線段與角相關(guān)問題中的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用

仇日鋒

[摘 要]數(shù)學(xué)思想是解決線段和角相關(guān)問題的常用思想，主要通過例題對數(shù)學(xué)思想中的方程思想、分類討論思想、整體思想、類比思想進行了闡述，以此說明數(shù)學(xué)思想在解決線段和角問題過程中的重要作用.

[關(guān)鍵詞]線段 角 數(shù)學(xué)思想 應(yīng)用

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2015）230036

在解決有關(guān)線段與角的問題中，常用到一些數(shù)學(xué)思想，現(xiàn)針對方程思想、分類討論思想、整體思想、類比思想，列舉這幾個數(shù)學(xué)思想在有關(guān)線段與角的問題中的應(yīng)用.

一、方程思想

方程思想是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程），然后通過解方程來使問題獲解.在解決有關(guān)線段與角的問題中常用到這種思想.

圖1

【例1】 如圖1，在直線上，AB∶BC∶CD=2∶3∶4，點M、N分別是AB、CD的中點，已知MN=60cm，求AD的長.

分析：根據(jù)條件AB∶BC∶CD=2∶3∶4這一特點，

設(shè)AB=2x，則BC=3x，CD=4x，由點M、N分別是AB、CD的中點，

可將MN用含x的式子表示.根據(jù)MN=60cm，建立方程，求出x，從而求得AD的長.

解：設(shè)AB=2xcm，則BC=3xcm，CD=4xcm.

∵M、N分別是AB、CD的中點，

∴MB=12AB，CN=12CD，

∴MN=MB+BC+CN=12AB+BC+12CD=12×2x+3x+12×4x=6x.

∵MN=60cm，

∴6x=60，得x=10.

∴AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x=9×10=90cm.

點評：當已知線段被分成幾條線段的長度比時，可根據(jù)比例設(shè)未知數(shù)x，用含x的式子表示相關(guān)線段的長度，然后列方程，求出x的值，進而求出線段的長.

【例2】 一個角的補角比它的余角的4倍還多15°，求這個角的度數(shù).

分析：設(shè)出這個角為x°，則這個角的余角為（90-x）°，這個角的補角為（180-x）°，根據(jù)這個角的補角比它的余角的4倍還多15°，可列出方程求出x的值.

解：設(shè)這個角為x°，則這個角的余角為（90-x）°，這個角的補角為（180-x）°.

根據(jù)題意，得180-x=4×（90-x）+15，解這個方程得x=65.

故這個角是65°.

點評：求解此類問題的關(guān)鍵是正確理解互為余角和互為補角的概念.對于較為復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，可設(shè)其中的一個未知角為未知數(shù)，利用方程思想找出相關(guān)角之間的關(guān)系，列出方程，求出未知數(shù)，解決問題.

二、分類討論的思想

分類討論思想在解決有關(guān)線段與角的問題中經(jīng)常用到.當題目中的條件不確定時，一般解題時必須分情況進行討論.

【例3】 已知線段AB=7cm，在直線AB上畫線段BC=3cm，求線段AC的長.

分析：本題中沒有給出圖形，畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵，點C既可以在線段AB上，也可以在線段AB的延長線上，故要分兩種情況討論.

解：分兩種情況：

圖2圖3

（1）當點C在線段AB上時，如圖2，AC=AB-BC=7-3=4（cm）；

（2）當點C在線段AB的延長線上時，如圖3，AC=AB+BC=7+3=10（cm）.

所以線段AC的長為4cm或10cm.

點評：本題沒有指明圖形的位置，且題目中沒有圖形，因此圖形位置具有不確定性，所以解題時要分類討論.

【例4】 已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，求∠DOE的度數(shù).

分析：根據(jù)已知條件不能確定OC的位置，OC可能在∠AOB的內(nèi)部，也可能在∠AOB的外部，所以要分兩種情況討論.

圖4

解：（1）當OC在∠AOB的內(nèi)部時，如圖4所示.

因為OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，

所以∠BOD=12∠AOB=50°，∠BOE=12∠BOC=30°，

所以∠DOE=∠BOD-∠BOE=50°-30°=20°.

