論析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“伸展與跳躍”

李建梅

[摘 要]數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生理性思維和想象能力的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生理性氣質(zhì)、適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展需要的基礎(chǔ)工作。教學(xué)只有順應(yīng)知識(shí)的邏輯起點(diǎn)、尊重和接納學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，有效實(shí)施“因材施教”，才能實(shí)現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的目標(biāo)。學(xué)生的成長(zhǎng)只有越過(guò)了學(xué)科本身和現(xiàn)實(shí)水平的瓶頸，才能實(shí)現(xiàn)自主性的伸展與跳躍。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 伸展 跳躍 成長(zhǎng)

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）11-005

“學(xué)有起點(diǎn)，但無(wú)終點(diǎn)?！边@是對(duì)教育真諦的最好詮釋。無(wú)論水平高低、能力強(qiáng)弱，在學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)仍能保持一份興趣，仍有思考的熱情、溝通的欲望，仍有堅(jiān)韌不拔的毅力、謹(jǐn)慎認(rèn)真的品質(zhì)，學(xué)生的生命就能獲得伸展與跳躍，而這種伸展與跳躍就是學(xué)生最好的成長(zhǎng)。

[案例一] “謝式做法”的“橫空出世”

教學(xué)除數(shù)是小數(shù)的除法豎式，形如“4.2”時(shí)，一般會(huì)指導(dǎo)學(xué)生劃去算式中的小數(shù)點(diǎn)轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法，這也是教材中的常規(guī)做法，但是豎式中原有的小數(shù)點(diǎn)和移動(dòng)后的小數(shù)點(diǎn)的彼此干擾增加了計(jì)算難度，我一直也沒(méi)有想到更好的解決辦法。

前不久教學(xué)除數(shù)是小數(shù)的除法時(shí)，我突發(fā)念想：什么都不講，學(xué)生會(huì)怎么做？

根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生懂得根據(jù)商不變的規(guī)律把原有算式“7.98÷4.2”轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算，于是我讓學(xué)生嘗試豎式計(jì)算。結(jié)果不同能力水平的學(xué)生呈現(xiàn)了不一樣的狀態(tài)：一部分學(xué)生因沒(méi)有先例可循無(wú)從下手，示意他們看課本，但課本上也只有4.2的提示，沒(méi)有具體做法，面對(duì)這個(gè)變形的豎式，他們一樣手足無(wú)措；一部分學(xué)生開(kāi)始嘗試?yán)迷胸Q式“4.2”步步揣摩（是基于已有除法經(jīng)驗(yàn)的合情推理，有一定的思維難度）；還有幾名學(xué)生索性寫(xiě)成“420”后直接計(jì)算；只有一名姓謝的學(xué)生直接寫(xiě)成轉(zhuǎn)化之后的除法豎式“42”，并很快完成，我把它命名為“謝式做法”。靜靜的課堂，火熱的思考，各種想法都在悄然醞釀。

縱觀全班，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)一名學(xué)生寫(xiě)成教材中的格式，看來(lái)教材推廣的豎式不會(huì)自然生成。我先講解了教材中的豎式，再把幾種不同的做法集中呈現(xiàn)在黑板上，讓學(xué)生自己登臺(tái)講述思路。在一一解讀與比較后，學(xué)生明白了書(shū)上的豎式書(shū)寫(xiě)既保持了原有算式的樣式，又有轉(zhuǎn)化之后的面貌，前后變化一目了然，但仍覺(jué)得不習(xí)慣而且有點(diǎn)繁，不如“420”和“42”的豎式利落清爽。我對(duì)于“420”和“42”哪個(gè)更好并沒(méi)有做出定論，而是讓學(xué)生自由選擇適合自己的豎式。其實(shí)，好與不好得看具體情況，再說(shuō)，除了除數(shù)的大小變化，就此題而言它們沒(méi)有明顯的難度差別。

隨著情況的復(fù)雜、練習(xí)的深入，少數(shù)學(xué)生堅(jiān)持采取書(shū)上的常規(guī)做法，大部分學(xué)生開(kāi)始趨向于“謝式做法”。教材呈現(xiàn)的只是個(gè)例子，適合學(xué)生的才是最好的。受學(xué)生的感染，我也在不知不覺(jué)中開(kāi)始經(jīng)常運(yùn)用“謝式做法”了。這個(gè)姓謝的學(xué)生學(xué)習(xí)僅僅處于下游水平，卻這絲毫沒(méi)有影響“謝式做法”的“橫空出世”，“謝式做法”的誕生讓他足足“美”了一個(gè)星期，這樣的體驗(yàn)何嘗不是他學(xué)習(xí)經(jīng)歷中的一次優(yōu)美伸展與華麗蛻變？

回顧“除數(shù)是小數(shù)的除法”的學(xué)習(xí)過(guò)程，教師介入很少，因?yàn)榻處煹摹昂笸恕背删土艘粋€(gè)“學(xué)習(xí)共同體”，學(xué)生獨(dú)立思考、自然生成、互相啟發(fā)、彼此影響。無(wú)論是什么層次的學(xué)生都在與他人的交流中增強(qiáng)理解，在比較辨析中認(rèn)同和接納，在自我反思和同伴互助中豐富認(rèn)識(shí)，發(fā)展能力?！爸x式做法”的“橫空出世”正是在這樣的共同體中產(chǎn)生并得到普及，這正是學(xué)習(xí)的意義。

[案例二]直逼本質(zhì)的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)

首先給出五年級(jí)教材中的一組習(xí)題：先算一算，再比較每組題的得數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

