感悟分段函數(shù)

宋貴玲

分段函數(shù)是一種重要的函數(shù)模型，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，在歷年高考中也常作為重點(diǎn)來考查。對(duì)于分段函數(shù)的有關(guān)問題，不少考生不知如何下手，現(xiàn)從兩個(gè)方面予以解讀，希望對(duì)大家有一定的幫助。

一、概念理解

在函數(shù)的定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。分段函數(shù)的解析式是各段區(qū)間上的對(duì)應(yīng)關(guān)系的綜合。在處理分段函數(shù)問題時(shí)，既要緊扣“分段”的特征，又要把各段有機(jī)地聯(lián)系在一起，作為一個(gè)整體去把握，使之系統(tǒng)化、條理化。

二、題型強(qiáng)化

題型1：求分段函數(shù)的函數(shù)值。

例1 已知函數(shù)求f（f（9））的值。

解：由9∈（8，12]，得f（9）=16-9=7。

由7∈（4，8]，得f（7）=8。

f（f（9））=8。

評(píng)析：求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，一般先確定自變量的取值在定義域的哪個(gè)子區(qū)間內(nèi)，然后用與這個(gè)子區(qū)間相對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)法則來求函數(shù)值。

練習(xí)：設(shè)，求的值。

參考答案：

題型2：求分段函數(shù)的定義域、值域。

例2 求函數(shù)定義域和值域。

解：函數(shù)f（x）的定義域是區(qū)間（-∞，-l]和（-l，+∞）的并集，即R。

當(dāng)x≤-1時(shí)，-1；當(dāng)x>-l時(shí)，

函數(shù)f（x）的值域是區(qū)間[=1，+∞）和的并集，即。

評(píng)析：求分段函數(shù)的定義域，即求各段自變量的取值范圍的并集；求分段函數(shù)的值域，要先求出各段區(qū)間內(nèi)函數(shù)的值域，然后求其并集。

練習(xí)：已知函數(shù)求函數(shù)f（x）的定義域和值域。

參考答案：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閰^(qū)間[0，+∞）和（-∞，0）的并集，即R，值域是區(qū)間[0，+∞）和（0，+∞）的并集，即[0，+∞）。

題型3：求分段函數(shù)的解析式。

例3 某旅行社組團(tuán)去某風(fēng)景區(qū)旅游。若每團(tuán)人數(shù)為30或小于30，飛機(jī)票每張收費(fèi)900元；若每團(tuán)人數(shù)大于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，每張機(jī)票收費(fèi)減少10元，直到每張收費(fèi)降為450元為止。每團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15000元。

（1）寫出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)。

（2）問：每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)？

解：（1）設(shè)每團(tuán)人數(shù)為x。

由題意得0設(shè)飛機(jī)票的價(jià)格為y元，則y=

（2）設(shè)旅行社獲利S元。

當(dāng)O