帶集中質(zhì)量復(fù)合材料層合屈曲梁參激振動(dòng)的研究*

陳得良 付欽 錢(qián)長(zhǎng)照

（1.長(zhǎng)沙理工大學(xué)土木與建筑學(xué)院，長(zhǎng)沙 410014）（2.廈門(mén)理工學(xué)院土木工程與建筑學(xué)院，廈門(mén) 361021）

引言

近年來(lái)，梁被廣泛運(yùn)用于機(jī)械，土木，航天等工程結(jié)構(gòu)中，其非線性動(dòng)力學(xué)行為也在這些結(jié)構(gòu)中頻繁的出現(xiàn)，并對(duì)結(jié)構(gòu)的安全性，適用性和耐久性產(chǎn)生了重要影響.因此，研究梁的非線性振動(dòng)特性對(duì)于合理設(shè)計(jì)和利用工程結(jié)構(gòu)具有非常重要的意義.自Tseng［1］首次發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下屈曲梁的混沌運(yùn)動(dòng)后，許多學(xué)者對(duì)梁的非線性動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生了濃厚的興趣并展開(kāi)了豐富的研究.Emam和Nayfeh［2］用打靶法分析了兩端固定且受橫向周期激勵(lì)屈曲梁主共振下的周期解，討論了周期解的穩(wěn)定性和分叉點(diǎn)問(wèn)題，其理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果［3］相吻合.季進(jìn)臣［4］用實(shí)驗(yàn)方法研究了一端固定，一端滑動(dòng)受軸向簡(jiǎn)諧激勵(lì)的參激屈曲梁的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，并獲得了動(dòng)態(tài)響應(yīng)在參數(shù)平面上的分布規(guī)律以及非線性阻尼對(duì)分布區(qū)域的影響.姚志剛，張萌［5］研究了簡(jiǎn)支壓電復(fù)合材料層合梁在軸向、橫向載荷共同作用下非線性動(dòng)力學(xué)、分叉和混沌動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，分析了各種參數(shù)對(duì)倍周期分叉的影響及變化規(guī)律.然而上述研究主要針對(duì)沒(méi)有集中質(zhì)量的屈曲梁.而實(shí)際工程中很多梁結(jié)構(gòu)都帶有一個(gè)或者多個(gè)集中質(zhì)量，且集中質(zhì)量的大小和位置會(huì)對(duì)梁的一階頻率，振型以及非線性特性產(chǎn)生重要影響，因此有部分學(xué)者針對(duì)這種帶集中質(zhì)量的梁的非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題開(kāi)展了研究.Ozkaya［6］研究了彈性地基上帶一個(gè)集中質(zhì)量?jī)啥斯潭ǖ奈澢旱臋M向振動(dòng)問(wèn)題，繪出了不同質(zhì)量下的幅頻特性曲線，討論了集中質(zhì)量對(duì)橫向振動(dòng)的影響.Saito［7］采用諧波平衡法研究了帶集中質(zhì)量受橫向簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)支梁的強(qiáng)迫振動(dòng)，討論了集中質(zhì)量的大小和位置對(duì)系統(tǒng)一階頻率的影響.盡管針對(duì)帶集中質(zhì)量梁的非線性振動(dòng)問(wèn)題有部分研究，然而主要研究的是系統(tǒng)的橫向自由振動(dòng)或者強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題，而對(duì)其他方面的研究則較少見(jiàn)到.

本文基于歐拉梁理論，研究了帶一個(gè)集中質(zhì)量一端固定一端夾支受軸向周期激勵(lì)的復(fù)合材料層合屈曲梁的非線性動(dòng)力學(xué)行為，得到了集中質(zhì)量的大小和位置對(duì)系統(tǒng)一階頻率和倍周期分叉解的影響，分析了主共振下系統(tǒng)隨激勵(lì)幅值變化的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，為合理設(shè)計(jì)工程構(gòu)件提供了有益的參考.

1 動(dòng)力學(xué)方程的建立

如圖1所示一端固支一端夾支復(fù)合材料層合梁，梁長(zhǎng)為L(zhǎng)，寬為b，高為h，梁的密度為 ρ0，阻尼系數(shù)為c.梁在夾支端承受如圖所示的軸向周期荷載，其大小為p0-p1cosΩt，其中p0為軸向靜壓力，其值大于臨界屈曲荷載，p1為激勵(lì)幅值，Ω為外激勵(lì)頻率，集中質(zhì)量m1.

