可測(cè)集的結(jié)構(gòu)及其應(yīng)用

瑪哈提·胡斯曼

（新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830054）

可測(cè)集的結(jié)構(gòu)及其應(yīng)用

瑪哈提·胡斯曼

（新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830054）

實(shí)變函數(shù)論是微積分的進(jìn)步，其目的是想克服黎曼所建立微積分學(xué)存在的缺點(diǎn)，使得微積分的運(yùn)算更對(duì)稱更完美?？蓽y(cè)集是實(shí)變函數(shù)中基本而重要的概念之一。內(nèi)外測(cè)度相等的有界點(diǎn)集E稱為勒貝格可測(cè)集（簡(jiǎn)稱可測(cè)集）。文章討論可測(cè)集定義的等價(jià)性，性質(zhì)以及可測(cè)集與開(kāi)集，閉集的關(guān)系，用開(kāi)集、閉集，刻畫(huà)出開(kāi)集可以從外部逼近，可測(cè)集、閉集可以從內(nèi)部逼近。

可測(cè)集；開(kāi)集；閉集

實(shí)變函數(shù)論中心問(wèn)題是建立勒貝格積分理論。數(shù)學(xué)分析中考慮函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］上黎曼積分時(shí)，對(duì)區(qū)間進(jìn)行分劃T并作積分和數(shù)，f（ξi）△xi即當(dāng)分劃的細(xì)度｜｜T｜｜→0時(shí)，積分和數(shù)的極限存在且與分化的方法及介點(diǎn)ξi的取法無(wú)關(guān)，就必須要求函數(shù)f在這些小區(qū)間上的函數(shù)值變動(dòng)不大。這表明黎曼可積函數(shù)類太窄，加之黎曼積分存在缺陷。

若交換積分與極限運(yùn)算的條件太苛刻，可積函數(shù)類的充要條件沒(méi)有解決，從而求原函數(shù)的問(wèn)題得不到徹底解決。近代物理與概率論的發(fā)展要求改造黎曼積分，引進(jìn)應(yīng)用更靈活的新積分。考慮不是分劃函數(shù)f（x）的定義域，而且對(duì)函數(shù)的值域R（f）=f（［a，b］）做某種分劃［2］，這樣便能保證函數(shù)在每個(gè)［yi-1，yi］上值的變化不大，記作Εi=［x：x∈［a，b］，yi-1≤f（x）＜yi］則Εi不一定是區(qū)間。則需要通過(guò)對(duì)Εi進(jìn)行某種度量，即必須推廣區(qū)間長(zhǎng)度概念，對(duì)一般的點(diǎn)集建立一種合理的度量，即推廣長(zhǎng)度概念，又必須保留長(zhǎng)度概念的基本性質(zhì)，這就是集合的測(cè)度。

1 零測(cè)度集（簡(jiǎn)稱零集）

零測(cè)度集的概念與黎曼積分的局限性有關(guān)。定義在［a，b］上的非負(fù)函數(shù)f（x），如果可積，則其積分值應(yīng)為曲線y=f（x）的下方圖形的面積。對(duì)于狄利克雷函數(shù)D（x）是勒貝格積分下可積函數(shù)，該面積可理解為一有理數(shù)集為底，高為1的“矩形”的面積，此值就應(yīng)為［0，1］∩Q的“長(zhǎng)度”。在黎曼積分中這種非區(qū)間數(shù)集的“長(zhǎng)度”是沒(méi)有意義.再說(shuō)我們把區(qū)間長(zhǎng)度的概念推廣到一般的集合。設(shè)I=［a，b］為區(qū)間，定義I的長(zhǎng)度為m（I）=b-a，對(duì)單點(diǎn)集a{}有m（a）=m（［a，a］）=0，故單點(diǎn)集的度量（測(cè)度）為零或零測(cè)度集由于有限點(diǎn)集是有限個(gè)單點(diǎn)集之并集，即任何有限點(diǎn)集也是零測(cè)度集。

一般地，如果能把一個(gè)集合分解為有限個(gè)互不相交的區(qū)間之并，則該集合的長(zhǎng)度應(yīng)該等于這幾個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度之和，如果不能把給定的集合分解為一些區(qū)間之并集時(shí)，考慮覆蓋該集合的區(qū)間系。我們考慮由可數(shù)個(gè)區(qū)間構(gòu)成的覆蓋，從這點(diǎn)出發(fā)可給出如下“零測(cè)度集”定義。

