基于鋸齒載波的SPWM及SAPWM的數(shù)學(xué)分析

陳國呈，蔡立清，周勤利，顧紅兵，雷 電

(1．常州鉅特工業(yè)科技有限公司，江蘇常州200122;2．上海大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，上海200072)

基于鋸齒載波的SPWM及SAPWM的數(shù)學(xué)分析

陳國呈1，2，蔡立清1，周勤利1，顧紅兵1，雷 電1，2

(1．常州鉅特工業(yè)科技有限公司，江蘇常州200122;2．上海大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，上海200072)

電力電子變換多采用PWM方法實(shí)現(xiàn)功率傳送，其載波通常都為等腰三角載波。但要實(shí)現(xiàn)軟開關(guān)PWM調(diào)制，特別是對(duì)于三相電力變換器，如果用等腰三角波作為載波就無法實(shí)現(xiàn)軟開關(guān)PWM，因?yàn)榇藭r(shí)變換器往往需要三相開關(guān)器件同步開通或關(guān)斷，取而代之的是采用鋸齒波作為載波。然而載波方式改變之后，PWM的頻譜有何變化，產(chǎn)生的影響將會(huì)如何，本文就此作了深入分析。研究結(jié)果指出等腰三角載波PWM與鋸齒載波PWM的頻譜有很大不同，后者的邊頻帶更寬，諧波更豐富，必須采取有效措施才能將其濾除。

三角波;鋸齒波;脈沖寬度調(diào)制;頻譜;邊頻帶

1 引言

隨著電力電子器件及其控制技術(shù)的快速發(fā)展，人們對(duì)電力電子設(shè)備性能的要求也在不斷提高，集中表現(xiàn)在對(duì)設(shè)備小型化、輕量化、損耗小、變換效率高、環(huán)境污染小、可靠性好、運(yùn)行穩(wěn)定和價(jià)格低廉等的要求上。然而傳統(tǒng)的電力變換器多使用硬開關(guān)電壓型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，往往難以做到這些，電力電子器件工作時(shí)存在開關(guān)損耗，感性關(guān)斷時(shí)誘發(fā)尖峰電壓，容性開通時(shí)存儲(chǔ)在開關(guān)器件結(jié)電容中的能量全部耗散在器件內(nèi)部，二極管反向恢復(fù)時(shí)有很大的反向恢復(fù)電流，伴隨著開關(guān)器件頻繁動(dòng)作可誘發(fā)噪聲、電磁干擾和對(duì)電網(wǎng)的諧波污染等。為此，20世紀(jì)90年代開始有學(xué)者提出軟開關(guān)技術(shù)，如 ZVS、ZCS、ZVT等［1-7］，取得了預(yù)期的良好效果。

然而，眾所周知電力變換器一般都是使用PWM技術(shù)實(shí)現(xiàn)各種電力傳輸?shù)?，傳統(tǒng)的PWM都是使用等腰三角波作為載波與正弦調(diào)制波或鞍形調(diào)制波進(jìn)行比較來實(shí)現(xiàn)的。但對(duì)于三相電力變換器，如果還用等腰三角波作為載波就無法實(shí)現(xiàn)軟開關(guān)PWM了，因?yàn)榇藭r(shí)三相變換器往往需要三相開關(guān)器件同步開通或關(guān)斷［8-13］，取而代之的是采用鋸齒波作為載波。載波方式改變之后，PWM的頻譜有何變化，產(chǎn)生的影響將會(huì)如何，本文將就此作深入分析。文章先分析基于鋸齒載波的SPWM的頻譜特性，然后進(jìn)一步分析SAPWM的頻譜特性。通過比較兩者頻譜的差異性，得出一些重要的理論指導(dǎo)。

