試論電壓與電流變化量之比的意義

周寅

【摘要】通過實(shí)例詳細(xì)講解線性電路中，電壓與電流變化量之比的意義，并把這種意義延伸到解決理想氣體方程的相關(guān)問題中。

【關(guān)鍵詞】高中物理 電壓電流 變化量之比

【中圖分類號】G【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）08B-0071-02

高中物理中有關(guān)電壓與電流的變化關(guān)系是一個(gè)比較重要的內(nèi)容，其中電壓與電流的變化量的比，所體現(xiàn)出來的物理意義反映了電子元器件的本質(zhì)屬性。尤其是線性元件的特性，更是高中必須了解和掌握，并學(xué)會(huì)用來解決實(shí)際的電路問題。在此就線性元件的問題進(jìn)行研究，供同行參考。

一、關(guān)于線性元件

首次接觸線性元件的概念，是在對電阻性質(zhì)的學(xué)習(xí)中。由歐姆定律可知，對一定值的電阻，通過它的電流與加在它兩端的電壓成正比，即。根據(jù)此式作出的U—I圖象為一條過原點(diǎn)的直線，該直線的斜率就是該電阻的阻值。我們稱所有滿足輸入量與輸出量之比為定值的元件為線性元件。由圖象關(guān)系還可得，此時(shí)加在電阻兩端的電壓與通過其電流的變化量之比在數(shù)值上等于該電阻的阻值。雖然阻值是狀態(tài)量的比值，但符合了線性元件特征，這個(gè)比值是有明確的物理意義的。對于非線性元件而言，電壓和電流變化量之比在歐姆定律范疇中就是無意義的。正因?yàn)榫€性元件有這樣的一種特性，所以我們可以利用它的這個(gè)特性來解決實(shí)際的電路問題。

比如，在電容器的章節(jié)里，由電容定義式知，如果知道電容器帶電量的變化和加在兩端的電壓變化，也可以求出電容值，即。

二、閉合回路中的路端電壓與干路電流

在閉合回路中，設(shè)電源內(nèi)阻r為一個(gè)定值。由公式U路=E-I r 得，此時(shí)斜率（如圖所示），即電源的內(nèi)阻。從另一個(gè)角度來看， Ur=E-U路，作出的 Ur 與I 的圖象是過原點(diǎn)的一條直線。則由圖象得，通過求導(dǎo)得所表達(dá)的就是同一個(gè)意思。我們據(jù)上推導(dǎo)關(guān)系可認(rèn)為：只有在 r 是一個(gè)定值的條件下才有意義。

〖例1〗在如圖所示的動(dòng)態(tài)電路中，改變滑動(dòng)變阻器的阻值，判斷和的變化。

〖解析〗因?yàn)镽1的阻值是一個(gè)變量，屬于非線性原件。所以從R1的角度討論便沒有了意義，不過我們可以將U1當(dāng)作是路端電壓。這樣一來，電源的等效內(nèi)阻就變成了r與R2之和。因?yàn)榈刃?nèi)阻是定值，從路端電壓的角度來判斷就是有意義的，比值為r+R2。而的判斷正好與之相反：因?yàn)镽2是定值，所以從R2的角度判斷才有意義。所以的比值也是定值，大小為 R2。

三、動(dòng)態(tài)電阻的作用

高中物理課本中，有關(guān)于“描繪小燈泡的伏安特性圖線”的電學(xué)實(shí)驗(yàn)，數(shù)據(jù)描點(diǎn)連線后如圖所示。由圖象可知，小燈泡是一非線性元件。因?yàn)槲覀冎皩﹄娮璧亩x為狀態(tài)量的比值，圖線上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的連線（割線）的斜率的倒數(shù)為該狀態(tài)下的電阻值，即，所以該實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論是：小燈泡的電阻隨加在兩端的電壓的增大而增大。圖中作出P點(diǎn)切線的斜率，對于非線性元件是無意義的，旨在考察學(xué)生對電阻定義式的理解程度。

對于高中階段的物理學(xué)習(xí)，以上解釋足矣。但所謂“無意義”的說法向來都不是絕對的，只是我們的知識面不夠?qū)?，研究問題程度不深，見識的題型單一而已。通過查資料，筆者發(fā)現(xiàn)，將某元件兩端的電壓與通過導(dǎo)體的電流的比值，表示元件對電流的阻礙作用，在物理學(xué)中被稱為該元件某狀態(tài)下（工作點(diǎn)）的靜態(tài)電阻。與之相對的還有動(dòng)態(tài)電阻的定義，用來表征兩端的電壓隨電流變化的快慢或趨勢，即圖線上工作點(diǎn)的切線的斜率。靜態(tài)電阻和動(dòng)態(tài)電阻在電路分析的時(shí)候各有用途，并產(chǎn)生了一個(gè)重要的分析方法：“小信號分析法。”小信號分析法是分析非線性電阻電路的一種極為重要的方法。

四、教學(xué)反思

為什么學(xué)生會(huì)對圖象題中割線和切線的斜率意義分辨不清，是源于高中階段我們遇到的第一個(gè)圖象問題的解決不夠完善，存在著隱患。

在勻速直線運(yùn)動(dòng)中，由公式x=vt ，如圖中甲所示，可作出一條過原點(diǎn)的直線，而圖線的斜率對應(yīng)的就是速度的大小。若物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，如圖中乙所示，為一條上升的曲線，由曲線上每一點(diǎn)切線斜率的變化可知，物體在做加速直線運(yùn)動(dòng)。此圖與小燈泡的伏安特性圖線相似，所以學(xué)生根據(jù)U=RI 與 x=vt的公式參照，想當(dāng)然地套用曲線上某點(diǎn)切線斜率來表示電阻的阻值。