2 有界集的測(cè)度

開(kāi)集與閉集的測(cè)度：利用區(qū)間的長(zhǎng)度以及開(kāi)集的構(gòu)造定理引進(jìn)開(kāi)集的測(cè)度概念。

定義2 設(shè)G是非空開(kāi)集G=∪i（αi，βi），（αi，βi）為G的構(gòu)成區(qū)間，

設(shè)F為非空有界閉集，令α=inf｛x：x∈F｝，β=sup｛x：x∈F｝，

因此G0=［α，β］-F，G=（a，b）-F是開(kāi)集，從而有b-a-m（G）=β-α-m（G0）

這表明b-a-m（G）只與F有關(guān)，而與區(qū)間（a，b）的選擇無(wú)關(guān)。

定義3 設(shè)F為非空有界閉集，任取包含F(xiàn)的開(kāi)區(qū)間（a，b），令G=（a，b）-F，則G為開(kāi)集，定義b-a -m（G）為閉集F的測(cè)度。

性質(zhì)1 設(shè)F為有界閉集，G是有界開(kāi)集且F?G，則m（G-F）=mG-mF［4］。

定義4 設(shè)Ε是有界集，定義m?Ε=inf｛mG：G?Ε，G是開(kāi)集｝為外測(cè)度

m?Ε=sup｛mF：Ε?F，F(xiàn)是閉集｝為內(nèi)測(cè)度。

定義5 設(shè)E是有界集，如果m?Ε=m?Ε，則稱Ε是勒貝格可測(cè)集。

3 勒貝格外測(cè)度

零集的概念為我們建立一般集合的“長(zhǎng)度”概念提供了思路。

設(shè)Ε為Rn中任意集合，為定義Ε的“長(zhǎng)度”，使用從Ε的外部包圍Ε的方法。

用一列區(qū)間構(gòu)成的區(qū)間系去覆蓋Ε，這一列區(qū)間的長(zhǎng)度之和為該覆蓋的總長(zhǎng)度。

由于ZΕ是以0為下界的非空集合，故它的下確界是存在的。對(duì)Rn中的任何集Ε，都有外測(cè)度，對(duì)有些集Ε，級(jí)數(shù)m（In）可能對(duì)任何覆蓋都發(fā)散，因此m?Ε可以為∞。

當(dāng)m?Ε＜＋∞時(shí)，對(duì)?ε＞0，必存在一列開(kāi)區(qū)間｛In｝，滿足In?Ε且In｜＜m?Ε＋ε。

勒貝格外測(cè)度除具有單調(diào)性以外還有次可加性和平移不變性。

勒貝格建立的外測(cè)度是定義在Rn的一切子集構(gòu)成的集合類P（R）上的集函數(shù)，它是區(qū)間長(zhǎng)度概念推廣的，盡管它有許多好性質(zhì)并具有次可加性，即集合的外測(cè)度一般不滿足可列可加性，這表明外測(cè)度m?（·）不能作為長(zhǎng)度概念在P（R）上的延伸。希望去掉P（R）中分出一個(gè)子集族，使m?（·）在其上具有可列可加性，這子集族包含足夠廣泛的集合。

4 勒貝格可測(cè)集與勒貝格測(cè)度

在外測(cè)度的基礎(chǔ)上，在Rn中誘導(dǎo)出集族Ω，使在其上m?（·）除滿足外測(cè)度的性質(zhì)外還是可列可加性的。在概率論中，用Α∩Ε，Α∩Εc的概率之和表示事件Α的概率，而對(duì)集合Α，Ε來(lái)說(shuō)m?Α=m?（Α∩Ε）＋m?（Α∩Εc）不一定成立，如果Ε是勒貝格可測(cè)集必有等號(hào)成立，反之亦然，即可測(cè)集的充要條件是等號(hào)成立［3］。

定義7 設(shè)Ε?Rn，如果對(duì)任一集T?Rn，有m?T=m?（T∩Ε）＋m?（T∩Εc），則稱Ε為勒貝格可測(cè)集，即m?Ε=mΕ為集合Ε的勒貝格測(cè)度。

5 主要結(jié)果

定理1 若Ε?Rn有界可測(cè)集滿足m?Ε=m?Ε，則對(duì)?Α?I有m?A=m?（Α∩Ε）＋m?（Α∩Εc）。

證明 由Α=（Α∩Ε）∪（Α∩Εc）得，m?Α≤m?（Α∩Ε）＋m?（Α∩Εc）（1）

反之，由于m?Α=inf｛mG｜Α?G，G為開(kāi)集｝。故由下確界定義，有開(kāi)集G，Α?G?I，使得mG＜m??。?。而G可測(cè)集，所以Gc也可測(cè)集。

