關(guān)注本質(zhì)：“小研究學(xué)習(xí)”的應(yīng)然追求

周衛(wèi)東

[摘 要]“平均數(shù)”的教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生學(xué)習(xí)哪些本質(zhì)？平均數(shù)是數(shù)據(jù)的代表，反映的是一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，平均數(shù)常用于統(tǒng)計(jì)對(duì)象的一般水平，它既可以反映出一組數(shù)量的一般情況，也可以用來進(jìn)行不同組數(shù)量的比較，以看出組與組之間的差別。求平均數(shù)是分析數(shù)據(jù)的一種重要方法，在日常生活中，特別是工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中經(jīng)常要用到，如平均成績、平均身高、平均產(chǎn)量、平均速度等。教學(xué)中應(yīng)如何把握這些學(xué)科本質(zhì)？可以“小研究學(xué)習(xí)”的方式，讓學(xué)生在研究、交流、反思中自然領(lǐng)悟和把握。

[關(guān)鍵詞]平均數(shù) 移多補(bǔ)少 易變性

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）14-014

A.課前學(xué)生進(jìn)行前置性小研究。（研究單詳見前文附錄）

B.課堂學(xué)習(xí)與交流過程

一、小組交流，分享各自研究成果

師：這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，大家知道是什么嗎？

師：關(guān)于“平均數(shù)”的知識(shí)，課前我們已經(jīng)做了一個(gè)小研究，請大家拿出來，4人小組相互交流一下，在交流中如果遇到不一樣的想法，可以商量商量，再做適當(dāng)?shù)男薷?。開始吧！”（時(shí)間5分鐘左右）

二、全班交流

1.感受平均數(shù)的意義，掌握平均數(shù)的求法

師：哪個(gè)小組愿意與大家分享自己的研究成果？

生1：下面由我們小組來與大家交流。我先匯報(bào)我的想法。我覺得C組應(yīng)該是冠軍，因?yàn)镃組的平均數(shù)最大。我算了一下，A組的平均數(shù)是4個(gè)，用（3+8+1）÷3=4（個(gè)）；B組的平均數(shù)也是4個(gè)，用（3+5+4+4）÷4=4（個(gè)）；C組的平均數(shù)是5個(gè)，用（4+5+6）÷3=5（個(gè)）。

生2：我不同意生1的想法，我覺得A組應(yīng)該是冠軍，因?yàn)樗麄冋f得對(duì)，最大數(shù)8在他們組?。?/p>

（這時(shí)，班上大多數(shù)學(xué)生都舉起了手）

生3：最大數(shù)在他們組，可是最小數(shù)1也在他們組?。∷圆荒芸磫蝹€(gè)人的數(shù)量，而要看整個(gè)組的水平！

生4：對(duì)，不能看某個(gè)人的數(shù)量，因?yàn)樗淮碚麄€(gè)組的水平。

生5：同樣，B組的說法也不對(duì)，雖然他們小組的總數(shù)最多，但他們小組的人數(shù)最多，平均攤到每個(gè)人的頭上只有4個(gè)，而C組攤到每個(gè)人的頭上是5個(gè)。所以我同意C組是冠軍。

師：這個(gè)“攤”字挺有意思！攤字還可以怎么解釋？

生6：攤就是平均的意思，平均就是讓每個(gè)人都一樣多！

師：多形象的一個(gè)字啊！讓我們對(duì)一個(gè)科學(xué)的概念得到很好的理解，謝謝你！

師：孩子們，我們來把剛才大家的發(fā)言整理一下。A、B、C組都想用一個(gè)數(shù)據(jù)來代表自己組的水平（板書：數(shù)據(jù)代表），回憶一下，三個(gè)組的數(shù)據(jù)代表分別是什么？

生7：A組的代表是最大數(shù)，B組的代表是總數(shù)，C組的代表是平均數(shù)。

師：沒錯(cuò)，在不同的場合下，最大數(shù)、總數(shù)和平均數(shù)都可以作為一組數(shù)據(jù)的代表，那在這種情況下，誰做數(shù)據(jù)代表更合適呢？

生：平均數(shù)。

師：平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，代表了這組數(shù)據(jù)的整體水平。

師：剛才生1同學(xué)介紹了求平均數(shù)的方法，誰來概括一下，她是怎么求平均數(shù)的？

生8：先求總數(shù)，再除以個(gè)數(shù)。

師：大家同意嗎？（板書：平均數(shù)=總數(shù)÷個(gè)數(shù)）

生9：我來補(bǔ)充，求平均數(shù)還可以這樣想，比如C組，把王宇的6個(gè)，移一個(gè)給李小鋼，這樣，3個(gè)人就都是5個(gè)了，那么平均數(shù)就是5了。

