舉例子能證明幾何定理嗎

【編者的話】書讀得多而不去思考，你會覺得你知道的很多，書讀得多又思考，你會覺得你不知道的很多.

——伏爾泰

各位親愛的同學(xué)，假期里你總可以擠出一些屬于自己的閱讀時間，你是否相信自己可以從課外閱讀中獲取自己想要的知識與靈感呢？課外閱讀的范圍相當(dāng)廣，我們可以依據(jù)自己的興趣進(jìn)行選擇性地閱讀，身心必將受到一次大的洗禮，在增長見識的同時又娛樂身心，何樂而不為？

本期的兩篇文章都是節(jié)選，請你讀一讀，要是在讀過后能寫些讀后感就更好了！

歸納和演繹，是人類認(rèn)識世界活動中廣泛應(yīng)用的兩套思維方法.

它反映了人們認(rèn)識事物的兩條思維途徑，前者是從個別到一般的思維運(yùn)動，后者是從一般到個別的思維運(yùn)動.

哲學(xué)認(rèn)為：歸納和演繹非常重要，但各自也都存在一定的局限性，需要相互補(bǔ)充、相互轉(zhuǎn)化.

在數(shù)學(xué)家的眼中，歸納和演繹用處也各有不同.

拉普拉斯說：在數(shù)學(xué)這門科學(xué)里，我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比.

高斯說：數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣的特性，它們極易從事實(shí)中歸納出來，但證明卻隱藏得極深.

陳省身說：數(shù)學(xué)是一門演繹的學(xué)問，從一組公設(shè)，經(jīng)過邏輯的推理，獲得結(jié)論.

歸納用于發(fā)現(xiàn)，演繹用于推理.這是相當(dāng)普遍的看法.

例證法——用演繹支持歸納

那么，在數(shù)學(xué)中舉例真的不能證明一般的命題嗎？

中學(xué)里學(xué)了恒等式.下面的等式

（χ-1）2=χ2-2χ+1

（※）

就是一個恒等式.

用χ=l代人，兩邊都得O；χ=2，兩邊都得1；χ=3，兩邊都得4.

這樣舉了三個例子之后，能不能肯定（※）是恒等式呢？

恒等式，恒等式，要求χ取所有數(shù)值時兩邊都相等.才驗(yàn)證了三個χ的值，怎么能斷定它一定恒等呢？

其實(shí)，這三個實(shí)例已經(jīng)證明了（※）是恒等式.道理是：如果它不是恒等式，它一定是二次或一次方程，這種方程不可能有三個根.現(xiàn)在1，2，3都是“根”，說明它不是方程而是恒等式，

在這個具體問題上，演繹推理支持了歸納推理.我們用數(shù)學(xué)上承認(rèn)的演繹法證明了歸納法的有效性，

一般說來，代數(shù)恒等式的檢驗(yàn)都可以用舉例子的方法.不過，高次的和多元的等式，要用更多的例子罷了.

這些事實(shí)表明：在數(shù)學(xué)王國的某些角落里，歸納法可以有效地證明一般性的命題，甚至可以用一個特例證明一般的命題.歸納法的這種力量，是由演繹推理證明的.

數(shù)學(xué)的新成果表明：歸納與演繹是對立的統(tǒng)一.認(rèn)為歸納推理毫無根據(jù)是不充分的，因?yàn)樵诔醯葞缀畏秶鷥?nèi)已證明了歸納的有效性；認(rèn)為演繹推理不能使我們增加新知識也是不確切的，因?yàn)檠堇[推理揭示出事物的內(nèi)在聯(lián)系，使我們看到現(xiàn)象背后的本質(zhì)，增加了我們的新知識.

歸納與演繹，是人類認(rèn)識世界的兩個基本方法，它們相互支持，相互補(bǔ)充，使我們越來越接近真理.

但是，代數(shù)恒等式在數(shù)學(xué)史上，遠(yuǎn)不如初等幾何證明題那樣受人青睞，那樣豐富多彩，那樣魅力無窮.正是在初等幾何領(lǐng)域，演繹推理樹立起了自己的威望，成為人所共知的絕對統(tǒng)治者.歸納法的效力，能不能在這里發(fā)揮作用呢？傳統(tǒng)的看法是否定的.但是，20世紀(jì)80年代以來，中國數(shù)學(xué)家的工作在這里揭開了新的一頁.

幾何定理也能用例子證明

用舉例的方法證明幾何定理的研究，屬于幾何定理機(jī)器證明這個在近幾十年開始活躍起來的數(shù)學(xué)領(lǐng)域.

用機(jī)器證明數(shù)學(xué)定理，是歷史上一些杰出的數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家夢寐以求的事.

數(shù)學(xué)問題大體上有兩類，一類是求解，一類是求證.我們熟悉的求解問題很多：解方程，解應(yīng)用題，幾何作圖，求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)，我們熟悉的求證問題，大多是初等幾何證明題，還有證明恒等式，證明不等式.

