基于壓縮感知理論的時(shí)變信號(hào)壓縮技術(shù)

郭 亮， 高宏力， 黃海鳳， 張?bào)愠?/p>

(西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川成都 610031)

近年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和企業(yè)設(shè)備管理要求的提高，大型機(jī)械設(shè)備的在線監(jiān)測與診斷系統(tǒng)正朝著網(wǎng)絡(luò)化和遠(yuǎn)程化的方向發(fā)展.但是工業(yè)現(xiàn)場采集信號(hào)數(shù)據(jù)量大，且有一定的冗余度，這給網(wǎng)絡(luò)實(shí)時(shí)傳輸帶來一定挑戰(zhàn).另外由于現(xiàn)場工況復(fù)雜和傳感系統(tǒng)自身的原因，采集信號(hào)含有噪聲.所以在傳輸過程中需對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮和去噪處理，無論對(duì)減少傳輸時(shí)所用帶寬還是提高信號(hào)的信噪比都具有重要意義[1].

大部分的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)都是時(shí)變信號(hào)，目前，常用的時(shí)變信號(hào)壓縮方法主要有無損編碼的算術(shù)編碼、霍夫曼編碼和有損編碼的數(shù)據(jù)稀疏化、正交變換、預(yù)測編碼[1-2]等，其中，基于小波變換的數(shù)據(jù)稀疏化壓縮方法是目前較通用的方法，也是效果較好的一種方法[3].小波變換能較好地刻畫信號(hào)的時(shí)頻局部特征，適用于機(jī)械振動(dòng)時(shí)變信號(hào)的壓縮和編碼.由于信號(hào)的壓縮與去噪效果與小波基的選擇有很大的關(guān)系，因此基于小波變換的信號(hào)壓縮和去噪需要有處理信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí)，自適應(yīng)能力不強(qiáng).

壓縮感知是繼小波分析和多尺度集合分析之后，于2006年由Candes等[4-7]提出的一種新的信號(hào)分析理論.其基本思想是:若信號(hào)是稀疏的或者是可壓縮的(或者是在某個(gè)變換域內(nèi)滿足這兩個(gè)條件)，那么信號(hào)可以由測量矩陣將原始信號(hào)變換為低維信號(hào)，再通過重構(gòu)算法優(yōu)化求解得到原始信號(hào).在該理論框架下，信號(hào)采樣和壓縮不取決于信號(hào)帶寬，而取決于信號(hào)本身的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容.壓縮感知理論與傳統(tǒng)的內(nèi)奎斯特采樣定義不同，它提出了將模擬信號(hào)直接采樣壓縮為數(shù)字形式的有效途徑，給信號(hào)采樣方法帶來了一次新的革命[8]，其在圖像壓縮、圖像識(shí)別和圖像去噪[9-11]領(lǐng)域取得了突破性的進(jìn)展.但是，目前應(yīng)用壓縮感知理論進(jìn)行機(jī)械振動(dòng)信號(hào)處理的研究還鮮見報(bào)道[12-13].

針對(duì)上述問題，本文提出了一種基于壓縮感知的時(shí)變信號(hào)壓縮算法(time-varyingsignal compressed algorithm based on compressed sensing，TvCS).該算法以壓縮感知理論為基礎(chǔ)，應(yīng)用有限等距性質(zhì)作為限制條件構(gòu)造稀疏矩陣和測量矩陣，在稀疏矩陣上構(gòu)建壓縮信號(hào)，再通過正交匹配追蹤算法重構(gòu)出原始信號(hào).理論分析和實(shí)驗(yàn)都證明了該算法的有效性和實(shí)用性.

1 壓縮感知理論

在傳統(tǒng)的內(nèi)奎斯特(Nyquist)采樣模式下，

式中:x∈RN為原始信號(hào);yk為采樣點(diǎn);φk為采樣向量(函數(shù))，采樣過程需要滿足fs≥2f，其中fs為采樣頻率，f為原始信號(hào)頻率.

若取M?N，即當(dāng)原始信號(hào)x∈RN在具有一定稀疏性的情況下，測量值的大小遠(yuǎn)小于原始信號(hào)小大，這個(gè)過程稱為壓縮感知:

式中:x∈RN為 k-稀疏原始高維信號(hào);y∈RN為M 維的低維壓縮測量向量;Φ =[φ1，φ2，…，φM]為M×N階測量矩陣，或稱為抽樣矩陣.

