不確定時(shí)間延遲下RMPC的保代價(jià)區(qū)域優(yōu)化研究＊

易永紅 ， 林曉佳

（1.四川大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川 成都610044；2.綿陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系 四川 綿陽621000；3.福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州350116；4.中國科學(xué)院 北京100864）

系統(tǒng)在通信、測量或者計(jì)算處理過程中產(chǎn)生的延遲會(huì)使得系統(tǒng)的性能下降，或者會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)控制循環(huán)的不穩(wěn)定［1］，因此在系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)過程中要考慮這種時(shí)間延遲.然而在實(shí)際場景中，時(shí)間延遲往往是未知的，主要由以下原因產(chǎn)生：不可預(yù)料的系統(tǒng)行為改變，操作環(huán)境的改變，組件的失效，以及通信連接的重新配置等［2］.在這種時(shí)間延遲不確定的情況下，必須采取有效的控制策略來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行.為了應(yīng)對(duì)上述問題，研究人員采用RMPC（Robust Model based Predictive Control）［3］技術(shù)來處理延遲的不確定性.

當(dāng)系統(tǒng)模型中存在不確定性時(shí)，RMPC是一種滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化控制技術(shù)，其目標(biāo)是在滿足一定的約束條件下確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性［4］.在預(yù)測控制系統(tǒng)中，大多數(shù)的穩(wěn)定性措施都有一個(gè)基本的假設(shè)前提［5］，即在每個(gè)時(shí)間步都可以進(jìn)行系統(tǒng)的優(yōu)化，因而系統(tǒng)的穩(wěn)定性和約束處理是緊密相連的.在這種情況下，為了對(duì)模型進(jìn)行近似處理（如線性化和降階），健壯性在系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程中十分重要.

在典型的RMPC公式中，控制策略通過對(duì)最小值或者最大值優(yōu)化問題進(jìn)行在線求解，并且通過一系列不確定設(shè)備對(duì)代價(jià)函數(shù)的最壞值進(jìn)行評(píng)估［6］.然而，在控制器的實(shí)際部署中，實(shí)時(shí)部署的計(jì)算量相當(dāng)大.為了應(yīng)對(duì)這種情況，Rossi等人［7］提出了一種基于線性矩陣不等式［8］的RMPC方法，該方法應(yīng)用數(shù)值解法可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)進(jìn)行系統(tǒng)的最優(yōu)控制.研究表明，［8］的方法可以轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題，通過加入額外的線性矩陣不等式來表示系統(tǒng)的操作約束［9］.為了較小保守型，［10～12］在［7］的基礎(chǔ)上提出了不同的應(yīng)對(duì)方法.此外，還有一些研究方法關(guān)注系統(tǒng)的輸出反饋［5，12，13］，非線性系統(tǒng)［14］，非對(duì)稱輸出約束［15］等.在確定保代價(jià)區(qū)域的過程中，為了進(jìn)一步分析系統(tǒng)中的已知和未知輸入延遲，本文對(duì)［7］提出的方法進(jìn)行了擴(kuò)展，在系統(tǒng)的狀態(tài)向量中包含了歷史的控制值信息，提出了一種基于線性矩陣不等式的保代價(jià)區(qū)域分析方法.

1 基于線性矩陣不等式的RMPC

在不確定狀態(tài)空間模型下，RMPC的公式描述為：

其中x（k）∈?nx和u（k）∈?nu分別為系統(tǒng)在k時(shí)刻的狀態(tài)和輸入變量，參數(shù)A，B∈Ω，Ω為不確定的多面體，節(jié)點(diǎn)為Ai∈ ?nx×nx 和Bi∈ ?nx×nu，i＝1，2，…，L.令Cl∈ ?1×n（l＝1，2，…，ny）為已知的約束向量，那么輸出變量為yl（k）＝Clx（k）.令無窮時(shí)間跨度的代價(jià)函數(shù)為：

其中S∈?nx×nx和R∈?nu×nu為正定的權(quán)重矩陣，（·｜k）為根據(jù)k時(shí)刻的可用信息計(jì)算得到的預(yù)測值.如果系統(tǒng)的狀態(tài)可以直接測量得到，那么x（k｜k）＝x（k）.