4.8÷0.1= 2.6×0.5= 1.5÷0.25=

4.8×10= 2.6÷2= 1.5×4=

學(xué)生的描述不外乎：得數(shù)相等；一道是乘法，一道是除法；結(jié)果大于或小于被除數(shù)（或第一個(gè)因數(shù)）……顯然，這些表象描述不夠全面深入且不抵及編者意圖。

題目涉及的要素比較復(fù)雜，我不再指望更有價(jià)值的發(fā)現(xiàn)，準(zhǔn)備深度介入。突然，小林的手在我面前使勁地?fù)u晃，大有不喊她回答絕不罷手之意。盡管知道這是個(gè)有點(diǎn)沖動(dòng)的女孩，經(jīng)常會(huì)有片面的理解和莫名的錯(cuò)誤，但為了不挫傷她的積極性，還是讓她來(lái)回答問(wèn)題。小林頗為激動(dòng)地說(shuō)：“我發(fā)現(xiàn)除了大家說(shuō)的，還有一個(gè)秘密——就是第一個(gè)算式里的除數(shù)和第二個(gè)算式里的后一個(gè)因數(shù)的積全部是1?！备杏X(jué)其他同學(xué)還不能明白，她忍不住走上講臺(tái)對(duì)著算式比劃著、講述著……隨著她的闡述，教室里有了短暫的沉寂，隨即響起了一陣陣會(huì)意的聲音，大家都明白了！

對(duì)于還沒(méi)學(xué)習(xí)倒數(shù)的五年級(jí)學(xué)生，能有這樣的發(fā)現(xiàn)已是最接近本質(zhì)的思考了。我有責(zé)任讓小林感受：重要的不是知識(shí)的發(fā)現(xiàn)，而是知識(shí)的傳遞。于是我要求其他學(xué)生運(yùn)用小林發(fā)現(xiàn)的規(guī)律各自寫(xiě)了一組算式，并再次計(jì)算驗(yàn)證，緊接著讓他們把每組題中的第二個(gè)數(shù)交換位置，學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律依然成立。數(shù)學(xué)的奇妙和有趣，以及它的再生長(zhǎng)特點(diǎn)在此盡顯?；诖?，我提示學(xué)生，小林的發(fā)現(xiàn)之所以了不起，是因?yàn)樗菑膬蓚€(gè)算式之間的關(guān)系來(lái)思考的，而“關(guān)系”是把握一切數(shù)學(xué)的關(guān)鍵和核心。

毋庸置疑，小林在這節(jié)課上某個(gè)時(shí)段是深入觀察與思考的，是努力交流與溝通的，是想方設(shè)法傳遞知識(shí)分享智慧的。生命的生長(zhǎng)與跳躍有時(shí)就是一個(gè)機(jī)會(huì)的把握、一個(gè)平臺(tái)的搭建，我不由得竊喜：我成就了一個(gè)女孩光芒四射的時(shí)刻，讓一直不自信她有了偉大的發(fā)現(xiàn)，有了“重生”般的驚喜。

上述兩個(gè)案例，雖說(shuō)都是計(jì)算教學(xué)，但是，它對(duì)我們更好地認(rèn)識(shí)兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶有普遍性的啟示意義。

首先，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程應(yīng)該是一個(gè)舒展的、自由表現(xiàn)的過(guò)程。俗話(huà)說(shuō)，閑暇出智慧。學(xué)習(xí)者只有在自由而寬松的氛圍中，才能以最真實(shí)的狀態(tài)呈現(xiàn)在教師面前。只有每個(gè)學(xué)習(xí)者的思維、精力都展現(xiàn)出來(lái)，教師才能把握到他們最真實(shí)的起點(diǎn)。存在的都是合理的，如果學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)是多樣化的、有層次的，那教學(xué)就應(yīng)該從這種差異出發(fā)，在平淡中開(kāi)掘新奇，從獨(dú)特中尋找精彩，將學(xué)習(xí)置身于充滿(mǎn)挑戰(zhàn)、思辨、探究、解惑、發(fā)現(xiàn)的場(chǎng)景中，學(xué)習(xí)自然就變得有意思、有意義。

其次，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程應(yīng)該是一個(gè)伸展的、跳躍的過(guò)程。伸展意味著全方位的打開(kāi)——知識(shí)的、能力的、思維的……只要全身“每個(gè)細(xì)胞”都被激活了，那學(xué)習(xí)就充滿(mǎn)著無(wú)限的張力。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是在平地上行走，而是要拾級(jí)而上，“跳一跳，摘到果子”。這“跳”，是突破原有的定式，是另辟蹊徑的發(fā)現(xiàn)，是靈感爆發(fā)后的豁然開(kāi)朗，是學(xué)習(xí)成功后的激動(dòng)喜悅。

總之，每個(gè)人生命的最初姿態(tài)本不相同，我們沒(méi)有理由要求大家齊步向前。教育的要義是激勵(lì)和喚醒：?jiǎn)拘褜W(xué)生內(nèi)在的自覺(jué)，激發(fā)學(xué)生潛在的能量。每個(gè)獨(dú)特的生命個(gè)體，應(yīng)該經(jīng)歷不一樣的生命體驗(yàn)，不同能力的學(xué)生應(yīng)該形成不一樣的張力，從而形成豐富多彩的生命姿態(tài)。學(xué)習(xí)不是決出勝負(fù)的一場(chǎng)比賽，讓部分歡喜部分憂(yōu)愁；學(xué)習(xí)應(yīng)該是敲響促進(jìn)兒童生命拔節(jié)的鼓點(diǎn)，讓兒童汲取向上生長(zhǎng)的精神力量；學(xué)習(xí)就是從現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)走向可能終點(diǎn)的伸展和跳躍。

（責(zé)編 金 鈴）