但在現(xiàn)實(shí)中，信號(hào)x∈RN并不都具有稀疏性，需要構(gòu)造稀疏矩陣，使信號(hào)在稀疏矩陣ψ空間內(nèi)可以稀疏表示.假設(shè){ψi}∈RN是一組基向量，則任何信號(hào)x∈RN都可以線性表示為

式中:s是 x在 ψ 域的變換向量，si=〈 x，ψi〉=x，ψ=[ψ ，ψ ，…，ψ ]是 N × N 階變換矩陣.12N如果式(3)的線性表示只需不大于K的基向量{ψi}i∈Ω，Ω∈{1，2，…，N}，|Ω| ≤K，可以說變換向量s中最多有K個(gè)非零項(xiàng){si≠0}i∈Ω.

因此，壓縮感知的過程變?yōu)?/p>

式中:Φ為測量矩陣;ψ為稀疏矩陣;s為原始信號(hào);y為壓縮采集信號(hào);θ為測度矩陣.

壓縮感知的信號(hào)重構(gòu)是研究從測量值y∈RN中恢復(fù)出x.該問題在數(shù)學(xué)上是一個(gè)求l0范數(shù)最小化問題:

l0范數(shù)最小化的問題是一個(gè)NP難問題，通常用貪婪方法求解，主要包括匹配追蹤(MP)[7]、正交匹配追蹤(OMP)[9]等，貪婪方法需要的測量數(shù)m較多，而且恢復(fù)精度相對(duì)不高[14].

Candes等提出了受限等距性(restricted isometric property，RIP)的概念[15].對(duì)于任意常數(shù)K=1，2…，矩陣θ的受限等距常數(shù)δk為使式(6)成立的最小數(shù):

式中:s為任意的k-稀疏向量.

若δk?1，則稱測量滿足RIP性質(zhì).當(dāng)測量滿足RIP性質(zhì)時(shí)，可以將重構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為l1范數(shù)最小化.而l1范數(shù)最小化是一個(gè)凸優(yōu)化問題，Lasso[10]、最小角度回歸(LARS)[11]等多種稀疏重構(gòu)算法都可以解決.

2 基于壓縮感知的時(shí)變信號(hào)壓縮

含噪時(shí)變信號(hào)可以由壓縮信號(hào)y表示為

式中:z為隨機(jī)噪聲;x(t)為原始信號(hào).

在機(jī)械振動(dòng)信號(hào)中，原始時(shí)變信號(hào)x(t)在時(shí)域內(nèi)一般是非稀疏的，因此，θ=Φφ.本文算法流程如圖1所示.

圖1 算法流程Fig.1 Flow chart of TvCS algorithm

2.1 基于DFT的稀疏矩陣設(shè)計(jì)

信號(hào)x(t)的稀疏性或可壓縮性是壓縮感知的重要前提[16]，因此，壓縮感知的首要研究任務(wù)就是信號(hào)的稀疏表示.傅里葉變換可以有效地稀疏表示振蕩時(shí)變信號(hào)，離散傅里葉變換(discrete fourier transform，DFT)是傅里葉變換在時(shí)域和頻率都呈離散的形式，將信號(hào)的時(shí)域采樣變換為其DFT的頻率采樣.對(duì)于 N 點(diǎn)序列{x[n]}0≤n≤N，它的離散傅里葉變換為

2.2 測量矩陣設(shè)計(jì)

測量矩陣的設(shè)計(jì)直接影響信號(hào)的壓縮率和信號(hào)的重構(gòu)精度.獨(dú)立同分布地從均值為零、方差為1/M的正態(tài)分布生成測量矩陣 Φ，即 φi∈(0，1/M).由RIP準(zhǔn)則可知，當(dāng)測量數(shù)據(jù)滿足不等式(9)，壓縮信號(hào)能夠完整地被重構(gòu).

式中:M為測量個(gè)數(shù);C為常數(shù);K為稀疏系數(shù);N為原始信號(hào)長度.

2.3 基于Lasso的重構(gòu)算法

因?yàn)樵夹盘?hào)x在稀疏域上具有稀疏性，基于Lasso的信號(hào)重構(gòu)算法可以轉(zhuǎn)化為以下優(yōu)化問題:

式中:γ＞0為正則項(xiàng)參數(shù)，控制重構(gòu)信號(hào) ^x的稀疏度.

由式(10)可知，Lasso參數(shù)估計(jì)是一個(gè)非線性和非可微的函數(shù)，因此很難通過最小二乘法取得準(zhǔn)確解.本文中，采用坐標(biāo)下降(coordinate descent)算法進(jìn)行求解，坐標(biāo)下降算法的思想是在多維變量情況下固定其它所有維向量，僅進(jìn)行一維處理.