2 單相SPWM的數(shù)學(xué)分析

2.1 單相半橋逆變器

圖1為單相半橋逆變器的示意圖，圖2為正弦波鋸齒波PWM的示意圖，圖中 es為鋸齒載波，sinω1t為調(diào)制波。

圖1 單相半橋逆變器主回路Fig．1 Single phase half-bridge inverter

設(shè)M為調(diào)制度，則有

圖2 鋸齒波調(diào)制Fig．2 Sawtooth wave modulation

下面分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)來分析，n為載波頻率的倍數(shù)。

(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由式(14)有

聯(lián)系式(11)，由式(15)的第一項(xiàng)可以看出，在nωs處諧波nωs的幅值為

式(15)的第二、三項(xiàng)為nωs的邊頻帶 ±(2l－1)ω1和 ±2lω1，當(dāng) l= 1，2，3，… 時(shí)，分別有邊頻帶。即在n倍載波nωs頻域，含有 ±1ω1，±2ω1，±3ω1，± 4ω1，…等所有奇、偶數(shù)次邊頻帶，聯(lián)系到式(11)可知其幅值為

(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由式(14)有

同理，聯(lián)系式(11)，由式(18)的第一項(xiàng)可以看出，在nωs處諧波nωs的幅值為和

式(18)的第二、三項(xiàng)為nωs的邊頻帶 ±(2l－1)ω1和±2lω1，當(dāng) l= 1，2，3，… 時(shí)，分別有和邊頻帶，即在n倍載波nωs頻域，含有±1ω1，±2ω1，±3ω1，±4ω1，…等所有奇、偶數(shù)次邊頻帶，聯(lián)系到式(11)可知其幅值為

圖3為圖1的仿真結(jié)果，為使頻譜顯示更加清晰，特將載波頻率設(shè)得較低，僅為1.5kHz，負(fù)載為R +L，其中R=10Ω，L=1mH。從圖中可以看出，在基波頻域只含有基波分量，不存在直流分量和基波的邊頻帶，而在各載波頻域(n=1，2，3，…)有nωs次諧波和±1ω1，±2ω1，±3ω1，±4ω1，…等所有奇、偶數(shù)次邊頻帶。式(16)與式(19)的差異還在于J0(nπM)的符號(hào)相反，n為奇數(shù)時(shí)符號(hào)為正，幅值相加，n為偶數(shù)時(shí)符號(hào)為負(fù)，幅值相減。

圖3 單相半橋SPWM逆變器輸出電流頻譜Fig．3 Output current spectrum of half-bridge SPWM inverter

圖4 單相H橋逆變器主回路Fig．4 Single phase H-bridge inverter

2.2 單相H橋逆變器

圖4為單相H橋逆變器的主回路，通常是V1和V4，或V2和V3同時(shí)導(dǎo)通，則V相的輸出UV總是與UU相反，即UV=－UU，因此輸出電壓UUV=UUUV=2UU，可見其基波和諧波分量的幅值都將是圖3的2倍。單相H橋逆變器的輸出電流與圖3完全一樣，只是縱坐標(biāo)的標(biāo)定不同而已，圖3中ω1的峰值為40A，而單相H橋逆變器輸出電壓中ω1的峰值為80A，不另展示。

由式(11)可知，此時(shí)基波成分 ω1的幅值 = MEd。由式(17)和式(20)可知，諧波成分(nωs± kω1)的幅值為EdJk(nπM)/(nπ)(n=1，2，3，…;k =1，2，3，…);在 nωs(k=0)處，有幅值為［1± J0(nπM)］Ed/(nπ)的諧波(n為奇數(shù)時(shí)取+，為偶數(shù)時(shí)取－)。

3 三相SPWM的數(shù)學(xué)分析

3.1 基波分量

圖5為三相逆變器的基本主回路。由式(11)可知，U相電壓的基波分量為

則U、V間線電壓的基波分量為

圖5 三相逆變器主回路Fig．5 Main circuit of three-phase inverter

3.2 諧波分量

(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由式(15)可知，Uuv，h=Uu，h－Uv，h時(shí)，U、V相的第一項(xiàng)相抵，從而有

從式(23)看出，輸出線電壓在n次載波頻率nωs兩旁有±(2l－1)ω1次和±2lω1次諧波，即nωs的邊頻帶，其幅值為和而在nωs處沒有諧波，這是因?yàn)槭?15)的第一項(xiàng)在線電壓中相抵的緣故。

