基于二進(jìn)提升格式構(gòu)造具有高階消失矩的二進(jìn)小波濾波器

汪艷麗， 吐爾洪江·阿布都克力木， 陸艷飛

（新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830054）

基于二進(jìn)提升格式構(gòu)造具有高階消失矩的二進(jìn)小波濾波器

汪艷麗， 吐爾洪江·阿布都克力木， 陸艷飛

（新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830054）

文章利用提升格式和對偶二進(jìn)提升格式，分別構(gòu)造出新的具有8階高消失矩的提升二進(jìn)小波濾波器和具有6階高消失矩的對偶提升二進(jìn)小波濾波器。第一步：對Mallat所構(gòu)造的B－樣條二進(jìn)小波（r＝1）進(jìn)行拓展，通過大量的計算，反復(fù)實驗，最后進(jìn)行證明，可以得到構(gòu)造新的B－樣條二進(jìn)小波的方法；第二步：運用上述構(gòu)造二進(jìn)小波的新方法，構(gòu)造出新的B－樣條二進(jìn)小波（r＝2）作為初始二進(jìn)小波濾波器，再基于二進(jìn)提升格式和對偶二進(jìn)提升格式，分別進(jìn)行三次提升，推導(dǎo)出具有有限長、線性相位、高階消失矩的提升二進(jìn)小波濾波器和對偶提升二進(jìn)小波濾波器，而這些提升的二進(jìn)小波濾波器并不能通過Sweldens提升格式進(jìn)行計算獲得，只能有本文所述的二進(jìn)提升格式得到。

高階消失矩；二進(jìn)提升格式；二進(jìn)小波濾波器

小波理論［1］是當(dāng)前數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中一個迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，是在Fourier級數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是繼Fourier變換之后又一新型有效的信號處理工具［2］。由于其同時具有提供時間和頻率分析的能力，因而能有效的從信號中提取信息，通過對尺度因子進(jìn)行平移和伸縮等運算，對信號或函數(shù)進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析（Multiscale Analysis），解決了很多Fourier變換不能解決的困難問題［3］。因而小波在信號處理方面?zhèn)涫荜P(guān)注，小波變換在信號處理領(lǐng)域被認(rèn)為是“最完美的分析手段”［4］。目前，國內(nèi)外已經(jīng)有很多關(guān)于設(shè)計小波濾波器方法的研究［5，6］，小波的應(yīng)用和理論研究緊密地結(jié)合在一起，在信息科技等很多領(lǐng)域都取得了令人矚目的成就［7］。近年來，隨著小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣闊，數(shù)學(xué)研究的專家和學(xué)者們在小波濾波器的設(shè)計方法上取得了非常不錯的成果［8，9］。其中，Sweldens提升格式［10，11］就是設(shè)計小波濾波器方法中的一種，然而，構(gòu)造二進(jìn)小波濾波器卻并不能運用Sweldens提升格式，因為這種提升格式只能構(gòu)造雙正交小波濾波器，對于二進(jìn)小波濾波器的構(gòu)造，這種提升格式也無能為力。因此，本文給出了構(gòu)造B－樣條二進(jìn)小波的新方法以及二進(jìn)提升格式。從新構(gòu)造的（r＝2，m＝1）B－樣條二進(jìn)小波濾波器出發(fā)，分別運用二進(jìn)提升格式和對偶二進(jìn)提升格式，構(gòu)造出新的具有8階高消失矩的提升二進(jìn)小波濾波器和新的具有6階高消失矩的對偶提升二進(jìn)小波濾波器。本文從五方面對構(gòu)造新的二進(jìn)小波濾波器方法進(jìn)行論述：第二部分先給出了構(gòu)造新的B－樣條二進(jìn)小波的方法；第三部分介紹了二進(jìn)提升格式及對偶二進(jìn)提升格式；第四部分分別運用二進(jìn)提升格式和對偶二進(jìn)提升格式，構(gòu)造出新的具有高階消失矩的提升二進(jìn)小波濾波器和對偶提升二進(jìn)小波濾波器；最后，在第五部分進(jìn)行了總結(jié)。本文中推導(dǎo)出的新的提升二進(jìn)小波濾波器和對偶提升二進(jìn)小波濾波器均具有較高的消失矩，而在具體實驗中，小波消失矩的階數(shù)越高，其光滑性就越好，在頻域內(nèi)的衰減性就越快，且其頻譜定域性就越好。

1 B－樣條二進(jìn)小波構(gòu)造的新方法

對B－樣條二進(jìn)小波（Mallat構(gòu)造r＝1）進(jìn)行拓展，得到構(gòu)造新B－樣條二進(jìn)小波的一種方法。

m次B－樣條是I［0，1］與其自身的m+1卷積的平移，其Fourier變換有

那么，由二進(jìn)完全重構(gòu)條件可以推出，

最后，由二尺度方程可以得到新的二進(jìn)小波

2 二進(jìn)提升格式及對偶二進(jìn)提升格式

定義1（二進(jìn)提升格式） 設(shè)初始二進(jìn)小波濾波器為｛hk，gk，｝，那么提升濾波器的系數(shù)由

確定，稱為二進(jìn)提升格式，sm為提升參數(shù)。

定義2（對偶二進(jìn)提升格式） 設(shè)初始二進(jìn)小波濾波器｛hk，gk｝，那么濾波器的系數(shù)由

確定，稱為對偶二進(jìn)提升格式，rm為提升參數(shù)。

定理1 （1）若定義1中的初始分解二進(jìn)小波高通濾波器g的Fourier變換滿足（0）≠0，那么′（0）＝0的充分條件是0）＝（0）（0）。

（2）若初始分解二進(jìn)小波高通濾波器g具有p階消失矩，那么運用定義1提升后的二進(jìn)小波分解高通濾波器（ω）具有至少p+1階消失矩的充分條件是（ω）滿足：

