源于定義的三視圖問題求解對策

韓天禧

關(guān)于三視圖的定義，教材是這樣給出的，“光線依次從幾何體的前面向后面、左面向右面、上面向下面的正投影，分別叫做幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖，統(tǒng)稱為幾何體的三視圖”。三視圖的定義圖文并茂、簡潔明快，但缺少數(shù)學屬性，好記憶難應用。要深度理解三視圖的定義，必須從圖形中挖掘特征量，從投影的物理方法與過程中提煉數(shù)學本質(zhì)，來豐富三視圖的定義的內(nèi)涵。

一、三視圖的定義評析

1.三正要義

三視圖是在空間設置互相垂直的三個正立面（正面、水平面、側(cè)立面）作為投影面，是在物體正放、視線正對著物體的前提下，向這三個面上進行投影得到的三個視圖。其中，互相垂直的三個正立面是三視圖的空間載體，三個方位的正投影是成圖的物理方法與過程，三個正立面上的三個空間正投影展到同一平面上，是平面三視圖的最終歸宿。毫不夸大地說，“三正”是作三視圖的操作起點與動作指令。

2.點是本源

線、面、體的根在于點，作幾何體各頂點的投影點，各頂點的投影如同若干鋼針正釘在投影面上，在投影面上由點生線（眼見為實，不見為虛），由線生面，得到對應的三個視圖。

3.三等關(guān)系

三個視圖的長、寬、高分別指幾何體所占空間的左右、前后、上下的最大距離。由每兩個視圖都有相同的可視量，得正視圖與俯視圖的長、正視圖與側(cè)視圖的高、側(cè)視圖與俯視圖的寬都相等，即“長對正、高平齊、寬相等”，這個三等關(guān)系體現(xiàn)了三個不同方位的視圖的必然聯(lián)系。

4.三位關(guān)系

投影后要把在空間的三個視圖展開攤平到同一個平面內(nèi)，即正視圖不動，側(cè)視圖逆轉(zhuǎn)90。放在正視圖右側(cè)，俯視圖下旋90。放在正視圖下方，由此得出的“三位關(guān)系”是自然形成的，而不是人為擺放的。

5.數(shù)位關(guān)系

“三等”與“三位”關(guān)系是不可分割的整體，數(shù)中有位，位不離數(shù)，相輔相成地呈現(xiàn)出三個視圖之間的聯(lián)系。

6.逆向回轉(zhuǎn)

三視圖的形成與還原是互逆的，投影與平移、平展與翻折相互對應。由三視圖還原幾何體時，先將三個視圖翻折到空間互相垂直的三個正立面上，然后將三視圖中的局部線段，憑借空間想象力，依次向前后、左右、上下平移，使得“長對正、高平齊、寬相等”，還原出三視圖對應的空間幾何體。

二、三視圖問題的求解對策

從以上定義評析中發(fā)現(xiàn)，空間幾何體的三視圖與長方體的關(guān)系是休戚相關(guān)的，我們不妨就請長方體這個“甕”，來捉三視圖這只“鱉”。

1.請“君”入“甕”

在作幾何體的三視圖時，若將幾何體鑲嵌在長方體中，不僅三個正立面是現(xiàn)實直觀的，再無需憑空想象，而且作投影時前后、上下、左右處處都有可供參考的線面垂直與線線平行關(guān)系，這個長方體就是最美正投影的關(guān)系網(wǎng)，所以只要把幾何體請到長方體中，作空間幾何體的三視圖就是水到渠成、順理成章的事了。

例1將正三棱柱截去三個角（如圖1，A、B、C分別是△GHI三邊的中點），得圖2所示的幾何體，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖是（）。

解析：將圖2所示的幾何體ABC-EFD放人圖4所示的長方體中，作幾何體各頂點在側(cè)立面上的正投影，即B與C兩點的投影為點N，點A的投影為點G，點E的投影為點D，點F的投影為點M，依次連接各投影點，得該幾何體從左到右的投影為直角梯形M DDGN，再將該投影沿線段DG按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得側(cè)視圖。應選A。

點評：其實就是把空間幾何體內(nèi)接在長方體之中，為減少作圖量，盡可能地把幾何體中的點、線、面放到長方體各面上。

例2某幾何體的一條棱長為√7，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為√6的線段，在該兒何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為“和b的線段，則a+b的最大值為（）。