師：你是一個(gè)很善于思考、善于觀察的孩子！那生9的這種方法，誰來給它取一個(gè)名字？

生10：取大給小。

生11：移多補(bǔ)少。

師：真好！這兩個(gè)名稱意義都表達(dá)了同一個(gè)意思。數(shù)學(xué)上規(guī)范的名稱叫“移多補(bǔ)少”！

2.靈活運(yùn)用平均數(shù)的求法，進(jìn)一步感受平均數(shù)的“易變性”

師：小研究的第2題，哪個(gè)小組愿意與大家交流？

生12：下面由我們小組來與大家交流。我認(rèn)為D組可能得冠軍，也可能得不到。

生13：對(duì)，我來補(bǔ)充，剛才C組是冠軍，平均數(shù)是5個(gè)，現(xiàn)在D組4個(gè)人來投，總數(shù)要達(dá)到20個(gè)，平均數(shù)才正好是5個(gè)，現(xiàn)在前3個(gè)人的總數(shù)是6+5+3=14個(gè)，14個(gè)與20個(gè)相差6個(gè)，第4個(gè)人如果投6個(gè)，平均數(shù)就是5個(gè)，正好與C組并列冠軍，要想得絕對(duì)冠軍，平均數(shù)就必須超過5個(gè)，那第4個(gè)人至少要投7個(gè)。

生14：對(duì)，我來小結(jié)一下，這里有3種情況。如果第4個(gè)人投了6個(gè)，平均數(shù)就正是5個(gè)，與C組是并列冠軍；如果小于6個(gè)，平均數(shù)小于5個(gè)，就得不到冠軍；如果大于6個(gè)，平均數(shù)大于5個(gè)，就是絕對(duì)冠軍。

師：噢，聽了這個(gè)小組的發(fā)言，大家有沒有感覺到，左右D組能不能得冠軍的個(gè)數(shù)只是區(qū)區(qū)的1個(gè)，多1個(gè)與少1個(gè)，結(jié)果完全不一樣，看來平均數(shù)是易變的，難怪有人這樣形容平均數(shù)“平均數(shù)這東西很敏感，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的風(fēng)吹草動(dòng)，都會(huì)使平均數(shù)發(fā)生變化”?，F(xiàn)在看來，這話有道理嗎？

3.進(jìn)一步理解平均數(shù)“介于大數(shù)與小數(shù)之間”等特性

師：孩子們，讓我們一起來交流第3題，相信大家對(duì)平均數(shù)的認(rèn)識(shí)會(huì)更深一層。

生15：我認(rèn)為圖3是對(duì)的。因?yàn)閳D1的虛線取的是最小數(shù)，平均數(shù)不可能是最小數(shù)，圖4的虛線取的是最大數(shù)，平均數(shù)也不可能是最大數(shù)，圖2多的部分拿給少的部分不夠分，所以我覺得是圖3是對(duì)的。

生16：我同意生15的想法。我根據(jù)5個(gè)人的多少，分別假設(shè)了他們投球的個(gè)數(shù)，用具體的數(shù)算一下就知道了。

師：大家同意嗎？其實(shí)，生16介紹的這種方法，老師預(yù)先也準(zhǔn)備了，大家一起來感受一下。

師：用圖中的具體數(shù)據(jù)計(jì)算一下，哪一幅圖是正確的呢？

師：通過對(duì)這道題的研究，你對(duì)平均數(shù)又有哪些新的認(rèn)識(shí)呢？

生17：平均數(shù)大于最小數(shù)，小于最大數(shù)。

生18：平均數(shù)介于最大數(shù)和最小數(shù)之間。

生19：平均數(shù)是個(gè)中間數(shù)。

4.進(jìn)一步理解“平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，個(gè)別數(shù)值不能代表整體水平”等特性

師：你覺得黑馬說得有道理嗎？（學(xué)生交流略）

師：孩子們，這個(gè)故事還沒有結(jié)束呢。請看續(xù)節(jié)——

師：你覺得黃馬說得有道理嗎？（學(xué)生交流略）

師：聽了這個(gè)故事，你覺得有哪些收獲要與大家分享呢？

【課后反思】

“小研究學(xué)習(xí)”的課堂，不僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)，更應(yīng)關(guān)注學(xué)科特質(zhì)的提煉與表達(dá)，要讓學(xué)科的本質(zhì)占領(lǐng)課堂的主陣地，要體現(xiàn)出濃濃的“數(shù)學(xué)味”。