圖5

（2）當OC在∠AOB的內(nèi)部時，如圖5所示.

因為OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，

所以∠BOD=12∠AOB=50°，∠BOE=12∠BOC=30°，

所以∠DOE=∠BOD+∠BOE=50°+30°=80°.

綜上所述，∠DOE的度數(shù)為20°或80°.

點評：在解決沒給出圖形的幾何題時，若已知條件中圖形的位置

關(guān)系不明確，往往要進行分類討論，注意多解.

三、整體思想

整體思想就是從整體的角度思考問題，將局部放在整體中去解決問題.

圖6

【例5】 如圖6，已知C、D是線段AB上的兩點，點E、F分別為AC、BD的中點，AB=15，CD=6，求線段EF的長度.

分析：由于EF=EC+CD+DF，但無法求出線段AC、BD的長度，也就無法求出線段EC、DF的長度，只能把線段EC+DF看作一個整體.

解：因為點E、F分別為AC、BD的中點，

所以EC=12AC，DF=12BD，

所以EF=EC+CD+DF=12AC+CD+12BD=12（AC+BD）+CD=12（AB-CD）+CD=12×（15-6）+6

=10.5.

故線段EF的長度是10.5.

點評：本題利用了整體方法求解線段的長度，體現(xiàn)了整體思想的應(yīng)用.

圖7

【例6】 如圖7，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA平分∠EOC，

OB平分∠DOF，求∠EOF的大小.

分析：由于∠EOF=∠AOE+∠AOB+∠BOF，但無法求出

∠AOE、∠BOF的度數(shù)，只能把∠AOE+∠BOF看作一個整體.

解：因為OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，

所以∠AOE=∠AOC，∠BOF=∠BOD，

所以∠EOF=∠AOE+∠AOB+∠BOF=∠AOC+∠AOB+∠BOD

=∠AOC+∠BOD+∠AOB=∠AOB-∠COD+∠AOB=110°-70°+110°=150°.

點評：本題體現(xiàn)了整體思想在求角的度數(shù)問題上的應(yīng)用.

四、類比思想

類比是由兩個對象在某些方面的相同或相似，推測它們在其他方面也可能存在著相同或相似的地方.

圖8

【例7】 （1）如圖8，線段AD上有兩點B、C，圖中共有幾條線段？

（2）在直線a上共有n個點，以這些點為端點的線段共有多少條？

（3）n個小朋友兩兩握手，共需握幾次手？

圖9

（4）如圖9，以O(shè)為頂點，以射線OA1，OA2，OA3，…，OAn

為邊且小于平角的角共有多少個？

（5）在同一平面內(nèi)，n條直線相交，最多有多少個交點？

分析：上面幾個問題都是有一些元素，每兩個元素之間構(gòu)成一次聯(lián)系，需分析共有多少次聯(lián)系.

解：（1）每一個點與其他3個點構(gòu)成3條線段，4個點共構(gòu)成4×3條線段.由于每條線段都重復(fù)計算了一次，所以在這個圖中共有4×32=6條線段.

（2）每一個點與其他（n-1）個點可以構(gòu)成（n-1）條線段.n個點共構(gòu)成n（n-1）條線段.由于每條線段都重復(fù)計算了一次，所以共有n（n-1）2條線段.

（3）每一個小朋友與其他（n-1）個小朋友握手（n-1）次.n個小朋友共握手n（n-1）次.由于每個小朋友都重復(fù)計算了一次，所以共握手n（n-1）2次.

（4）每一條直線與其他（n-1）條直線可以構(gòu)成（n-1）個角.n條直線共構(gòu)成n（n-1）個角.由于每個角都重復(fù)計算了一次，所以共有n（n-1）2個角.

（5）每一條直線與其他（n-1）條直線相交最多有（n-1）個交點.n條直線最多構(gòu)成n（n-1）個交點，由于每個交點都重復(fù)計算了一次，所以共有n（n-1）2個交點.

點評：用同樣的方法解決了類似的問題，用已知的知識類比地學(xué)習(xí)未知的內(nèi)容.

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，它是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要的促進和指導(dǎo)作用.學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)過程中要認真體會、思考、總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法.

（責任編輯 鐘偉芳）