如何用逆向思維解數(shù)學(xué)題

陳天紅

摘 要：當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)題用常規(guī)方法求解發(fā)生思維受阻時(shí)，用逆向思考的方法去探求新的：解題途徑，往往能起到突破性的效果，但在談針對(duì)什么而“逆”時(shí)，如：是從反面思考所提問(wèn)題入手？是把原命題變換一下，從原命題的條件、結(jié)論的否定方面去探索？還是先解決原命題的反例？……這就是在用逆向思維解數(shù)學(xué)題時(shí)所要把握的關(guān)鍵。

關(guān)鍵詞：逆向思維；反面思考

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2015）07-204-02

一、反問(wèn)題程序

反問(wèn)題程序是逆向解題的一種表現(xiàn)之一，在運(yùn)用反問(wèn)題程序解題時(shí)，關(guān)鍵是抓住題目中所提的問(wèn)題，把原問(wèn)題逆轉(zhuǎn)后代入題目中反程序思考。當(dāng)然，在利用反問(wèn)題程序的思維方式解題時(shí)，對(duì)題目的針對(duì)性較強(qiáng)，但此種方法只要一適合解所給題時(shí)，往往是簡(jiǎn)單快捷。

例1：100個(gè)士兵站成一行，自1起報(bào)數(shù)，凡報(bào)奇數(shù)者離隊(duì)，留下的再次自1起報(bào)數(shù)，凡報(bào)奇數(shù)者又離隊(duì)，這樣反復(fù)下去，最后留下一個(gè)士兵，問(wèn)這個(gè)士兵第一次報(bào)數(shù)為多少？

解法探求：若按問(wèn)題的原程序，第一輪報(bào)數(shù)后劃掉被淘汰者，第二輪報(bào)數(shù)后又劃掉被淘汰者，如此下去，沒(méi)有幾輪就攪昏了陣線。現(xiàn)我們轉(zhuǎn)換一種思維方式，把原問(wèn)題逆轉(zhuǎn)變?yōu)榱恕斑@個(gè)士兵最后一次報(bào)數(shù)為多少？”易知其在倒數(shù)第1輪必報(bào)2，在倒數(shù)第2必報(bào)4，在倒數(shù)第3輪必報(bào)8，極易得出，倒推回去此兵依次報(bào)的是16、32、64。則第一輪報(bào)數(shù)為64。

可見(jiàn)在解決類(lèi)似上面所給問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)判斷能否用反問(wèn)題程序來(lái)解，即由題目中所給問(wèn)題的可逆性，思考逆轉(zhuǎn)后的問(wèn)題有什么結(jié)果，能否推解到原問(wèn)題中。因而，可用以下示意圖來(lái)表示其解題思路：

二、反條件結(jié)論

這種逆向解題的思維方式主要是表現(xiàn)在對(duì)所給題目的條件或結(jié)論進(jìn)行否定后再思考，采取“變過(guò)去再變回來(lái)”的模式。然而在運(yùn)用此類(lèi)逆向思維解題時(shí)，一定要深刻認(rèn)識(shí)進(jìn)行變動(dòng)后的題目，即弄清它們的反面意義，確保“變回來(lái)”之后是原命題之解。

1、求補(bǔ)法

當(dāng)題目條件本身復(fù)雜，或直接根據(jù)題目條件求解困難時(shí)，可考慮在與原題條件相反的條件下求解，將所得結(jié)果取其反面，便回到了原題條件下的結(jié)論，此法即為求補(bǔ)法。

它們中至少有一個(gè)存在實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。

解法探求：至少有一方程有實(shí)根包括七種情況，分別討論它們的判別式比較費(fèi)事，而題目條件“至少有一個(gè)存在實(shí)根”的反面是“三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根”，這反面條件情況單純，故若改為在反面條件下解出m的取值范圍，便可簡(jiǎn)捷地以其補(bǔ)集作為原來(lái)題目的解。

這種思維方法思路清晰，用它解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)可避免正向思考所帶來(lái)的大量麻煩。同時(shí)它也解決了與原條件相對(duì)的問(wèn)題，更有利于把握知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。這里針對(duì)求補(bǔ)法的解題思路可表為下圖：

2、反證法

反證法就是假設(shè)結(jié)論的反面成立，由此導(dǎo)出與題設(shè)、定義、公理、定理相矛盾的結(jié)論，從而推翻假設(shè)，肯定原結(jié)論成立的證明方法。它是通過(guò)推證“結(jié)論的反面是錯(cuò)誤的”，從而肯定“結(jié)論本身是正確的”，是逆向思維解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的一種有效證題方法。由于此種方法在中學(xué)課本和相應(yīng)書(shū)籍中介紹得較多，大家比較熟悉，這里不再舉例贅述。

三、反推理

由于人們?cè)诮忸}過(guò)程中長(zhǎng)期受正向思維的影響，從所給題目的條件出發(fā)，逐步推得必要條件，最后導(dǎo)出結(jié)論，然而當(dāng)在正向推理受阻時(shí)，可以考慮先從結(jié)論出發(fā)，逐步追溯充分條件，直追溯到題目所給條件為止，這就是通常所指的分析法。在用這種逆向思維解題時(shí)應(yīng)注意在反推的每一步中都可逆。

解題的最終目的是由條件導(dǎo)出結(jié)論，所以人們最易想到從條件開(kāi)始入手，但有時(shí)較困難，這時(shí)從結(jié)論入手往往迎刃而解，上例則正是用反推理說(shuō)明了這一點(diǎn)。

四、反公式、定理、定義

數(shù)學(xué)公式本身是雙向的，可是不少人只會(huì)從左到右地運(yùn)用公式，對(duì)逆用公式，特別是逆用變形的公式很不習(xí)慣。其實(shí)，只有靈活地運(yùn)用公式才會(huì)形成好的解題技巧，提高解題能力。

數(shù)學(xué)定理有不可逆和可逆的，教材中有的給出了逆定理，如勾股定理的逆定理，但尚有許多定理未討論它的可逆性，有的卻在直接應(yīng)用。事實(shí)上，對(duì)某些重要定理的可逆性探討是必要的，它是解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題最簡(jiǎn)單快捷的方法。

對(duì)于數(shù)學(xué)定義，也應(yīng)注意它們的可逆性，因?yàn)樵诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，往往要求對(duì)定義逆向運(yùn)用，這可是突破某些問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)。在此還要提醒一下法則的逆用，法則反映著一定的數(shù)學(xué)規(guī)律，是揭示數(shù)學(xué)元素間的內(nèi)在聯(lián)系和解決問(wèn)題的重要工具。下面針對(duì)韋達(dá)定理在逆向解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出的優(yōu)越性舉一例。

五、反例法

在數(shù)學(xué)解題中，舉反例來(lái)思考問(wèn)題或驗(yàn)證問(wèn)題占有很重要的地位，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索中，猜想的結(jié)論未必正確，正確的要求給予嚴(yán)格證明，錯(cuò)誤的則靠反例來(lái)否定。它是逆向思維在數(shù)學(xué)解題中最廣泛的運(yùn)用體現(xiàn)。給予我們一個(gè)命題，只要能舉一個(gè)反例來(lái)說(shuō)明這個(gè)命題不成立的話，這個(gè)命題必是假命題。因而通過(guò)舉反例來(lái)解決、說(shuō)明問(wèn)題的例子在日常解題中經(jīng)常碰到，這里也就不再舉例了。