在t時(shí)刻，RMPC的優(yōu)化問題可以形式化描述為：

其必須滿足的約束條件為

其中ur，max和yl，max分別表示第r個(gè)輸入和第l個(gè)輸出的放大邊界.

根據(jù)［8］，代價(jià)函數(shù)J∞（k）的上屆γ可以通過最小化如下所示的半正定規(guī)劃問題得到：

其約束條件分別如下

此后，將預(yù)測函數(shù)F＝Y(jié)Q－1應(yīng)用于狀態(tài)反饋控制規(guī)則中，使得u（k＋j｜k）＝Fx（k＋j｜k）.為了簡化符號(hào)的表示，在下文的論述中用P（x（k））表示公式（6）～（10）所示的半正定規(guī)劃問題.

通過在滾動(dòng)時(shí)域中應(yīng)用控制規(guī)則（即在每個(gè)采樣時(shí)刻k通過求解P（x（k））得到新的增益矩陣F），如果P（x（k））在初始時(shí)刻k＝0有可行解，那么封閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的［8］.因此，如果優(yōu)化問題P（ξ）有可行解（即將x（k）替換為ξ后線性矩陣不等式（7）～（10）表示的系統(tǒng)存在著可行解（γ，Q ＞0，Y，X，Z）），那么初始條件x（0）＝ξ∈ ?nx 是可行的［7］.

1.1 保代價(jià)區(qū)域分析

其約束條件除了要滿足公式（8）～（11）所示的線性矩陣不等式外，還要滿足

其中常數(shù)向量ξ∈?nx定義了極點(diǎn)的延伸方向.于是，可以得到極點(diǎn)β＊ξ，并且對(duì)于不同的ξ得到凸殼的所有極點(diǎn)，從而得到的內(nèi)部近似區(qū)域.當(dāng)→∞時(shí)，上述半正定規(guī)劃的解包含的區(qū)域內(nèi)的所有點(diǎn)都為可行的初始條件，這對(duì)應(yīng)于封閉環(huán)系統(tǒng)的原區(qū)域的吸引區(qū)域［7］.令吸引區(qū)域?yàn)镈，那么可以根據(jù)得到的極點(diǎn)構(gòu)成的凸殼得到D的內(nèi)部近似區(qū)域.

2 不確定輸入延遲的RMPC

在（1）所示的不確定系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，如果令已知的輸入延遲τ作為輸入?yún)?shù)，那么可得

為了進(jìn)行簡化分析，假設(shè)系統(tǒng)僅有一個(gè)輸入?yún)?shù)，即nu＝1.此時(shí)，通過對(duì)狀態(tài)空間進(jìn)行放大，使其包含歷史的控制信息可得，于是，狀態(tài)空間方程為：w（k＋1）＝Aww（k）＋Bwu（k），Aw∈Ωw，其中為不確定的多面體，其頂點(diǎn)為Awi∈?（nx＋τ）×（nx＋τ）.為了描述時(shí)間延遲的不確定性，令τ∈ ［0，τ－］是未知的，其中最大時(shí)間延遲τ－是已知的，因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)的最大通信延遲是已知的.于是，放大后的狀態(tài)可定義為v（k）∈?nx＋τ－：

從而，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間方程為：

于是，多面體Ωv的頂點(diǎn)為當(dāng)時(shí)間延遲的下屆為時(shí)，令，可以得到對(duì)應(yīng)的不確定模型表示.