仔細(xì)比較下來，兩個(gè)公式的物理量間存在著很大的差異。在公式 U=RI中，U和I都是狀態(tài)量。而在 x=vt中，x對應(yīng)的是過程量位移而非位置，t對應(yīng)的是時(shí)間段而非時(shí)刻，位置與時(shí)刻的比值是無意義的。所以在非勻速直線運(yùn)動(dòng)中，位移非均勻變化的曲線上某點(diǎn)的切線含義是：在該時(shí)刻周圍極短的時(shí)間內(nèi)的位移與時(shí)間的比值，表示該時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即 。因?yàn)樵诟咧须A段，學(xué)生接觸的圖象中，大多數(shù)都是過程量的關(guān)系式所畫出的圖線，所以學(xué)生對切線的斜率使用頻率高，習(xí)慣上先入為主，缺乏理性的思考辨析。再者，學(xué)生遇到的狀態(tài)量的比值，例如在“探究加速度與質(zhì)量、合外力的關(guān)系”實(shí)驗(yàn)中，加速度a與合外力F就是狀態(tài)量，但因?yàn)樗鞒龅氖且粭l過原點(diǎn)的直線，被的數(shù)值關(guān)系給掩蓋住了，學(xué)生如果不認(rèn)真思考，用變化量的比值去做是發(fā)現(xiàn)不了問題的。在理想實(shí)驗(yàn)中，隨著重物質(zhì)量的增加，小車的質(zhì)量在不滿足遠(yuǎn)大于重物時(shí)，a—F圖象就會(huì)出現(xiàn)偏離理論直線下彎的現(xiàn)象，這個(gè)由測量誤差導(dǎo)致的且并非因?yàn)樾≤嚨馁|(zhì)量發(fā)生了變化而產(chǎn)生的曲線顯然是不能用斜率的意義去解釋的。

五、拓展與延伸

在高中物理課本中涉及到的變化量的比值有：位移/時(shí)間的比值=速度，速度變化量/時(shí)間=加速度，動(dòng)能變化量/距離=合外力，機(jī)械能變化量/距離=除重力外其他力的合力，電勢差/距離=場強(qiáng)等；涉及到狀態(tài)量的比值有：電壓/電流=電阻，理想氣體狀態(tài)方程等。

同理，這種特征在理想氣體狀態(tài)方程中也可以運(yùn)用。

〖例3〗如圖所示，一導(dǎo)熱良好的封閉試管豎直放置，A和B兩部分氣體被水銀柱隔開。已知初始溫度相同，現(xiàn)將兩部分氣體升高相同的溫度，試判斷水銀柱的位置變化。

〖解析〗由理想氣體的狀態(tài)方程可知 ，其中C由氣體的質(zhì)量決定。假設(shè)升高溫度后，水銀柱不動(dòng)，則V也不變。為一定值，所以。由變形式，可知，在 T 和△T 相同的情況下，PA教師在教學(xué)過程中應(yīng)對此問題，在理解物理意義的基礎(chǔ)上，在初期就作好與公式所對應(yīng)的圖象意義的正確解釋和辨析。在比較中，讓學(xué)生初步了解到圖線上的點(diǎn)到原點(diǎn)連線的斜率表示的是狀態(tài)量的比值，圖線上某點(diǎn)切線的斜率表示的是變化量的比值。接下來，理解更深層次的圖象意義，就是要弄明白一些書本上沒有直接給出的物理量比值的含義。而這個(gè)則要求學(xué)生具備對物理數(shù)學(xué)公式的轉(zhuǎn)換變形能力和數(shù)學(xué)上基本函數(shù)圖象對比聯(lián)系能力。具體步驟如下：

（1）能寫出橫縱坐標(biāo)涉及到的物理量之間的關(guān)系式；

（2）將橫縱坐標(biāo)涉及到的物理量通過公式變形分化在公式等號的左右兩側(cè)；

（3）知曉基本數(shù)學(xué)函數(shù)圖線的公式和畫法，例如，一次函數(shù)圖線、拋物線等；

（4）將變形后的物理公式與數(shù)學(xué)公式相對應(yīng)，找出圖象的意義，例如，斜率的意義、圖線上升還是下降、開口向上還是向下等。

教學(xué)上的循序漸進(jìn)，學(xué)生理解能力的提升，都依賴一個(gè)良好的根基。對剛開始接觸的物理概念，看似簡單，卻正是因?yàn)樗钠毡樾?，使其在以結(jié)果為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)模式中將學(xué)生的錯(cuò)誤理解給掩蓋了，使許多問題無法暴露。這就需要教師預(yù)見性地設(shè)計(jì)課堂和提問來盡可能地揭示問題；鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)言和討論，多聽學(xué)生的想法然后去發(fā)現(xiàn)新的問題；具備扎實(shí)的基本功和清晰的表達(dá)能力，及時(shí)處理和解決學(xué)生的問題等。往往這些在應(yīng)試模式中被忽略的，或被表面解決的知識點(diǎn)，才是高考中所要考查的關(guān)于學(xué)生是真懂還是假懂的問題，是見識面的寬泛還是思維度的提升等問題。而人才的培養(yǎng)更是馬虎不得，十年樹木，百年樹人，對于學(xué)生來說，也只有根基扎實(shí)，才能正確地應(yīng)對各種問題，在科學(xué)的道路上走得更久更遠(yuǎn)。

（責(zé)編 盧建龍）