡。同時由于磁場分布在指定的三角形區(qū)域內(nèi)，再加上三角形邊界的限制，使得磁偏轉(zhuǎn)的軌跡不能隨意擴大，因此利用有界磁場邊界的約束，根據(jù)r=mv/qB，利用r∝1/B，通過最大的磁回旋半徑尋求B的最小值就成為解決問題的切入點。

3.利用圓的對稱性是作圖法求射出磁場位置的關(guān)鍵。由弦的中垂線與包絡(luò)圓弧的對稱性可知，運動電荷從確定的位置以恒定的速度進入正三角形磁場，經(jīng)磁偏轉(zhuǎn)后粒子必然從正三角形對稱點b射出。

解析：（1）設(shè)粒子在電場中運動的時間為t，在x方向上做勻速直線運動，則x=2h=v0t。

粒子在豎直方向上做初速度為零的勻加速直線運動，則：

y=h=12at2=qEm（2hv0）2

，解得E=mv202qh。

（2）粒子到達a點時沿負y方向的分速度：vy=at=2ht2·t=2ht=v0

，所以v=2v0，與x軸成45°。

（3）粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為r，由牛頓運動定律可知：qvB=mv2/r，解得r=mv/qB。

圖4

根據(jù)圓的對稱性，當運動電荷從a射入，運動到b點射出時磁偏轉(zhuǎn)的半徑最大，磁場的磁感應(yīng)強度有最小值，如圖4所示，r=

22L=

2mv0qB

，解得B=2mv0qL。

三、粒子從確定的位置以確定的入射方向進入圓形有界磁場問題分析

粒子從確定的位置以確定的入射方向進入圓形有界磁場，磁偏轉(zhuǎn)的半徑隨入射速度的變化而正比例變化，這也使得磁偏轉(zhuǎn)的圓心角隨磁回旋半徑減小而增大，從而使得磁偏轉(zhuǎn)花費的時間隨之增加。磁偏轉(zhuǎn)花費的時間隨圓心角或者磁偏角的變化而同步改變成為解決問題的切入點。

圖5

【例3】 如圖5所示，在以O(shè)為圓心的圓形區(qū)域內(nèi)，有一個方向垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小B=0.1T，圓半徑R=103cm，豎直平行放置的金屬板連接在如圖5所示的電路中，電源電動勢E=9V，內(nèi)阻r=1Ω，定值電阻R1=20Ω，滑動變阻器R2的最大阻值為70Ω；兩金屬板上的小孔S1、S2跟O點在垂直于極板的同一直線上，另有一水平放置的足夠長的熒光屏D，O點跟熒光屏D之間的距離H=203cm，現(xiàn)有荷質(zhì)比為q/m=

40×105C/kg

的正離子由小孔S1進入電場加速后，從小孔S2穿出，通過磁場后打在熒光屏D上，不計離子的重力和離子在小孔處的初速度，求：

（1）若離子能垂直打在熒光屏上，則電壓表的示數(shù)多大？

（2）滑動變阻器滑片P的位置不同，離子在磁場中運動的時間也不同，求離子在磁場中運動的最長時間和此種情況下打在熒光屏上的位置到屏中心O′點的距離。

【認知及思維障礙分析】

1.識別電路結(jié)構(gòu)，判斷電容器兩極板間的電壓是求解問題的前提。滑動變阻器R2和定值電阻R1組成穩(wěn)定的串聯(lián)電路，閉合回路的電流恒定。設(shè)滑動變阻器左端連入線路的電阻為Rx，則電容器兩極板間獲得的電壓Ux=R1+Rxr+R1+R2E。

2.直線加速器兩極板間的電壓決定了粒子加速后獲得的速度，W=qU=12mv2-0

，解得v=2qUm，即v∝U。

3.加速后的粒子從確定的位置以確定的方向進入圓形有界磁場發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)，磁偏轉(zhuǎn)的半徑r∝v，圓心角隨磁偏轉(zhuǎn)半徑的增加而減小，磁偏轉(zhuǎn)的時間t=θ2πT

隨圓心角的減小而減少。確定何時達到最大的圓心角是求解最長時間的關(guān)鍵，同時要避免另外一個二級推論的干擾，那就是在磁偏轉(zhuǎn)半徑一定的前提下，磁偏轉(zhuǎn)的徑跡為劣弧的前提下，磁偏轉(zhuǎn)所夾的弦隨著圓心角的增加而增大，粒子磁偏轉(zhuǎn)通過的路程隨之增加。

解析：（1）若離子由電場射出后進入圓形有界磁場，經(jīng)磁偏轉(zhuǎn)射出有界磁場垂直打在熒光屏上，則離子在磁場中速度方向偏轉(zhuǎn)了90°，離子在磁場中做圓周運動的徑跡如圖6所示，由幾何知識可知，離子在磁場中做圓周運動的圓半徑r1=R=103cm。

設(shè)兩金屬板間的電壓為U1離子經(jīng)電場加速獲得v1，由動能定理有：qU1=12mv21

；由牛頓運動定律可知qv1B=mv21r1

，得r1=mv1qB

，聯(lián)立兩式解得：U1=B2r21q2m

，代入數(shù)值解得U1=60V。

（2）兩金屬板間的電壓越小經(jīng)電場加速后獲得的速度也越小，粒子在磁場中做圓周運動的半徑就越小，射出電場時的偏轉(zhuǎn)角越大，因此在磁場中運動的時間越長，所以滑片在變阻器R2的左端時，離子在磁場中運動的時間最長。