2.1 不確定時(shí)間延遲下的保代價(jià)區(qū)域分析

在不確定輸入時(shí)間延遲下，模型的保代價(jià)區(qū)域可以通過半正定規(guī)劃問題相應(yīng)的狀態(tài)空間方程（包含狀態(tài)放大約束）進(jìn)行求解得到.當(dāng)時(shí)間延遲已知時(shí)，令放大的狀態(tài)向量為w（k）＝；當(dāng)時(shí)間延遲未知時(shí)，令v（k）＝ ［x（k），u（k－1），u（k－2），…，u（k－τ－）］T.最后，根據(jù)極點(diǎn)得到保代價(jià)區(qū)域Dγ－的內(nèi)部近似值.

在特殊情況下，如果在初始時(shí)刻k＝0時(shí)，控制器的取值為u（－1）＝u（－2）＝ … ＝u（k－τ－）＝0，根據(jù)公式（12）令向量ξ中nx個(gè)元素后面的元素為0，那么得到的結(jié)果為原狀態(tài)變量空間所對(duì)應(yīng)的保代價(jià)區(qū)域.

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

實(shí)驗(yàn)采用的不確定時(shí)間延遲系統(tǒng)為［7］所示的角度定位系統(tǒng)，研究的問題為電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)天線的控制問題.該設(shè)備的動(dòng)力學(xué)可通過如下的離散時(shí)間狀態(tài)方程表示：

當(dāng)執(zhí)行器與控制器或者傳感器分離時(shí)會(huì)產(chǎn)生時(shí)間延遲.系統(tǒng)采用通信連接進(jìn)行信號(hào)的傳遞，當(dāng)連接失效時(shí)，系統(tǒng)必須重新尋找更長的路由路徑從而產(chǎn)生時(shí)間延遲.狀態(tài)變量x1和x2分別表示天線的角度位置（rad）和角速度（rad／s），控制變量u為系統(tǒng)的輸入電壓（V），天線在移動(dòng)過程中的摩擦用參數(shù)α表示，本文令α＝0.1.為了簡化分析，模型中的唯一不確定因素為時(shí)間延遲τ.代價(jià)函數(shù)的權(quán)重S和R分別為I2×2和1，控制變量u的取值限定在［－2V，＋2V］之內(nèi)，位置變量x1的取值范圍為［－1rad，＋1rad］，定義輸出變量為y＝Cx，其中C＝［1 0］.

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在實(shí)驗(yàn)中，我們令τ＝0，1和5為固定時(shí)間延遲；令τ∈［0，5］和τ∈［4，5］為不確定的時(shí)間延遲.圖1和圖2分別為＝50和＝500兩種情況下保代價(jià)區(qū)域的內(nèi)部近似區(qū)域，這兩幅圖中每個(gè)多邊形都包含32個(gè)極點(diǎn).經(jīng)過對(duì)兩幅圖的對(duì)比可以看出，＝50時(shí)的保代價(jià)區(qū)域小于＝500時(shí)的保代價(jià)區(qū)域，這表明當(dāng)初始狀態(tài)值與原始值相接近時(shí)可以得到更小的代價(jià).

圖1和2所示的結(jié)果表明，當(dāng)時(shí)間延遲不確定時(shí)，這種不確定性帶來的性能損失比時(shí)間延遲本身還要大.為了進(jìn)一步闡述上述情況，圖3對(duì)比了τ＝5，τ∈［0，5］和τ∈［4，5］三種情況下的.當(dāng)τ∈［4，5］時(shí)，根據(jù)Av和Bv的定義系數(shù)λ0，…，λ3都為0，不確定性取決于λ4和λ5.因此，該線性矩陣不等式系統(tǒng)的約束要小于τ∈［4，5］時(shí)的不確定系統(tǒng)（λ0，…，λ5都為不確定參數(shù)）.從圖3可以看出，τ∈［4，5］所示的區(qū)域要大于τ∈［0，5］所示的區(qū)域，這表明準(zhǔn)確地描述不確定時(shí)間延遲可以得到更小的代價(jià).