A.2√2

B3.2√3

C.4

D.2√5

解析：不妨構(gòu)造一個體對角線長為√7的長方體，如圖5所示，使D1B一√7，D1C=√6，a=BC1，b=BD。時，等號成立。

點評：把幾何體的這條棱視為長方體的一條體對角線，它對應的三個視圖就是這個長方體的三個面對角線，在找體對角線與面對角線間的關(guān)系時，還需要設出長方體的長、寬、高作為媒介。對于本題，若脫離具體的長方體模型是難以入手的。

2.“甕”中捉“鱉”

由三視圖還原幾何體，它與作幾何體的三視圖是一個互逆過程，其思路是：以三視圖的長、寬、高作一個長方體，將正視圖、側(cè)視圖和俯視圖依次放到長方體的后側(cè)面、右側(cè)面和下底面上，把三個視圖的部分線段，依次向前、向左、向上平移，使得“長對正、高平齊、寬相等”，就能快捷地還原出幾何體。

例3一個棱錐的三視圖如圖6所示，則該棱錐的全面積為（）。

A.48+12√2 I3.48+24√2

C.36+12√2 D.36+24

解析：如圖7，在長方體的三個面上作出該幾何體的正視圖、俯視圖、側(cè)視圖，分別為△NAD、△MCD、△ABC，線段QM在側(cè)立面上的投影為M點，線段PN在正對面上的投影為N點，記QM、PN的交點（）1為棱錐的頂點，將CD平移到BA處使俯視圖與側(cè)視圖的寬相等（重合），AD平移到BC處使正視圖與俯視圖的長對正，由此得到三視圖對應的空間幾何體為三棱錐O1-ABC。經(jīng)反向驗證，該幾何體滿足要求。

在圖7中，O為AC的中點，O1O=4，AB=BC=6，AC一6√2，三棱錐O1-ABC的兩側(cè)面△O1AB與△O1BC是全等的等腰三角形，由此得三棱錐01-ABC的全面積為：S=S△O1AB+S△O1BC+S△O1AC+S△ABC =48+12√2。

點評：只要心中有圖，不一定非要作出一個具體的長方體，可將三個視圖假想在長方體的三個面上，經(jīng)過翻折后，做到三個重合，憑著空間想象能力也能還原出空間幾何體。

例4已知正四面體（所有棱長都相等的三棱錐）的俯視圖如圖8所示，其中四邊形是邊長為2的正方形，求這個正四面體的正視圖的面積。

解析：作底面為正方形的長方體，如圖9所示，取底面正方形各邊的中點A、N、B、M，則正方形ANBM為正四面體的俯視圖。

由于AB=MN，只有將俯視圖的可視線段AB沿豎直方向平移到長方體上底面上的PQ位置時，才能使正四面體的兩條棱PQ與MN的長相等，由此得到正四面體P-MNQ，它的正視圖為△CDM。

由AN =2，得正四面體的棱長為PQ=2√2。

在Rt△QAN中，AQ= =2。

正四面體的正視圖△CDM的面積為S△CDM=

點評：由此看出，在長方體中還原空間幾何體，可輕松逾越命題者預設的考查較強空間想象力的難度，如對于本題，使抽象的幾何體的特征與俯視圖，不僅直觀形象地在長方體中相互照應與調(diào)整，而且當幾何體確定后，它的正視圖也就顯而易見了。尤其是利用長方體作工具，可直接把三視圖中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)移到對應的空間幾何體上，利用直角三角形求解未知量時也簡單。

G.波利亞在《怎樣解題》中說：“畫一個假設圖形，假設它的各個部分都滿足題目條件，也許是邁出解題的重要一步”。照此辦理，在解決三視圖問題時，將幾何體鑲嵌在長方體中作三視圖，或用它把三視圖統(tǒng)一在長方體中還原幾何體，用這種請“君”入“甕”與“甕”中捉“鱉”的思路去解決問題，能化抽象為形象，方法簡單、快捷又容易掌握。

跟蹤訓練

1.（2013年高考湖南理）已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于（）。

A.1

B.

c.

D.

2.（2013年高考全國新課標版1理）某幾何體的三視圖如圖10所示，則該幾何體的體積為（）。

A.l6+8π

B.8+8π

C.16十l6π

D：8+16π

3.（2014年高考全國新課標版1理）如圖11，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）。

A.6√2

B.4√2 C.6 D.4參考答案：1.C 2.A 3.C