數(shù)學(xué)解題，“三審”題目

文/李菁菁 高明

波利亞在《怎樣解題》中提到解題的第一個環(huán)節(jié)是“弄清問題”，它是對問題表征進(jìn)行認(rèn)識的過程，通過審條件、審結(jié)論、審方法三方面去理解題意，抓住關(guān)鍵信息，明確命題的意圖，進(jìn)而找到解題的突破口，“三審”是成功解決問題的前提。

一、審條件

條件是解題的基礎(chǔ)和依據(jù)。審條件就是要充分利用題目中的已知條件，將條件進(jìn)行分解、轉(zhuǎn)化、組合，挖掘隱含信息，找到它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時要抓住關(guān)鍵特征，明確命題的意圖，尋找解題的突破口。

x+y=_______.(2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆維吾爾自治區(qū)預(yù)賽)

分析與解答:條件是關(guān)于變量x，y的高次方程，單獨(dú)解出x，y非常困難。抓住題目中的隱含條件，即方程的結(jié)構(gòu)特征和數(shù)量特征，將其變形為:

觀察可發(fā)現(xiàn)這兩個方程有較明顯的特征，兩式的左邊結(jié)構(gòu)相同，右邊的兩個數(shù)互為相反數(shù)。此時可構(gòu)造函數(shù)f(t)=t2011+t2009+2010t，再利用相關(guān)性質(zhì):

(1)函數(shù)f(t)為奇函數(shù)，有f(x-1)=-f(y-1)=f(1-y);

(2)函數(shù)f(t)為R的單調(diào)遞增函數(shù)，則由f(x-1)=f(1-y)可得x-1=1-y。

故x+y=2。

二、審結(jié)論

結(jié)論的證明或解答是解題的目的、落腳點(diǎn)。審結(jié)論就是在解題前要知道題目求的是什么，明確解題方向。而對于某些選擇題，往往可以從結(jié)論入手，將結(jié)論分成互斥的類型，從而尋找到解決問題的思路。

分析與解答:從結(jié)論入手，可發(fā)現(xiàn)A、C選項(xiàng)不含0元素，B、D選項(xiàng)含有0元素，則將選項(xiàng)分為兩類:A、C與B、D。

三、審方法

方法就是解題的手段、技巧，是解題的重要工具。審方法就是挖掘題目中的條件，可以利用數(shù)學(xué)公式、定理等來得到解決問題的思路。多角度、全方面地思考如何利用這些條件來解決問題，有助于提高人的思維能力。

分析與解答:

方法1(函數(shù)的性質(zhì))函數(shù)的定義域?yàn)閇2，3]，由連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)必有最值，且通常在端點(diǎn)處或極值點(diǎn)處取得，而，因此f(x)的值域?yàn)閇1，2]。

方法2(數(shù)形結(jié)合法)由于涉及根式運(yùn)算，較復(fù)雜，可考慮使用換元法。令原函數(shù)變?yōu)閥=a+b，又有a2+3b2=3，即現(xiàn)考慮直線b=-a+y與橢圓1(a≥0，b≥0)的位置關(guān)系。(如圖2)，利用數(shù)形結(jié)合思想可知:直線與橢圓第一象限有交點(diǎn)，故y最小在點(diǎn)(0，1)處取，此時y=1，y最大滿足由其判別式為0，可解得y=2處取得，所以y∈[1，2]，即f(x)的值域?yàn)閇1，2]。

方法3(三角代換法)由于變數(shù)3x-6與3(3-x)之和為定值，聯(lián)想到三角函數(shù)的性質(zhì)。因?yàn)?≤3-x≤1，令3-x=cos2α，α∈，則3x-6=3sin2α。

則f(α)∈[1，2]。