式(24)表明，nωs頻域中不含3ω1的奇數(shù)倍次邊頻帶。

再看式(23)中的第二項(xiàng)，該項(xiàng)含有sin2lπ/3因子，當(dāng)2l=6，12，18，24，…時(shí)，恒有

式(25)表明，nωs的邊頻帶中也不含3ω1的偶數(shù)倍次邊頻帶。

綜上，可以知道nωs的邊頻帶中不含3ω1的倍數(shù)次邊頻帶。

(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由式(18)可知，由于Uuv，h=Uu，h－Uv，h，U、V相的第一項(xiàng)相抵，從而有

同理，式(26)輸出線電壓在n次載波頻率nωs兩旁有 ±(2l－1)ω1次和±2lω1次諧波，即nωs的邊頻帶，其幅值為和而在nωs處沒有諧波，這是因?yàn)槭?18)的第一項(xiàng)在線電壓中相抵的緣故。

另外，式(26)中第一項(xiàng)含有sin［(2l－1)π/3］因子，當(dāng)2l－1=3，9，15，21，…時(shí)，恒有

式(27)表明，在nωs的邊頻帶中不含3ω1的奇數(shù)倍次邊頻帶。

再看式(26)中的第二項(xiàng)，該項(xiàng)含有sin(2lπ/3)因子，當(dāng)2l=6，12，18，24，…時(shí)，恒有

式(28)表明，在nωs的邊頻帶中也不含3ω1的偶數(shù)倍次邊頻帶。

綜上(1)、(2)分析，可以知道nωs的邊頻帶中不含3ω1的倍數(shù)次邊頻帶，三相SPWM逆變器輸出電流頻譜如圖6所示。圖中無論n為奇數(shù)還是偶數(shù)，在nωs處都沒有諧波;在nωs兩旁只有正負(fù)序諧波，且沒有3的倍數(shù)次諧波。

4 單相SAPWM的數(shù)學(xué)分析

文獻(xiàn)［14］指出，SAPWM是利用鞍形波與載波比較生成PWM脈沖的，其鞍形波可看成為由圖7所示的正弦波f(t)和疑似三角波 Y(t)組成，則SAPWM的數(shù)學(xué)分析可以分解成分別對(duì)f(t)和Y(t)

圖6 三相SPWM逆變器輸出電流頻譜Fig．6 Output current spectrum of three-phase inverter

進(jìn)行分析，然后結(jié)果相加就是SAPWM的分析結(jié)果。

圖7 三相鞍形調(diào)制波的生成Fig．7 Generation of three-phase saddle modulation wave

由文獻(xiàn)［14］可知，Y(t)是如下各諧波分量的一個(gè)集合:

式中，Ω1=3ω1為Y(t)的角頻率。

對(duì)于Y(t)的任意某一次諧波，其表達(dá)式為

由式(11)的第一項(xiàng)可知，Ym(t)將在基波頻域生成如式(31)所示的諧波:

可以看出，在基波頻域含有所有3ω1的奇數(shù)倍次(如3ω1，9ω1，15ω1，…)諧波。此外，Ym(t)還將在各載波頻域nωs產(chǎn)生邊頻帶，參閱式(14)，下面分n為奇數(shù)和偶數(shù)來分析。

(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由式(15)可以看出Ym(t)生成的邊頻帶為

聯(lián)系到式(11)，由式(32)的第一項(xiàng)可以看出，在nωs頻域諧波nωs的幅值為

式(32)的第二、三項(xiàng)為nωs的邊頻帶±(2l－1) (2m +1)3ω1和±2l(2m+1)3ω1(l=1，2，3，…)，即在nωs頻域的兩旁含有±(2m+1)3ω1，±(2m+1)6ω1，±(2m+1)9ω1，±(2m+1)12ω1，…等所有3ω1的倍數(shù)次邊頻帶，其中m=0的影響最大，此時(shí)有3ω1，6ω1，9ω1，…;當(dāng)m=1時(shí)，有9ω1，18ω1，27ω1，…。m越大，式(31)所示的諧波幅值越小，其影響可以忽略不計(jì)。聯(lián)系到式(11)可知，各諧波的振幅為

