基于粒子群算法的直覺模糊多目標規(guī)劃＊

成央金， 白玉龍， 謝婉瑩

（湘潭大學 數(shù)學與計算科學學院，湖南 湘潭411105）

1983年保加利亞學者Atanassov將Zadeh模糊集［1］擴充和推廣提出了直覺模糊集［2］的概念之后，關于直覺模糊集理論的研究逐漸受到廣大學者的關注，且已經(jīng)被廣泛應用于決策制定［2］、數(shù)學規(guī)劃［3］、模式識別［4］、醫(yī)療診斷［5］等領域.與Zadeh模糊集相比，直覺模糊集不僅通過隸屬函數(shù)表示信息，而且還增加了非隸屬函數(shù)和猶豫度這兩個指標，相較于Zadeh模糊集，直覺模糊集在處理帶有模糊性和不確定性的信息上更貼近實際.

1997年Angelov對于在直覺模糊環(huán)境中的優(yōu)化問題進行了研究并提出了求解直覺模糊多目標線性規(guī)劃的一種求解方法［8］，隨后DiptiDubey等［10］對其進行了改進，使解法更優(yōu)了，但是，以上方法均是將目標函數(shù)和約束函數(shù)同等看待的.本文主要研究采用線性加權的方法來處理目標函數(shù)和約束函數(shù)，得到新的求解模型，并用粒子群算法求解，使之適應線性和非線性情形的規(guī)劃.

1 直覺模糊多目標規(guī)劃模型

直覺模糊多目標規(guī)劃模型的一般形式為：

設A是非空論域U上的一個直覺模糊集，B是非空論域U上的一個區(qū)間模糊集，且A，B分別表示如下：

令μfi（x），νfi（x），分別表示第i個目標函數(shù)的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)，定義［15］如下：

令μgj（x），νgj（x）分別表示第j個約束函數(shù)的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)，定義［15］如下：

其中：dj表示約束函數(shù)gj（x）允許最大的偏移，；bj≥0，用來調節(jié)猶豫度，當bj＝0時猶豫度為0，當bj→ ∞，猶豫度趨于1－μgj（x），bj一般取0～30.

設FD（x）＝μD（x）＋λπD（x），λ∈［0，1］，利用這個關系式可以將目標函數(shù)和約束函數(shù)直覺模糊集分別進行轉化.

目標函數(shù)直覺模糊集轉化為

約束直覺模糊集轉化為

令μfi（x），νfi（x），分別表示第i個目標函數(shù)的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)，定義如下：

令μgj（x），νgj（x）分別表示第j個約束函數(shù)的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)，定義如下：

其中：dj表示約束函數(shù)gj（x）允許最大的偏移，；bj≥0，用來調節(jié)猶豫度，當bj＝0時猶豫度為0，當bj→ ∞，猶豫度趨于1－μgj（x），bj一般取0～30.

在實際生活中每個人做出決策的判斷標準都不相同，但是在某些情況下，有的決策者可能會相對于看重目標的達成，有的決策者則與前者相反看重于約束函數(shù).因此本文采用線性加權的方式來處理這種情況.

步驟1：將目標函數(shù)直覺模糊集和約束函數(shù)直覺模糊集轉化為模糊集，

步驟2：對目標函數(shù)進行加權處理轉化為單目標函數(shù)，

步驟3：對轉化后的約束函數(shù)模糊集取“最小”算子，

步驟4：對F和Fg（x）取“最小”算子，

根據(jù)最大隸屬度原則，將模型轉化為：

即

這里的參數(shù)λ為［0，1］內的任意數(shù)，本文中λ＝1／2.

2 算法及實例

基于前面的討論，設計求解模型的粒子群算法如下：

1）隨機初始化種群N中各微粒的位置和速度.

2）計算目標函數(shù)和約束函數(shù)的隸屬度和非隸屬度，然后，根據(jù)式（1），（2）進行轉化.

3）計算其適應值，對每個微粒i，將其適應值與經(jīng)歷的最好位置Pbest作比較，如果較好，則將其作為當前的最后位置Pbest.

4）對每個微粒i，將其適應值與全局所經(jīng)歷的最好位置gbest作比較，如果較好，則將其作為當前的最后位置gbest.

5）更新粒子的速度和位移

6）更新學習因子

其中：c1，ini，c2，ini分別代表c1和c2的初始值，c1，fin，c2，fin代表c1和c2的迭代終值.對于絕大多數(shù)情況采用如下的參數(shù)設置效果較好：

7）比較當前所有的Pbest和gbest的值，更新gbest.

8）根據(jù)雜交概率選取指定數(shù)量的粒子放入雜交池內，池中的粒子隨機兩兩雜交產(chǎn)生同樣數(shù)目的子代粒子，子代的位置和速度計算公式如下，

保持Pbest和gbest不變.

為了克服PSO算法的早熟收斂問題，在算法中，迭代每隔M（M＝80）代，保留上一代的歷史最優(yōu)位置，微粒全部重新初始化，以提高微粒的多樣性.

例1 求下例直覺模糊線性規(guī)劃的最優(yōu)解：

參數(shù)設置如下：d＝［3，1］，ai＝1，bj＝2，粒子群算法的粒子數(shù)取40，最大迭代次數(shù)為500，雜交概率為0.9，雜交比例為0.2，慣性權重為0.9，對每個權重值運行5次，取最優(yōu)的規(guī)劃.

為了比較不同的權值對優(yōu)化結果（結果保留小數(shù)點后四位）的影響，取a＝0.5＋0.02＊j，j＝0，1，…，10，優(yōu)化結果如表1.

從表1可以看出，隨著權值的調整，使得目標函數(shù)f1的值變小，f2的值變大，得到一組優(yōu)化的結果，決策者可以根據(jù)實際的需要，選擇合適的優(yōu)化方案.

表1 優(yōu)化結果Tab.1 The optimization results

3 結 語

本文提出的基于粒子群算法的直覺模糊多目標規(guī)劃，適用于線性和非線性約束的情況，具有通用性；文中采用線性加權的方法來處理目標函數(shù)優(yōu)越集和約束函數(shù)優(yōu)越集，決策者可以根據(jù)實踐的需要，選擇合適的優(yōu)化方案，具有很大的靈活性.

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