圖1 帶集中質(zhì)量屈曲梁模型Fig.1 Themodel of a buckled beam with a lumped mass

由彈性梁理論，任意時(shí)刻內(nèi)各點(diǎn)位移設(shè)為

式中u0，w0分別為梁中面上任意一點(diǎn)位移，u，w則為梁截面水平和豎直方向任意一點(diǎn)位移.

考慮對(duì)稱鋪設(shè)復(fù)合材料層合梁，并定義梁內(nèi)力關(guān)系［8］如下：

其中

Aij為薄膜剛度，Dij為彎曲剛度為第k層彈性剛度.

引入Reissner函數(shù)：

式中B（σij代表彈性體的余能密度，fi為沿坐標(biāo)軸i方向上每單位面積內(nèi)的體力，V為沿坐標(biāo)軸方向上每單位表面積所承受的表面力，Ap為彈性體所占空間，為彈性體表面上面力作用面積.

對(duì)于圖示結(jié)構(gòu)，其內(nèi)力勢(shì)能為

由達(dá)朗貝爾原理，將慣性力-ρ0ui，tt作為分布力，并忽略軸向慣性項(xiàng)，則橫向慣性力產(chǎn)生的外力勢(shì)能

式中x0為集中質(zhì)量在梁上的位置.

不計(jì)梁自重，則阻尼力產(chǎn)生的外力勢(shì)能

由 δΠ＝0得

邊界條件

在x＝l處，力的邊界條件

將式（11）代入式（9）可得運(yùn)動(dòng)微分方程

設(shè)梁的靜位移為ws，將其代入式（12）得

其中為一階臨界屈曲荷載，γ＝為回轉(zhuǎn)半徑.

截取一階屈曲模態(tài)，設(shè)其振型函數(shù)為φ＝（1-，則屈曲梁的總位移為

將式（14）、（15）代入式（12），并在梁全長(zhǎng)范圍內(nèi)進(jìn)行伽遼金積分，可得

式中

引入無(wú)量綱變量

對(duì)式（16）進(jìn)行無(wú)量綱化后得：

其中

2 數(shù)值模擬

對(duì)式（19）進(jìn)行變換得

利用四階龍格—庫(kù)塔法對(duì)式（21）進(jìn)行數(shù)值模擬，可得不同參數(shù)下屈曲梁的非線性動(dòng)力學(xué)特性.

2.1 集中質(zhì)量位置對(duì)系統(tǒng)一階頻率的影響

由式（20）可知，系統(tǒng)的一階頻率受集中質(zhì)量位置和大小的影響，當(dāng)集中質(zhì)量的位置和大小變化時(shí)，系統(tǒng)的一階頻率也會(huì)隨之變化.圖2研究了集中質(zhì)量位置對(duì)系統(tǒng)一階頻率的影響.圖中橫軸為集中質(zhì)量位置與梁跨徑的比值，其值為0到1，縱軸是系統(tǒng)的一階頻率.不難發(fā)現(xiàn)，集中質(zhì)量的位置對(duì)系統(tǒng)一階頻率的影響是關(guān)于梁跨中對(duì)稱分布的，跨中處一階頻率最小，越靠近跨中，系統(tǒng)的一階頻率越小，反之就越大.

圖2 集中質(zhì)量位置與系統(tǒng)一階頻率關(guān)系Fig.2 The relationship between the locations of the lumped mass and the natural frequency

2.2 集中質(zhì)量大小對(duì)系統(tǒng)一階頻率的影響

圖3研究了集中質(zhì)量大小對(duì)系統(tǒng)一階頻率的影響.其中橫軸是集中質(zhì)量與梁的質(zhì)量比值，縱軸為一階頻率.由圖可知，系統(tǒng)的一階頻率隨集中質(zhì)量的增加而逐漸減小，集中質(zhì)量越大，系統(tǒng)的一階頻率越小.