中國古代數(shù)學(xué)研究的中心問題是求解，把問題分為若干類，分別給出解題的方法.這方法是一系列確定的步驟，誰都可以學(xué)會.會一個方法，便能解一類問題.《九章算術(shù)》就是這么做的.

用一個固定的程序解決一類問題，這就是數(shù)學(xué)機(jī)械化的基本思想.追求數(shù)學(xué)的機(jī)械化方法，是中國古代數(shù)學(xué)的優(yōu)秀傳統(tǒng)之一.

在西方，以希臘幾何學(xué)研究為代表的古代數(shù)學(xué)，所研究的中心問題不是求解而是求證，是從公理出發(fā)用演繹推理方式證明一個一個的定理.而證明定理的方法，則是一題一證，各具巧思，無一確定的法則可循.證明的成功有賴于技巧與靈感.

能不能找到一種方法，像解方程那樣，按固定法則證明一批一批的幾何定理呢？

17世紀(jì)法國的唯理論哲學(xué)家，發(fā)明了解析幾何的數(shù)學(xué)家笛卡兒，曾有過一個大膽的設(shè)想：“一切問題化為數(shù)學(xué)問題.一切數(shù)學(xué)問題化為代數(shù)問題.一切代數(shù)問題化為代數(shù)方程求解問題.”

于是，笛卡兒用坐標(biāo)方法——解析幾何的方法，把初等幾何問題化成了代數(shù)問題.

比笛卡兒稍晚一些的德國唯理論哲學(xué)家、與牛頓同時創(chuàng)立微積分的數(shù)學(xué)家萊布尼茨，曾有過“推理機(jī)器”的設(shè)想，希望用一臺機(jī)器代替人的推理活動，他曾設(shè)計過計算機(jī)，他的努力促進(jìn)了數(shù)理邏輯的研究.

20世紀(jì)的數(shù)學(xué)大師希爾伯特，在他的名著《幾何基礎(chǔ)》一書中，也曾提出過一小類幾何命題的機(jī)械判定方法.

第二次世界大戰(zhàn)以后，電子計算機(jī)的出現(xiàn)大大促進(jìn)了定理機(jī)器證明的研究.經(jīng)過許多出色數(shù)學(xué)家的辛勤耕耘，這個領(lǐng)域有了蓬勃發(fā)展，但是都不能在計算機(jī)上真的用來證明非平凡的幾何定理.一直到杰出的中國數(shù)學(xué)家吳文俊院士在1977年發(fā)表他的初等幾何機(jī)器證明新方法之后，在電子計算機(jī)上證明初等幾何定理才成為現(xiàn)實(shí).

吳氏方法的基本思想是：先把幾何問題化為代數(shù)問題，再把代數(shù)問題化為代數(shù)恒等式的檢驗(yàn)問題，代數(shù)恒等式的檢驗(yàn)是機(jī)械的，問題的轉(zhuǎn)化過程也是機(jī)械的，整個問題也就機(jī)械化了.

既然幾何證明問題可以化為代數(shù)恒等式的檢驗(yàn)問題，而在前面義剛剛提到過可以用舉例的方法檢驗(yàn)代數(shù)恒等式，那是不是意味著有可能用舉例的方法來證明幾何定理呢？

吳氏方法鼓舞了這個方向的研究.在吳氏方法的基礎(chǔ)上，洪加威于1986年發(fā)表了一項(xiàng)引起廣泛興趣的研究成果：對于相當(dāng)廣泛的一類幾何命題，只要檢驗(yàn)一個實(shí)例便能確定這條命題是不是成立.

特例的檢驗(yàn)，能代替演繹推理的證明！

但是，洪加威要的那一個例子，不是隨手拈來的例子，它要滿足一定的條件，才具有一般的代表性，對于非平凡的幾何命題，這例子往往涉及大得驚人的數(shù)值計算.為了使洪氏方法在計算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，尚待進(jìn)一步的努力.

在吳氏方法的基礎(chǔ)上，張景中、楊路提出了另一種舉例證明幾何定理的方法.按照這種方法，為了判定一個（等式型）初等幾何命題的真假，只須檢驗(yàn)若干普通的實(shí)例.例子的數(shù)目與分布方式可以根據(jù)命題的復(fù)雜程度用機(jī)械的方法確定.

順便提一句，舉一些例子證明幾何定理，舉的例子不僅要夠一定的數(shù)目，而且要有一定的分布方式，這正是歸納法的倡導(dǎo)者培根所要求的：要廣泛搜集材料，搜集不同類型的材料.它的有效范圍是它從中引申、歸納m的那些事例的范圍，張楊法所要求的這一組例子的分布形式，足以保證概括了命題的論域，代表了廣泛的一般情形.——節(jié)選自張景中、彭翕成所著的《數(shù)學(xué)哲學(xué)》