4 結(jié)束語

在實(shí)際場景中，系統(tǒng)的時(shí)間延遲往往是不確定的，為了應(yīng)對(duì)這種時(shí)間延遲的不確定性，必須采取有效的控制策略來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行.本文在傳統(tǒng)RMPC的基礎(chǔ)上引入了不確定時(shí)間延遲，分析了不確定時(shí)間延遲下系統(tǒng)的保代價(jià)區(qū)域.首先，介紹了線性矩陣不等式約束下的RMPC，并分析了相應(yīng)的保代價(jià)區(qū)域.接下來，在RMPC中引入不確定時(shí)間延遲，通過對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)空間進(jìn)行放大，使其包含了更多的歷史狀態(tài)信息.最后，依據(jù)最大時(shí)間延遲分析了不確定性對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響，并分析了相應(yīng)的保代價(jià)區(qū)域.仿真實(shí)驗(yàn)表明，控制系統(tǒng)的保代價(jià)區(qū)域隨著時(shí)間延遲的增加而逐漸減小，并且時(shí)間延遲的不確定性范圍越大系統(tǒng)的保代價(jià)區(qū)域越小.

［1］張保會(huì)，謝歡，于廣亮，等.基于廣域軌跡信息的多機(jī)系統(tǒng)暫態(tài)不穩(wěn)定性快速預(yù)測方法［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2006，30（19）：53－58.

［2］蔣友輝，盧漢成，洪佩琳，等.基于網(wǎng)絡(luò)編碼的無線多播速率選擇機(jī)制［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2012，34（5）：1 202－1 207.

［3］CAMPO P J，MORARI M.Robust model predictive control［C］／／American Control Conference，IEEE，1987：1 021－1 026.

［4］王明昊，劉剛，趙鵬濤，等.多胞約束LPV系統(tǒng)多面體不變集RMPC算法［J］.控制與決策，2013，28（11）：1 661－1 666.

［5］LI D，XI Y，GAO F.Synthesis of dynamic output feedback RMPC with saturated inputs［J］.Automatica，2013，49（4）：949－954.

［6］JALALI A A，NADIMI V.A survey on robust model predictive control from 1999－2006［C］／／CIMCA／IAWTIC，2006：207.

［7］ROSSI F Q，WASCHBURGER R，GALVAO R K H.Determination of the domain of attraction and regions of guaranteed cost for robust model predictive controllers based on linear matrix inequalities［C］／／Control（CONTROL），2012UKACC International Conference on IEEE，2012：982－987.

［8］KOTHARE M V，BALAKRISHNAN V，MORARI M.Robust constrained model predictive control using linear matrix inequalities［J］.Automatica，1996，32（10）：1 361－1 379.

［9］El GHAOUI L，F(xiàn)ERON E，BALAKRISHNAN V.Linear matrix inequalities in system and control theory［M］.Philadelphia：Society for industrial and applied mathematics，1994.

［10］CUZZOLA F A，GEROMEL J C，MORARI M.An improved approach for constrained robust model predictive control［J］.Automatica，2002，38（7）：1 183－1 189.

［11］WADA N，SAITO K，SAEKI M.Model predictive control for linear parameter varying systems using parameter dependent Lyapunov function［C］／／Circuits and Systems.MWSCAS＇04.The 47th Midwest Symposium on IEEE，2004.

［12］LEE S M，PARK J H.Output feedback model predictive control for LPV systems using parameter－dependent Lyapunov function［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，190（1）：671－676.

［13］LI H，JING X，KARIMI H.Output－feedback based H－infinity control for active suspension systems with control delay［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2014（61）：436－446.

［14］ZHAO J C，SU C L，LI P.Robust predictive control for uncertain time－delay systems with nonlinear disturbance［C］／／Advanced Materials Research，2012，490：1 496－1 500.

［15］CAVALCA M S M，GALV?ORKH，YONEYAMA T.Robust model predictive control using linear matrix inequalities for the treatment of asymmetric output constraints［J］.Journal of Control Science and Engineering，2012，2012：2.

［16］孫勤，張俊彥，鄒汝紅.三種翼型參數(shù)化方法的研究［J］.湘潭大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版，2013（3）：34－39.