圖3 集中質(zhì)量大小與系統(tǒng)一階頻率關(guān)系Fig.3 The relationship between the sizes of the lumped mass and the natural frequency

2.3 集中質(zhì)量位置對(duì)倍周期分叉的影響

圖4 集中質(zhì)量位置對(duì)倍周期分叉的影響Fig.4 The effect of the locations of the lumped mass on period-doubling bifurcation

由于集中質(zhì)量位置不同，系統(tǒng)的一階頻率和非線性項(xiàng)系數(shù)不同，進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性不同.由四階龍格-庫(kù)塔法求解后，采用頻閃法做龐加萊圖，不斷調(diào)整激勵(lì)幅值，當(dāng)龐加萊圖上恰好出現(xiàn)兩個(gè)點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的激勵(lì)幅值即為倍周期分叉解.圖4研究了集中質(zhì)量位置對(duì)系統(tǒng)倍周期分叉的影響.其中橫軸為集中質(zhì)量相對(duì)梁的位置，縱軸是發(fā)生倍周期分叉時(shí)的外激勵(lì)幅值，取μ＝0.2.由圖可知，集中質(zhì)量的位置對(duì)倍周期分叉的影響關(guān)于ζ0＝0.5對(duì)稱，且跨中最容易發(fā)生倍周期分叉.當(dāng)ζ0≤0.5時(shí)，集中質(zhì)量越靠近跨中，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分叉所需的外激勵(lì)就越小，即倍周期分叉越容易發(fā)生；越過(guò)跨中后，集中質(zhì)量越遠(yuǎn)離跨中，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分叉所需的外激勵(lì)就越大，即倍周期分叉越不容易發(fā)生.此外，當(dāng)集中質(zhì)量離邊界較近時(shí)（ξ0≤0.1），不同集中質(zhì)量下的倍周期分叉解相同，說(shuō)明在此位置下集中質(zhì)量的大小對(duì)系統(tǒng)幾乎沒(méi)有影響，起主導(dǎo)作用的是集中質(zhì)量的位置；當(dāng)0.2≤ξ0≤0.9時(shí)，同一位置處，集中質(zhì)量越大，其倍周期分叉解就越小，表明集中質(zhì)量的大小對(duì)系統(tǒng)也有一定的影響.

2.4 集中質(zhì)量大小對(duì)倍周期分叉影響

圖5采用和圖4相同的方法研究了集中質(zhì)量大小對(duì)系統(tǒng)倍周期分叉的影響.圖中橫軸是集中質(zhì)量與梁的質(zhì)量比值，縱軸為梁發(fā)生倍周期分叉時(shí)外激勵(lì)的幅值，取μ＝0.2.由圖可知，集中質(zhì)量越大，發(fā)生倍周期分叉所需的外激勵(lì)就越小，即倍周期分叉越容易發(fā)生.當(dāng)η≤0.9時(shí)，曲線變化較快，表明集中質(zhì)量對(duì)倍周期分叉的影響較強(qiáng)；η≥1.2時(shí)，曲線變化緩慢，集中質(zhì)量對(duì)倍周期分叉的影響較弱.此外，不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于同一集中質(zhì)量，越靠近跨中，倍周期分叉解就越小，表明集中質(zhì)量的大小和位置對(duì)系統(tǒng)相互影響.

圖5 集中質(zhì)量大小對(duì)倍周期分叉的影響Fig.5 The effect of the sizes of the lumped mass on period-doubling bifurcation

2.5 主共振下激勵(lì)幅值對(duì)非線性特性的影響

當(dāng)外激勵(lì)頻率接近該非自治系統(tǒng)的一階頻率時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)生主共振.圖6是主共振下，激勵(lì)幅值g在1.03到2.8之間變化時(shí)系統(tǒng)的分叉圖.此時(shí)η＝0.1，ζ＝0.5，μ＝0.2，ω＝0.8885＝0.8883.由圖6可以看出，系統(tǒng)經(jīng)歷了周期-混沌-周期的運(yùn)動(dòng)過(guò)程.固定上述參數(shù)，g＝1.05時(shí)，系統(tǒng)做周期運(yùn)動(dòng)；增大g到1.124時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分叉，做2T周期運(yùn)動(dòng)；繼續(xù)增大激勵(lì)幅值，當(dāng)g＝1.312時(shí)出現(xiàn)連續(xù)頻譜，結(jié)合相圖和龐加萊圖可判斷此時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)為混沌，如圖7（a-b）所示；隨后，系統(tǒng)在經(jīng)歷了4T周期運(yùn)動(dòng)及混沌后，逐漸回歸到周期運(yùn)動(dòng).于是，在這一過(guò)程中觀測(cè)到了周期運(yùn)動(dòng)-倍周期分叉-混沌運(yùn)動(dòng)-周期運(yùn)動(dòng).這充分說(shuō)明，通過(guò)控制激勵(lì)幅值，可以控制系統(tǒng)倍周期分叉的產(chǎn)生，從而阻止系統(tǒng)由倍周期分叉進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng).