就平均數(shù)而言，“數(shù)學(xué)味”體現(xiàn)在重在突顯概念的本質(zhì)。

置于整體，概念的特點(diǎn)更能顯現(xiàn)。眾所周知，同樣看一個(gè)事物，從局部看局部，從整體看局部，后者顯然更為清楚。而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，也有同樣的道理。平均數(shù)是什么呢？我們需要一個(gè)全景式的了解，統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)為，描述一組數(shù)據(jù)的特征量有三種：差異量，集中量和相關(guān)量。集中量就是表示一組數(shù)據(jù)的典型水平或集中趨勢的量。集中量又分為眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù)。平均數(shù)又分為加權(quán)平均數(shù)，調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)。從現(xiàn)實(shí)情況看，小學(xué)生學(xué)習(xí)的平均數(shù)更多的是指算術(shù)平均數(shù)，較復(fù)雜的平均數(shù)中有加權(quán)平均數(shù)。有一個(gè)這樣整體系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，教學(xué)中更能抓住其本質(zhì)特征。從這些背景知識(shí)中，可以發(fā)現(xiàn)：平均數(shù)是眾多集中量（小學(xué)生講“代表數(shù)”比較容易理解）中的一個(gè)，并不唯一。反思第一環(huán)節(jié)，在學(xué)生判斷哪一組得冠軍的環(huán)節(jié)，要找一個(gè)能代表小組意見的分?jǐn)?shù)時(shí)，從學(xué)生的回答中，我們可以看到除了平均數(shù)還有總數(shù)和最大數(shù)的影響，這就是一個(gè)概念形成的真實(shí)的整體背景。

豐富經(jīng)歷，概念的形成更加完整。平均數(shù)是一種反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量，是描述數(shù)據(jù)的重要統(tǒng)計(jì)指標(biāo)之一，理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義是教學(xué)的關(guān)鍵，有經(jīng)歷，才會(huì)有體驗(yàn)?？v觀全課，四個(gè)教學(xué)場景各有側(cè)重，將學(xué)生置于全方位的“場域”之中。引導(dǎo)學(xué)生通過辨析討論，體會(huì)“平均數(shù)肯定在最大數(shù)與最小數(shù)之間”“平均數(shù)有時(shí)會(huì)受到極端數(shù)據(jù)的影響”“平均數(shù)是一個(gè)特征數(shù)，并不是所有數(shù)都是這個(gè)數(shù)”等特點(diǎn)，進(jìn)一步理解平均數(shù)的實(shí)際意義，這樣的教學(xué)，有助于學(xué)生今后理解用平均數(shù)表示的數(shù)據(jù)的特征，并且在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)能想到用平均數(shù)刻畫數(shù)據(jù)。

加強(qiáng)聯(lián)系，概念的價(jià)值更為豐實(shí)。數(shù)學(xué)聯(lián)系，就本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)而言，主要指數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)與德育的聯(lián)系。本節(jié)課上，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，要豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的素材，讓數(shù)學(xué)與德育的聯(lián)系并非只是停留在形式。在課堂上，當(dāng)聽完新“小馬過河”的故事時(shí)，學(xué)生不僅對(duì)黃馬和黑馬賦予了人的個(gè)性特點(diǎn)，同時(shí)聯(lián)想現(xiàn)實(shí)生活中的一些“平均數(shù)”，如重點(diǎn)中學(xué)的學(xué)生平均分?jǐn)?shù)比一般學(xué)校高，那么是否就是就讀重點(diǎn)中學(xué)好；好的單位平均工資比一般單位好，那么是否要選擇好單位就業(yè)，以及“寧當(dāng)雞頭不作鳳尾”的俗語，都是對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活有著長遠(yuǎn)的教育意義的。“作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)”承載的不只是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。雖然我們也反對(duì)“去數(shù)學(xué)化”，反對(duì)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的牽強(qiáng)聯(lián)系，也不贊成“貼標(biāo)簽式的德育滲透”，但我們認(rèn)同和倡導(dǎo)用兒童所能接受并喜歡接受的方式，加強(qiáng)聯(lián)系，滲透德育，真正實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)教學(xué)，不只教學(xué)數(shù)學(xué)?！?/p>

（責(zé)編 金 鈴）