(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由式(18)可以看出Ym(t)生成的邊頻帶為

聯(lián)系到式(11)，由式(35)的第一項(xiàng)可以看出，在nωs頻域諧波nωs的幅值為

與式(32)同理，式(35)的第二、三項(xiàng)為nωs的邊頻帶±(2l－1)(2m+1)3ω1和±2l(2m+1)3ω1(l=1，2，3，…)，即在nωs頻域的兩旁含有±(2m+ 1)3ω1，±(2m+1)6ω1，±(2m+1)9ω1，±(2m+1) 12ω1，…等所有3ω1的倍數(shù)次邊頻帶，其中m=0的影響最大，此時(shí)有3ω1，6ω1，9ω1，…;當(dāng)m=1時(shí)，有9ω1，18ω1，27ω1，…。m越大，式(31)所示的諧波幅值越小，其影響可以忽略不計(jì)。聯(lián)系到式(11)可知，各諧波的幅值為

圖8為單相SAPWM逆變器輸出電流的頻譜。可以看出，在基波頻域除了ω1外，還有如式(30)所示的3ω1，9ω1，…低次諧波;而在nωs頻域除了式(33)和式(36)所示的諧波1ωs，2ωs，…外，還含有

圖8 單相SAPWM逆變器輸出電流頻譜Fig．8 Output current spectrum of single phase SAPWM inverter

(1)當(dāng)n=1，3，5，…時(shí)，可得諧波成分如下:式(17)和式(20)所示的由f(t)的SPWM生成的kω1(k=1，2，3，…)邊頻帶及式(32)和式(35)所示的Y(t)所生成的3的倍數(shù)次邊頻帶，特別是后者3的倍數(shù)次邊頻帶。顯然，含有如此豐富諧波的PWM模式不適于單相逆變器的應(yīng)用。

5 三相SAPWM的數(shù)學(xué)分析

5.1 基波分量

對(duì)于圖5所示的三相逆變器，SAPWM的輸出線電壓應(yīng)該由f(t)和Y(t)共同作用產(chǎn)生，即基波頻域的頻譜應(yīng)該是式(21)和式(31)共同作用的結(jié)果，其幅值為

可見，Y(t)的作用并不出現(xiàn)在基波頻域，即基波頻域只有f(t)基波分量，或者說Y(t)產(chǎn)生的零序分量在三相逆變器中相互抵消了，這也是必然的(參閱圖9)。

5.2 諧波分量

下面再來考察SAPWM的諧波成分Uuv，h，將式(30)分別代入式(15)和式(18)，并注意到后者ω1與前者(2m+1)Ω1及其系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則有:

(2)當(dāng)n=2，4，6，…時(shí)，可得諧波成分如下:

由式(39)和式(40)可知，在線電壓里，差頻為nωs±(2l－1)(2m+1)3ω1及nωs±2l(2m+1)3ω1的諧波幅值恒為0，這是因?yàn)槭?30)所示的Y(t)實(shí)際上是3ω1的奇數(shù)倍次諧波的集合，即因其是零序分量，所以在三相對(duì)稱負(fù)載中相互抵消了。圖9為三相SAPWM逆變器的輸出電流頻譜，對(duì)比圖8的單相SAPWM逆變器頻譜，顯然其零序分量(3ω1，6ω1，9ω1，…)及1ωs，2ωs，…等都沒有了。而在nωs頻域，也不存在1ωs、2ωs、…等諧波，這是因?yàn)槭?33)、式(36)在線電壓中相抵的緣故，對(duì)比圖6的SPWM頻譜可以看出，在諧波次數(shù)上SAPWM與SPWM完全一樣，但幅值卻有差異。