由閉合電路歐姆定律得：I=ER1+R2+r=1A。

兩金屬板間電壓Umin=IR1=20V，由qUmin=12mv22可得此時的軌跡半徑：r2=0.1m。

粒子進入磁場后的徑跡如圖7所示，O1為徑跡圓的圓心。由tanα=Rr2=3

可得α=60°，故粒子在磁場中運動的最長時間為t=T3≈5.2×10-5s。

在△OO′A中，θ=30°，所以A、O′間距離x=Htanθ=20cm。

四、粒子從確定的位置以確定的入射速度進入矩形有界磁場問題分析

粒子從確定的位置以確定的速率進入矩形有界磁場，在磁感應(yīng)強度不變的情況下，磁偏轉(zhuǎn)的半徑恒定，但由于進入有界磁場速度方向的變化，使得磁偏轉(zhuǎn)的路徑存在差異，體現(xiàn)為磁偏轉(zhuǎn)的圓心角變化，所夾的弦長也發(fā)生變化，這就使得粒子在磁場中運動的時間隨之變化。通過求解磁偏轉(zhuǎn)的圓心角來求解粒子在磁場中運動的時間，或者通過求解所夾的弦長來求解磁偏轉(zhuǎn)通過的路程是解決此類問題的切入點。

圖8

【例4】 在如圖8所示的直角坐標系xOy中，矩形區(qū)域oabc內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B=5.0×10-2T；第一象限內(nèi)有沿-y方向的勻強電場，電場強度大小為E=1.0×105N/C。已知矩形區(qū)域的Oa邊長為0.6m，ab邊長為0.20m。在cb邊中點N處有一放射源，某時刻放射源沿紙面向磁場中各方向均勻輻射速率均為v=2.0×106m/s的某種帶正電粒子，帶電粒子質(zhì)量m=1.6×10-27kg，電荷量q=3.2×10-19C，不計粒子重力（計算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字），求：

（1）粒子在磁場中運動的半徑。

（2）從x軸上射出的粒子中，在磁場中運動的最短路程為多少？

（3）放射源沿-x方向射出的粒子，從射出到從y軸離開所用的時間。

【認知及思維障礙分析】

1.從確定的位置以確定的速率向各方向發(fā)射相同的粒子，磁回旋半徑r=mvqB均相等，因粒子射入磁場方向不同，因而形成不同的磁偏轉(zhuǎn)徑跡，磁偏轉(zhuǎn)徑跡的包絡(luò)面如圖8所示，弧面NP到Na之間是粒子磁回旋的包絡(luò)面。在這一包絡(luò)面中，穿出磁場進入上方勻強電場中的粒子中，磁偏轉(zhuǎn)中最短的弦是有界磁場的間距oa和bc的距離，因此在磁偏轉(zhuǎn)半徑一定的前提下，最短的弦對應(yīng)最短的磁偏轉(zhuǎn)路程。

圖8

2.追蹤分析物理過程不僅是解決物理問題的能力，更是發(fā)展學科思維能力的關(guān)鍵。很多時候我們只局限在磁偏轉(zhuǎn)這一物理過程的最值分析而忽視了后續(xù)跟進發(fā)生的物理過程。向-x方向射出的粒子經(jīng)過磁偏轉(zhuǎn)后，沿y軸正向進入勻強電場，經(jīng)過勻變速直線運動后，再次以相同大小的速率沿y軸負向進入有界磁場，再次發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)，通過作圖法定性描繪再次發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)的徑跡，通過幾何關(guān)系求解磁偏轉(zhuǎn)對應(yīng)的圓心角，從而求解第二次磁偏轉(zhuǎn)經(jīng)歷的時間。

圖9

解：（1）粒子運動的軌跡如圖8，由牛頓第二定律可得：qvB=mv2R，解得：R=0.20m。

（2）由幾何知識可知最短弦對應(yīng)最短的弧長，如圖9所示，α=60°，最短的弧長即為最短路程s=Rα=π15=0.21m。

（3）粒子磁偏轉(zhuǎn)的周期T=2πRv=6.28×10-7s。

粒子在磁場中沿NP運動的時間t1=T4。

粒子在電場中的加速度a=Eqm，又因為v=at2，解得：t2=1.0×10-7s，粒子在電場中往返運動的時間相等，即t2=t3。

由圖9可知cosθ=12，故θ=60°。

粒子在磁場中運動的第二部分時間t4=θ2πT=T6。

粒子運動的總時間t總=t1+t2+t3+t4=4.6×10-7s。

綜合上述分析可知，粒子以確定的速度進入指定區(qū)有界磁場，發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)的徑跡因磁場的強弱、分布范圍和粒子自身的運動特征而受到限定，磁場的分布限定了磁偏轉(zhuǎn)徑跡，從而決定了磁偏轉(zhuǎn)所夾弦的大小，通過求解弦的大小來求解磁偏轉(zhuǎn)通過的路程就成為解決此類問題的關(guān)鍵。在磁場分布范圍一定的前提下，磁偏轉(zhuǎn)半徑越小，磁偏轉(zhuǎn)越大，磁偏轉(zhuǎn)的圓心角也就越大，粒子在磁場中運動的時間也就越長。

（責任編輯 易志毅）