由于Ε∩G?G，Εc∩G?Gc，故

有內(nèi)測(cè)度定義知｜I｜=m?Ε＋m?（I-Ε），但是

故（1）和（2）知定理1證畢。

定理2 若mΕ＜∞，則定義5和定義7等價(jià)，即

（1）m?Ε=m?Ε

（2）對(duì)?T?Rn，m?T=m?（T∩Ε）＋m?（T∩Εc）

證明 先證（2）?（1）設(shè)對(duì)?T?Rn，m?T=m?（T∩Ε）＋m?（T∩Εc）

取T為開(kāi)區(qū)間I且使Ε?I，有｜I｜=m?（I∩Ε）＋m?（I∩Εc）=m?Ε＋m?（I-Ε）

從而有m?Ε=｜I｜-m?（I-Ε）=m?Ε

再證（1）?（2）。因Ε是有界集，可取開(kāi)區(qū)間I?Ε，則Ε∩Ic=?

而由定理1，且T∩I?I可得m?（T∩I）=m?（T∩I∩Ε）＋m?（T∩I∩Εc）

故，由I的可測(cè)性，將上述二式相加，得m?T=m?（T∩I）＋m?（T∩Ic）≥m?（T∩Ε）＋m?（T∩Εc）

另外，對(duì)任意集T，有m?T≤m?（T∩Ε）＋m?（T∩Εc），即Ε為可測(cè)集

6 可測(cè)集的結(jié)構(gòu)

勒貝格可測(cè)集的結(jié)構(gòu)雖不像波雷爾集那樣形象和容易把握，但通過(guò)以下的逼近定理可予以刻劃。

定理3［4］（逼近定理）設(shè)Ε?Rn有界集，則

（1）設(shè)Ε可測(cè)?對(duì)?ε＞0，存在開(kāi)集G與閉集F，使得F?Ε?G，且m（G-Ε）＜ε，m（Ε-F）＜ε。

（2）Ε可測(cè)?對(duì)?ε＞0，存在Gδ型集G與Fσ型集F，使得F?Ε?G且m（G-F）=0。

定理4［2］設(shè)Ε?Rn可測(cè)的充要條件是：對(duì)?ε＞0，存在開(kāi)集Ε?G1，Εc?G2，使得m（G1∩G2）＜ε。

這個(gè)逼近定理表明，可測(cè)集可以用包含它的開(kāi)集或含于其內(nèi)的閉集去任意逼近，而且任何勒貝格可測(cè)集與Gδ型或Fσ型集合相比，僅僅相差一個(gè)零測(cè)度集。即用全體Gδ型集或Fσ型集合全體零測(cè)度集，可以構(gòu)造勒貝格可測(cè)集。

全體勒貝格可測(cè)集的集合L（R）是R的冪集P（R）的真子集，這表明一定存在勒貝格不可測(cè)集。

［1］程其襄，等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，2010：56-69.

［2］周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論［M］.北京：北京大學(xué)出版社.

［3］趙靜輝.實(shí)變函數(shù)簡(jiǎn)明教程［M］.華中理工大學(xué)出版社，1996：56-60，72-83.

［4］江澤堅(jiān)，等.實(shí)變函數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，1994：62-76.

［5］趙榮俠，等.測(cè)度與積分［M］.西安電子科技大學(xué)出版社，2002：31-48.

［6］吳炯新，周戈.實(shí)變與泛涵—基本原理與思想方法［M］.廈門(mén)：廈門(mén)大學(xué)出版社，2004.

［7］吳通新，吳卓人，等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析（上）［M］.北京：人民教育出版社，1987.

Discuss the Measurable Set Shallowly the Structure

Mahat·HUSUMAN
（School of Mathematial Scinces，Xinjiang Normal University，Urumqi，Xinjiang，830054，China）

The theory of variable function is the department of infinitesimal calculus，.which makes operation more perfect symmetry of infinitesimal calculus.The purpose of the theory is to overcome the faults of infinitesimal calculus that Riemann established.The measurable set is one of basic and important concepts of variable function. The bounded point set E known as the Lebesgue measurable set（i.e.measurable set）.The present paper discusses the equivalency and the nature of the definition of measurable set.On the other hand，the relationship of the open set and the closed set is also discussed，further more，the paper portrays that open set approach the measurable set from exterior，the closed set may approach the measurable set from the interior.

Measurable set；Open set；Closed set

O174

A

1008?9659（2015）03?052?04

2015-04-29

瑪哈提·胡斯曼（1959-），男，新疆阿勒泰人，副教授，主要從事函數(shù)論方向的研究。