四維雙曲空間中的超曲面

朱 鵬

（江蘇理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇 常州 213001）

四維雙曲空間中的超曲面

朱 鵬

（江蘇理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇 常州 213001）

研究四維雙曲空間H4中完備非緊1－極小穩(wěn)定超曲面的整體性質(zhì)，得到如下結(jié)論：若平均曲率和Gauss－Kronecker曲率滿足適當(dāng)?shù)臈l件，則雙曲空間H4中不存在具有多項式體積增長的完備非緊1－極小穩(wěn)定超曲面.

多項式體積增長；1－極小穩(wěn)定超曲面；雙曲空間

關(guān)于歐氏空間中超曲面整體性質(zhì)的刻畫，已有眾多學(xué)者給出了研究結(jié)果.Cheng等［1］證明了歐氏空間中具有常純量曲率和非負截面曲率的完備非緊超曲面一定是廣義的圓柱面.隨后，受Shen等［2］的啟發(fā)，Alencar等［3］證明了四維歐氏空間中不存在具有非零Gauss－Kronecker曲率和有限全曲率的完備非緊1－極小穩(wěn)定超曲面.Chern［4］給出了n維歐氏空間中不存在Ricci曲率具有負常數(shù)上界的全圖，Alencar在文獻［3］3302中進一步證明了n維歐氏空間中不存在負純量曲率的全圖.最近，Silva［5］結(jié)合Nelli等［6］的技術(shù)證明了平均曲率和Gauss－Kronecker曲率在適當(dāng)?shù)南拗葡?，四維歐氏空間中不存在具有零純量曲率、多項式體積增長的完備1－極小穩(wěn)定超曲面.Cavalacante［7］，Zhu［8］等都證明了歐氏空間上有限全曲率的完備超曲面的約化L2上同調(diào)空間的維數(shù)有限.本文將研究四維雙曲空間H4中完備非緊1－極小穩(wěn)定超曲面的整體性質(zhì).

1 預(yù)備知識

三維黎曼流形M3具有多項式體積增長，是指存在γ∈（0，3］使得M3中每一點p，都有l(wèi)imr→∞vol（Br（p））／rγ＜＋∞，這里vol（Br（p））是M3中以p為中心，r為半徑測地球的體積.設(shè)M3是三維完備黎曼流形，映射x：M3→H4是等距浸入，算子A：T p M→T p M為映射x的第二基本形式，其中T p M表示流形M在p點處的切空間.設(shè)λ1，λ2，λ3為A的特征值，關(guān)于λ1，λ2，λ3的第r個對稱函數(shù)Sr（r＝1，2，3）定義為

稱H r＝Sr／為等距浸入的第r個平均曲率［9］.顯然，H1是平均曲率，H3是Gauss－Kronecker曲率，H2與M3的純量曲率相差常數(shù)－1.若H r＋1＝0，則稱超曲面M3為r－極小超曲面.

2 主要結(jié)果及其證明

研究四維雙曲空間H4中完備非緊1－極小穩(wěn)定超曲面的整體性質(zhì)，得到如下結(jié)果.

定理1 對任意給定的正常數(shù)δ1，δ2，雙曲空間H4中不存在滿足如下條件的完備非緊1－極小穩(wěn)定超曲面：

i）具有多項式體積增長；

再由P1的正定性，有

結(jié)合式（2）（3）（4）和〈P1（X），X〉≤2S1｜X｜2，得不等式

選取φ＝φ3＋2q／2，則有

再結(jié)合式（5）和式（6），得

由Young不等式xy≤a－1x a＋b－1yb，其中正實數(shù)a，b滿足a－1＋b－1＝1，得

其中a為待定的正常數(shù).結(jié)合式（7），有

即

其中

注意到（－2H－K）／（H3）≥δ1，｜ （1／H）｜≤δ2，這意味著（－2S1－3S3）／（）≥δ1／9，｜ （1／S1）｜≤δ2／3.于是，

選擇充分小的q和a使得T1＞0，并選擇僅依賴于到某個固定點p的距離為r的函數(shù)

結(jié)合式（8），可得

由于M3具有多項式體積增長，令R→＋∞，得證S1為零.這與假設(shè)矛盾，證畢.

［1］CHENG Shiuyuen，YAU Shingtung.Hypersurfaces with constant scalar curvature［J］.Math Ann，1977，225：195－204.

［2］SHEN Yibing，ZHU Xiaohua.On stable complete minimal hypersurfaces in Rn＋1［J］.Amer J Math，1998，120（1）：103－116.

［3］ALENCAR H，SANTOS W，ZHOU Detang.Stable hypersurfaces with constant scalar curvature［J］.Proc Amer Math Soc，2010，138（9）：3301－3312.

［4］CHERN Shiingshen.On the curvatures of a piece of hypersurface in Euclidean space［J］.Abh Math Sem Univ Hamburg，1965，29：77－91.

［5］SILVA NETO G.On stable hypersurfaces with vanishing scalar curvature［J］.Math Z，2014，277（1／2）：481－497.

［6］NELLI B，SORET M.Stably embedded minimal hypersurfaces［J］.Math Z，2007，255（3）：493－514.

［7］CAVALCANTE M P，MIRANDOLA H，VITóRIO F.L2－h(huán)armonic 1－forms on submanifolds with finite total curvature［J］.J Geom Anal，2014，24（1）：205－222.

［8］ZHU Peng，GAN Wenzhen，ZHOU Jiuru.On the reducedL2cohomology on complete hypersurfaces in Euclidean spaces［J］.Arch Math（Basel），2015，105（2）：189－200.

［9］ALENCAR H，do CARMO M，ELBERT M F.Stability of hypersurfaces with vanishing r－mean curvatures in Euclidean spaces［J］.J Reine Angew Math，2003，554：201－216.

［10］REILLY R C.Variational properties of functions of the mean curvatures of hypersurfaces in space forms［J］.J Differ Geom，1973，8：465－477.

［11］ALENCAR H，do CARMO M，COLARES A G.Stable hypersurfaces with constant scalar curvature［J］.Math Z，1993，213（1）：117－131.

［12］HOUNIE J，LEITE M L.Two－ended hypersurfaces with zero scalar curvature［J］.Indiana Univ Math J，1999，48（3）：867－882.

Hypersurfaces in a 4－dimensional hyperbolic space

ZHU Peng

（Sch of Math ＆Phys，Jiangsu Univ of Tech，Changzhou 213001，China）

This paper studies the global properties of complete noncompact 1－minimal stable hypersurfaces in a 4－dimensional hyperbolic spaceH4.It is obtained that there is no complete noncompact 1－minimal stable hypersurfaces inH4with polynomial volume growth in case of the restriction of the mean curvature and Gauss－Kronecker curvature.

polynomial volume growth；1－minimal stable hypersurfaces；hyperbolic space

O 186.12

A

1007－824X（2015）04－0044－03

2015－04－13.E－mail：zhupeng＠jsut.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項目（11471145，11371309）；江蘇省“青藍工程”優(yōu)秀青年骨干教師培養(yǎng)基金資助項目（蘇教［2014］23號）.

朱鵬.四維雙曲空間中的超曲面 ［J］.揚州大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015，18（4）：44－46.

（責(zé)任編輯 青 禾）