3 新的具有高階消失矩的二進(jìn)小波濾波器的構(gòu)造

設(shè)定r＝2，m＝1構(gòu)造二進(jìn)小波，得到新的二進(jìn)小波濾波器。從新構(gòu)造的（r＝2，m＝1）B－樣條二進(jìn)小波濾波器出發(fā)，分別運用二進(jìn)提升格式和對偶二進(jìn)提升格式，構(gòu)造出新的具有8階高消失矩的提升二進(jìn)小波濾波器和新的具有6階高消失矩的對偶提升二進(jìn)小波濾波器。

3.1 利用定義1構(gòu)造具有8階消失矩的提升二進(jìn)小波濾波器

表1 第一次提升二進(jìn)小波濾波器系數(shù)

表2 第二次提升二進(jìn)小波濾波器系數(shù)

表3 第三次提升二進(jìn)小波濾波器系數(shù)

3.2 利用定義2構(gòu)造具有6階消失矩的提升二進(jìn)小波濾波器

表4 第一次對偶提升二進(jìn)小波濾波器系數(shù)

表5 第二次對偶提升二進(jìn)小波濾波器系數(shù)

表6 第三次對偶提升二進(jìn)小波濾波器系數(shù)

4 結(jié)論

文章研究了基于二進(jìn)提升格式和對偶二進(jìn)提升格式，構(gòu)造具有高階消失矩的二進(jìn)小波濾波器的方法。通過二進(jìn)提升格式，以新構(gòu)造的B－樣條二進(jìn)小波濾波器（r＝2，m＝1）作為初始二進(jìn)小波濾波器，經(jīng)過三次提升，構(gòu)造出新的具有8階消失矩的提升二進(jìn)小波濾波器。再以對偶二進(jìn)提升格式為基礎(chǔ)，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，對初始二進(jìn)小波濾波器進(jìn)行三次提升，經(jīng)過大量復(fù)雜的計算，推導(dǎo)出具有有限長、線性相位、6階高消失矩的對偶提升二進(jìn)小波濾波器。對于提升后的二進(jìn)小波，其光滑性得到了提高，再根據(jù)其平移不變性以及小波變換對信號的適應(yīng)性。接下來，將把提升后的具有高階消失矩的二進(jìn)小波具體應(yīng)用到圖像增強、去噪、壓縮、邊緣檢測，軍事電子對抗與武器的智能化，音樂和語言的人工合成，醫(yī)學(xué)成像與診斷，曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解等領(lǐng)域的研究中，期望新構(gòu)造的二進(jìn)小波濾波器在實際應(yīng)用中取得更好的實用效果。

參考文獻(xiàn)：

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［2］吐爾洪江·阿布都克力木.小波信號處理基礎(chǔ)［M］.北京：北京郵電大學(xué)出版社，2014：4.

［3］Mallat S.信號處理的小波導(dǎo)引［M］.楊力華，戴道清，黃文良等譯.北京：機械工業(yè)出版社，2004：11－12.

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［6］周先國，李開宇.基于提升小波結(jié)合DCT變換的圖像去噪研究［J］.計算機技術(shù)與發(fā)展，2009，（02）：62－65.

［7］吐爾洪江·阿布都克力木.基于自適應(yīng)二進(jìn)小波變換的人臉檢測方法［J］.計算機工程與應(yīng)用，2010，46（18）：149－151.

［8］吐爾洪江·阿布都克力木，阿布都許庫熱·阿布都克力木，張海英.二進(jìn)小波的構(gòu)造方法研究［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2012，28（2）：149－154.

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［10］Sweldnes W.The lifting scheme：A construction of second generation wavelets［J］.SIAM Journal on Mathematical Analysis，1997，29（2）：511－546.

［11］Sweldnes W.The lifting scheme：A new philosophy in biorthogonal wavelet constructions［J］.Proceeding of SPIE，1995，2569（6）：68－79.

Based on the Dyadic Lifting Scheme to Construct Dyadic Wavelet Filter with Higher－order Vanishing Moments

WANG Yan－li， Turghunjan·ABDUKIRIM， LU Yan－fei
（Electrical and Information Engineering Department，Xinjiang Normal University，Urumqi，Xinjiang，830054，China）

Article use lifting scheme and dual binary scheme，respectively constructs the new ascension has high 8 order disappear moment binary wavelet filter and high order 6 disappear moment of dual lifting binary wavelet filter.The first step：To construct Mallat B－spline dyadic wavelet（r＝1）expand，through a lot of calculation，experiment repeatedly，finally proved that can get construct new B－spline dyadic wavelet method；The second step：using the new method of constructing binary wavelet，constructs the new B－spline dyadic wavelet（r＝2）as the initial binary wavelet filter，and then based on the binary scheme and dual binary scheme，ascension for three times，respectively is deduced with limited length，linear phase，high order vanished moments of binary wavelet filter and dual lifting binary wavelet filter，and the ascension of the binary wavelet filter which are not avail?able through promotion Sweldens scheme to calculate，there can only be described in this article the binary scheme for ascension.

Higher－order vanishing moments；Dyadic lifting scheme；Dyadic Wavelet filter

TN713

A

1008?9659（2015）01?0016?06

2014－11－15

國家自然科學(xué)基金資助項目（11261061，61362039，10661010）；新疆維吾爾自治區(qū)自然科學(xué)基金資助項目（200721104）

汪艷麗（1990－），女，河南信陽人，碩士研究生，主要從事小波分析及其應(yīng)用的研究。