圖6 軸向激勵(lì)分岔圖Fig.6 The bifurcation of axial excitation

圖7 g＝1.312時(shí)的混沌運(yùn)動(dòng)（a）相圖；（b）龐加萊圖Fig.7 The chaos at g＝1.312，（a）The phase diagram；（b）The Poincare diagram

3 結(jié)論

通過(guò)對(duì)軸向周期激勵(lì)下一端固定一端夾支，帶集中質(zhì)量的屈曲梁的非線性動(dòng)力學(xué)行為的研究，得到了梁隨激勵(lì)幅值變化的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及集中質(zhì)量的大小和位置對(duì)系統(tǒng)一階頻率和倍周期分叉的影響.研究表明，隨著集中質(zhì)量的增大，系統(tǒng)的一階頻率和倍周期分叉解會(huì)逐漸減小；此外，系統(tǒng)的一階頻率和倍周期分叉解隨著集中質(zhì)量與固定端的距離的增加而減小，并且關(guān)于跨中對(duì)稱，跨中處一階頻率最小，且最容易發(fā)生倍周期分叉；隨著激勵(lì)幅值的增大，系統(tǒng)會(huì)經(jīng)歷周期-混沌-周期的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，非線性行為非常豐富.因此，在工程結(jié)構(gòu)中可以通過(guò)控制集中質(zhì)量的大小和位置，調(diào)節(jié)外激勵(lì)幅值，來(lái)改變系統(tǒng)的一階頻率，控制系統(tǒng)倍周期分叉解的產(chǎn)生，阻止由倍周期分叉導(dǎo)致的混沌運(yùn)動(dòng)，從而保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性，達(dá)到合理設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的目的.

1 Tseng W Y，Dugundli J.Nonlinear vibrations of a beam under harmonic excition.ASME.Journal of Applied Mechanics，1971，38（3）：467～476

2 Emam A，Nayfeh A H.On the nonlinear dynamics of a buckled beam subjicted to a primary-resonance excitation.Nonlinear Dynamics，2004，35：1～17

3 Kreider W，Nayfeh A H.Experimental investigation of single-mode responses in a fixed-fixed buckled beam.Nonlinear Dynamics，1998，15：155～177

4 季進(jìn)臣，陳予恕.參激非線性振子不穩(wěn)定區(qū)域的實(shí)驗(yàn)研究.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，1997，10：491～495（Ji JC，Chen Y S.The experimental study on the unstable area of the parameter excited nonlinear oscillator.Journal of Engineering Vibration，1997，10：491～495（in Chinese））

5 姚志剛，張萌，張偉.壓電復(fù)合材料梁的全局分叉、混沌動(dòng)力學(xué)分析.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2011，9（3）：207～213（Yao Z G，Zhang M，Zhang W.Global bifurcation and chaotic dynamics of laminated composite piezoelectric beam.Journal of Dynamics and Control，2011，9（3）：207～213（in Chinese））

6 Ozkaya E，Sarigul M，Boyaci H.Nonlinear transverse vibrations of a slightly curved beam carrying a concentrated mass.Acta Mechanica Sinica，2009，26（6）：871～882

7 Satio H，Sato K，Yutani T.Non-linear forced vibrations of a beam carrying concentrated mass under gravity.Journal of Sound and Vibration，1976，46（4）：515～525

8 傅衣銘.結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)分析.廣州：暨南大學(xué)出版社，1997（Fu Y M.The analysis of nonlinear dynamics of structures.Guangzhou：Jinan University Press，1997（in Chinese） ）