圖9 三相SAPWM逆變器輸出電流頻譜Fig．9 Output current spectrum of three-phase SAPWM inverter

文獻(xiàn)［14］指出，雖然SAPWM可以分解成f(t) 和Y(t)來分析其輸出電壓幅值，但其PWM調(diào)制卻是依靠f(t)和Y(t)合成后的波形來實(shí)施的。圖10和圖11分別為SAPWM和SPWM的脈沖序列?？梢悦黠@看出，由于鞍形波波形的固有特性，從其過零點(diǎn)到波頂，脈沖寬度的變化范圍為(參閱圖2)，而SPWM的變化范圍為(0.5～1)Ts。特別是SAPWM，在π/6～5π/6和7π/6～11π/6區(qū)間(參閱圖10)，調(diào)制波幅值只在0.75～0.866)pu之間變化，而SPWM卻是在0.5～1pu之間變化，顯然，SAPWM生成的脈沖寬度的變化范圍小于SPWM。這就引發(fā)了各載波頻域差頻波幅值的微妙變化，SAPWM正負(fù)序諧波的幅值差距趨?。?4］，而SPWM卻增大，使得SAPWM的總諧波損耗、轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)小于SPWM，且直流母線電壓利用率還有15.47%的提升空間。

圖10 SAPWM的脈沖序列Fig．10 Pulse sequence of SAPWM

6 結(jié)論

20世紀(jì)90年代開始，軟開關(guān)電力電子變換技術(shù)受到國際同行的普遍關(guān)注。三相變換器要實(shí)現(xiàn)軟開關(guān)動(dòng)作往往需要三相開關(guān)器件同步開通或關(guān)斷，此時(shí)不能使用等腰三角波作為載波，而是使用鋸齒波作為載波。載波方式改變之后，PWM的頻譜也發(fā)生了很大變化。本文以SPWM和SAPWM為例對(duì)此作了深入的數(shù)學(xué)分析，兩者的研究結(jié)果都指出，使用鋸齒波進(jìn)行PWM調(diào)制時(shí)，各載波頻域的邊頻帶更寬，差頻諧波更豐富，在各載波頻域含有1ω1，2ω1，3ω1，4ω1，…等所有基波次數(shù)的差頻波。采用三角載波進(jìn)行PWM調(diào)制時(shí)，在奇數(shù)倍次載波頻域只含有2ω1，4ω1，…等偶數(shù)次差頻波，而在偶數(shù)倍次載波頻域只含有1ω1，3ω1，…等奇數(shù)次差頻波。所以，鋸齒載波不適合用于單相逆變器，但在一些特殊場合，如需要軟開關(guān)運(yùn)作的三相逆變器，鋸齒載波不乏是一種很有用的載波。

圖11 SPWM的脈沖序列Fig．11 Pulse sequence of SPWM

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(，cont．on p.16)(，cont．from p.9)

Mathematical analysis on SPWM and SAPWM based on sawtooth carrier wave

CHEN Guo-cheng1，2，CAI Li-qing1，ZHOU Qin-li1，GU Hong-bing1，LEI Dian1，2
(1．Giant Industrial Technology Co．Ltd．，Changzhou 200122，China; 2．Department of Automation，Shanghai University，Shanghai 200072，China)

Power electronic conversions are mostly using the PWM method to transfer electrical power，and the carrier wave is usually an isosceles triangle type．With the use of isosceles triangle wave as the carrier wave，soft switching PWM mode is hard to be applied，especially for three-phase power converter，because the three-phase inverter switching devices often need to synchronize the on or off states，and an alternative method is the use of a sawtooth wave as the carrier wave．However，after replacing the isosceles triangle carrier wave with sawtooth carrier wave，how the PWM spectrum changes and what the impacts will be?This paper has made an in-depth analysis on these issues．The study concluded that the frequency spectrums of the isosceles triangle and the sawtooth carrier PWM mode are quite different，while the latter has wider sideband and more harmonics，so effective measures must be taken to filter out the harmonics．

triangle wave;sawtooth wave;PWM;frequency spectrum;sideband

TM464

A

1003-3076(2015)10-0001-09

2015-04-03

陳國呈(1944-)，男，福建籍，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)殡姍C(jī)驅(qū)動(dòng)及新能源發(fā)電;蔡立清(1970-)，男，安徽籍，工程師，主要研究方向?yàn)樾履茉窗l(fā)電逆變器、通信系統(tǒng)。