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    基于Matlab 的含移動(dòng)副的五桿機(jī)構(gòu)誤差分析

    2015-05-27 13:19:08許志樂
    關(guān)鍵詞:架桿桿長動(dòng)件

    馮 志,楊 光,許志樂,李 娜

    (武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,湖北 武漢430070)

    平行四邊形刀架機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)曲軸連桿頸的隨動(dòng)車削[1],但其存在如下不足之處。①平行四邊形機(jī)構(gòu)具有一個(gè)自由度,因此需要一個(gè)原動(dòng)件,那么當(dāng)平行四邊形機(jī)構(gòu)的四桿處在一條直線上時(shí),從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)方向不確定[2];②平行四邊形機(jī)構(gòu)由旋轉(zhuǎn)副聯(lián)接而成,由于旋轉(zhuǎn)副間隙的存在,刀架連桿將沿水平方向“躥動(dòng)”,從而導(dǎo)致“扎刀”現(xiàn)象[3]。通過對平行四邊形機(jī)構(gòu)的變形可以彌補(bǔ)上述不足,并分析新機(jī)構(gòu)中各桿件的桿長精度對機(jī)構(gòu)位置的影響。

    1 含移動(dòng)副的五桿機(jī)構(gòu)

    為解決平行四邊形機(jī)構(gòu)的不足,在平行四邊形機(jī)構(gòu)基礎(chǔ)上演化出含一個(gè)移動(dòng)副的五桿機(jī)構(gòu),該機(jī)構(gòu)是由移動(dòng)副和旋轉(zhuǎn)副聯(lián)接而成的五桿機(jī)構(gòu)[4],如圖1 所示,滑塊4 長度為無限長時(shí),D的軌跡變?yōu)橹本€,而D處的旋轉(zhuǎn)副變?yōu)橐苿?dòng)副。

    由于帶移動(dòng)副的五桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副的剛度與桿長精度是相互獨(dú)立的,不存在耦合問題[5],因此,暫不考慮連接副的精度問題,獨(dú)立地分析各個(gè)桿件的桿長精度對連架桿2 上尖點(diǎn)M點(diǎn)位置誤差的影響。

    2 誤差分析理論

    實(shí)際工程的機(jī)構(gòu)中均會(huì)存在測量誤差、加工制造誤差及裝配誤差等,而機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中,由于各種阻力的存在亦會(huì)產(chǎn)生一定的變形。以上靜態(tài)與動(dòng)態(tài)因素綜合改變著機(jī)構(gòu)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡,使得實(shí)際機(jī)構(gòu)與理想機(jī)構(gòu)之間存在差別,該差別即為機(jī)構(gòu)誤差[6]。從動(dòng)件的位置參數(shù)φk可由機(jī)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)表示,其表達(dá)式為:

    可簡寫為:

    式中:m為機(jī)構(gòu)自由度;ln為構(gòu)件尺寸參數(shù);φk為從動(dòng)件k的位置參數(shù);θi為第i個(gè)廣義坐標(biāo);lj為第j個(gè)尺寸參數(shù)值;Xr(r=1,2,…,n)為(θi,lj)的縮寫。

    由于加工制造、裝配等影響因素,實(shí)際機(jī)構(gòu)中不可避免存在誤差,當(dāng)從動(dòng)件存在誤差ΔXr時(shí),上式可變形為:

    圖1 五桿機(jī)構(gòu)模型

    假定誤差ΔXr相互獨(dú)立,因此將式(1)在X=Xr處按照泰勒級(jí)數(shù)展開,由于ΔXr對于Xr來說是很小的,因此二階及以上階數(shù)的微分部分忽略不計(jì),展開后可得:

    式中:φk為從動(dòng)件k的實(shí)際位置;φk(Xr)為從動(dòng)件k的理想位置,從而得到從動(dòng)件k的位置誤差為:

    3 誤差計(jì)算與分析

    3.1 誤差計(jì)算

    含一個(gè)移動(dòng)副的五桿機(jī)構(gòu)的自由度為2,因此需要兩個(gè)主動(dòng)件即連架桿1 和連架桿3 為主動(dòng)件。這里需要兩連架桿的初始相位和轉(zhuǎn)速都相同,可以利用差速輪系做到這點(diǎn),類似于最基本的同向等角速平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)[8],即θ1=θ3。由于只考慮桿長精度誤差對機(jī)構(gòu)中尖點(diǎn)M的位置誤差的影響,因此,θ1=θ3且為準(zhǔn)確值。L為BM長度值,L1為AB長度值,L2為BC長度值,L3為CD長度值。計(jì)算過程如下:

    由圖1 可知,坐標(biāo)原點(diǎn)A到連桿上點(diǎn)M(xM,yM)的向量為:

    將式(4)寫成分量形式:

    根據(jù)微分定理可知,dxM≈ΔxM;dyM≈ΔyM;dLi≈ΔLi;dθi≈Δθi。將式(5)兩邊微分并結(jié)合微分定理,可得:

    根據(jù)四邊形ABCD的矢量封閉,可得:

    可變形為:)

    在此需要四邊形ABCD為平行四邊形,故θ2為微量,即sin θ2≈θ2,cos θ2≈1,因此,式(7)可變形為:

    將式(8)兩邊微分,可得:

    將式(9)代入式(6)中,即可得到機(jī)構(gòu)M點(diǎn)處的位置誤差。根據(jù)式(5)可知,在理想的情況下,θ2應(yīng)為零,進(jìn)而尖點(diǎn)M的理想位置為以點(diǎn)(-L,0)為圓心,以L1為半徑的圓。綜上,在只考慮桿長精度影響的情況下,相對于連架桿1 和連架桿2 的桿長精度而言,連架桿3 的桿長精度對尖點(diǎn)M的位置誤差影響更小。在式(6)中,因?yàn)棣?為準(zhǔn)確值,所以可以判斷連架桿1 的加工精度對連架桿2 上M點(diǎn)的位置誤差影響最大。

    3.2 Matlab 仿真計(jì)算分析

    筆者分4 種情況進(jìn)行仿真計(jì)算。

    (1)各桿件加工精度全部取7 級(jí)精度,尺寸為:L1= 60.5 ± 0.015,ΔL1= 0.03;L2= 600 ±0.035,ΔL2=0.07;L3=60 ±0.015,ΔL3=0.03;L=250±0.025,ΔL=0.05,計(jì)算結(jié)果如圖2 所示。

    圖2 各桿件為7 級(jí)精度計(jì)算結(jié)果

    圖2 結(jié)果顯示,尖點(diǎn)M水平方向的位置誤差在-0.08 ~-0.02 之間波動(dòng),而垂直方向的位置誤差在-0.03 ~0.03 之間波動(dòng)。

    (2)桿件1 取8 級(jí)精度,其余取7 級(jí)精度,尺寸為:L1=60.5 ±0.023,ΔL1=0.047;其余尺寸與情況(1)相同,計(jì)算結(jié)果如圖3 所示。圖3 顯示,尖點(diǎn)M的水平方向的位置誤差約在-0.10 ~0 之間波動(dòng),而垂直方向的位置誤差約在-0.045 ~0.045之間波動(dòng)。

    (3)桿件2 取8 級(jí)精度,其余取7 級(jí)精度,尺寸為:L2=600 ±0.11,ΔL2=0.22;其余尺寸與情況(1)相同,計(jì)算結(jié)果如圖4 所示,結(jié)果與情況(1)接近。

    圖3 桿1 為8 級(jí)精度計(jì)算結(jié)果

    圖4 桿2 為8 級(jí)精度計(jì)算結(jié)果

    (4)BM段的桿長L取8 級(jí)精度,其余取7 級(jí)精度,尺寸為:L=250 ±0.04 ,ΔL=0.08,其余尺寸與情況(1)相同,計(jì)算結(jié)果如圖5 所示。

    圖5 BM 段8 級(jí)精度計(jì)算結(jié)果

    圖5 結(jié)果顯示,尖點(diǎn)M的水平方向的位置誤差約在-0.11 ~-0.05 之間波動(dòng),而垂直方向的位置誤差約在-0.03 ~0.03 之間波動(dòng)。

    比較圖2 與圖3 可知,連架桿1 的桿長精度降一個(gè)等級(jí),即變?yōu)? 級(jí)時(shí),尖點(diǎn)M的水平方向的位置誤差由-0.08 ~-0.02 之間波動(dòng)變?yōu)榧s在-0.10 ~0 之間波動(dòng),而尖點(diǎn)M的垂直方向的位置誤差由-0.03 ~0.03 之間波動(dòng)變?yōu)榧s在-0.045 ~0.045 之間波動(dòng)。由此可見,連架桿1的桿長精度對尖點(diǎn)M的位置誤差影響很大。

    比較圖2 與圖4 可知,連架桿2 的桿長精度降一個(gè)等級(jí),即變?yōu)? 級(jí)時(shí),尖點(diǎn)M的水平方向和垂直方向的位置誤差均與連架桿2 的桿長精度為7 級(jí)時(shí)的位置誤差很接近,因此,適當(dāng)降低連架桿2 的桿長精度對誤差影響不大。連架桿3 的桿長精度對尖點(diǎn)M的位置誤差的影響比連架桿2的桿長精度對尖點(diǎn)M的位置誤差的影響更小。

    比較圖2 與圖5 可知,BM段桿長L的精度降為8 級(jí)時(shí),尖點(diǎn)M的水平方向的位置誤差由-0.08 ~-0.02 之間波動(dòng)變?yōu)榧s在-0.11 ~-0.05 之間波動(dòng),而尖點(diǎn)M的垂直方向的位置誤差依然約在-0.03 ~0.03 之間波動(dòng),可以看出,BM段桿長L的桿長精度對尖點(diǎn)M的水平方向的位置誤差影響較大。

    4 結(jié)論

    構(gòu)建機(jī)構(gòu)位置方程組后,利用全微分法對其求全微分可以直接得到機(jī)構(gòu)位置誤差方程組[9],因此利用全微分法對含有一個(gè)移動(dòng)副的五桿機(jī)構(gòu)的桿長誤差導(dǎo)致的機(jī)構(gòu)誤差進(jìn)行計(jì)算,而借助Matlab 軟件強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理能力[10],將尖點(diǎn)M的位置誤差隨著曲柄變化顯示出來,即連架桿1的旋轉(zhuǎn)而變化的具體數(shù)據(jù)可視化,有助于更加科學(xué)地分析出兩者之間的關(guān)系,為以后的工作提供科學(xué)的指導(dǎo)。

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