一道求矩陣高次冪題的多種解法

摘 要：矩陣A的高次冪是線性代數(shù)課程教學(xué)實踐中的疑難點，本文通過一道求矩陣高次冪例題的多種解法，總結(jié)歸納了解決這類問題的常用方法和技巧。

關(guān)鍵詞：矩陣；高次冪；一題多解

線性代數(shù)的內(nèi)容具有高度的抽象性特點.加之概念多，結(jié)論密集，各章既有聯(lián)系，又自成系統(tǒng)，重復(fù)少，印象不深，往往是講到后面，忘了前面，使得教學(xué)效果大打折扣.可是對教學(xué)效果影響最大的卻是它的另一個特點：解題方法多，證題方法靈活.線性代數(shù)的解題方法靈活多變，沒有固定的規(guī)律和步驟，而且往往是一題多解，有不少人反映線性代數(shù)難學(xué)，但由于其基礎(chǔ)性與重要性，我們又不得不學(xué)，所以，在教學(xué)中必須要講求方法、講求技巧，才能取得好的效果.教師可以充分利用線性代數(shù)中一題多解的特點有效地開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造靈感，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，從而提高學(xué)生的綜合素質(zhì).尤其在總結(jié)教學(xué)中更應(yīng)當(dāng)適時、適量地讓學(xué)生做一些一題多解的題，不僅可以起到復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識的作用，更可以將一章甚至幾章內(nèi)容串起來，讓學(xué)生對所學(xué)知識有一個整體的認(rèn)識。

下面就一道求矩陣高次冪的例題，給出了多種解法.并總結(jié)出矩陣高次冪的常見解法.

方法一：利用數(shù)學(xué)歸納法：首先要求出A的A2，A3，A4……等低次冪，從A的低次冪的結(jié)果中找出它們共同的規(guī)律，進而猜想出An的結(jié)果，最后再用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.

方法二：利用初等矩陣的性質(zhì)：對矩陣A左（右）乘一初等矩陣，即相當(dāng)于對矩陣A的行（列）作了一次同該初等矩陣同類的初等變換。

方法三：利用二項式展開式，當(dāng)AB=BA時，

CkAn-1Bk，利用此結(jié)論將矩陣A分解為A=B+C，其中B，C的方冪容易計算，且BC=CB.

除了通過此例題所介紹的利用數(shù)學(xué)歸納法、利用初等矩陣的性質(zhì)、利用二項式展開式外，求矩陣高次冪還有以下幾種常用方法：

（1）利用矩陣乘法結(jié)合律求解方陣高次冪——若方陣能夠分解為一個列向量與一個行向量的乘積，則可以利用矩陣乘法運算滿足結(jié)合率的性質(zhì)求出方陣A的高次冪。

（2）分塊降階：應(yīng)用矩陣的分塊降階法：計算An的方法：通過A的各子塊A1，A2，A3…的高次冪An1，An 2，An 3…，求出原矩陣的A高次冪。

（3）利用相似對角化，將n階方陣化為對角陣——此法適用于有n個線性無關(guān)的特征向量的n階方陣A，因為這樣的矩陣可對角化，即一定存在可逆矩陣P，使得P-1AP=A，從而易得An=PAnP-1.

（4）利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)形計算矩陣高次冪——對于一般的n階矩陣來說，有定理：每個n階矩陣A都與一個n階Jordan矩陣J相似.即存在n階可逆陣P，使得P-1AP=J，從而易得An=PJnP-1.并非所有的方陣都可對角化，因而該方法比相似對角化法更具有一般性。

（5）利用哈密爾頓—凱萊定理求解方陣高次冪——哈密爾頓—凱萊定理：設(shè)n階方陣A的特征多項式f（λ）=|λE-A|=C0+C1λ+…+Cnλn，則方陣A的多項式f（A）=O.

由上面求矩陣高次冪的多種方法可知，從相同的條件出發(fā)，通過不同的方式，得到同一結(jié)論，將線性代數(shù)中有關(guān)矩陣及其運算、矩陣的初等變換、相似矩陣等內(nèi)容通過這種類型例題串了起來，使學(xué)生對線代內(nèi)容有個整體的認(rèn)識.在教學(xué)過程中適時、適量地要求學(xué)生做一些一題多解，不但可以啟發(fā)學(xué)生綜合運用所學(xué)知識去分析問題、解決問題 ；更重要的是可以培養(yǎng)、訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，增強學(xué)生思維的靈活性、開拓性。

參考文獻

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作者簡介：廖金萍，南昌大學(xué)人民武裝學(xué)院。