2.4 算法設(shè)計(jì)

基于壓縮感知的時(shí)變信號(hào)壓縮與重構(gòu)算法流程有以下幾步:

(1)信號(hào)稀疏:利用DFT矩陣變換原始信號(hào)s，得到原始信號(hào)在DFT矩陣空間內(nèi)的稀疏信號(hào)x;

(2)信號(hào)測量:選擇合適的隨機(jī)測量矩陣Φ，計(jì)算稀疏信號(hào)在測量矩陣下的壓縮表示y=Φx;

(3)信號(hào)重構(gòu):信號(hào)采集過程滿足RIP性質(zhì)，通過Lasso算法重構(gòu)出原始信號(hào)^x;

(4)信號(hào)恢復(fù):在重構(gòu)稀疏信號(hào)^x上乘以DFT稀疏變換矩陣，恢復(fù)出原始信號(hào)^s.

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證提出算法對(duì)時(shí)變信號(hào)的壓縮和去噪性能，本文進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)，分別通過對(duì)時(shí)域稀疏信號(hào)、無噪聲非時(shí)域稀疏信號(hào)和含噪聲非時(shí)域稀疏信號(hào)運(yùn)用小波壓縮方法和TvCS算法進(jìn)行壓縮與重構(gòu)實(shí)驗(yàn)，比較2種方法的壓縮重構(gòu)效果和去噪能力.本文的仿真硬件環(huán)境為AMD 3.0 GHz處理器，內(nèi)存為4 GB，操作系統(tǒng)為Windows7.軟件環(huán)境平臺(tái)為MATLAB R2012a.

3.1 時(shí)域稀疏信號(hào)

機(jī)械裝備中，當(dāng)某個(gè)零件出現(xiàn)松動(dòng)、脫落后將會(huì)產(chǎn)生沖擊信號(hào)，一定條件下，沖擊信號(hào)呈現(xiàn)一定的時(shí)域稀疏性.為研究提出算法對(duì)時(shí)域稀疏時(shí)變信號(hào)的壓縮性能，隨機(jī)生成一個(gè)信號(hào)長度N=512的稀疏信號(hào).由于信號(hào)在時(shí)域是稀疏的，采樣過程中只需測量矩陣對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行采樣，試驗(yàn)中兩種算法的壓縮比均取為50%.小波壓縮重構(gòu)算法采用Morlet小波作為母小波進(jìn)行小波包分解，分解層數(shù)為3層.采用Huffman編碼對(duì)系數(shù)記性編碼.圖2中，f指原始信號(hào)，xp指TvCS算法重構(gòu)信號(hào)，sd指小波壓縮重構(gòu)信號(hào).RMSE1:0.000 025是原始信號(hào)與TvCS算法重構(gòu)信號(hào)之間的均方根誤差，RMSE2:4.502 514是原始信號(hào)與小波壓縮重構(gòu)信號(hào)之間的均方根誤差.試驗(yàn)結(jié)果表明，在同等壓縮比的情況下，TvCS算法的信號(hào)重構(gòu)能力要好于小波壓縮重構(gòu)算法.上文RMSE的計(jì)算式為

圖2 時(shí)域稀疏信號(hào)的壓縮與重構(gòu)Fig.2 Compression and reconstruction of time-domain sparse signal

3.2 非時(shí)域稀疏無噪聲信號(hào)

為更近一步說明本文算法的時(shí)變信號(hào)壓縮能力，選擇非時(shí)域稀疏信號(hào)作為測試信號(hào)，對(duì)提出的算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，測試信號(hào)長度N=102 4.信號(hào)是以3.4和9.1 Hz為基頻的正弦及其各次諧波的線性疊加，表達(dá)式如下:

頻域稀疏信號(hào)的壓縮與重構(gòu)如圖3所示.

由圖3可知，小波壓縮重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)之間的均方根誤差為0.260 2，本文提出算法的均方根誤差為0.142 0.由此可知，對(duì)于非時(shí)域稀疏無噪聲信號(hào)，TvCS算法的信號(hào)重構(gòu)能力要好于小波壓縮重構(gòu)算法.

為研究提出算法壓縮比例對(duì)信號(hào)恢復(fù)的影響，本文進(jìn)行如下對(duì)比實(shí)驗(yàn).在不同的壓縮比下分別測試相應(yīng)重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)的均方根誤差.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示.由圖可知，隨著采樣原子的個(gè)數(shù)增加(壓縮比例減小)，算法的信號(hào)恢復(fù)能力逐漸增強(qiáng).當(dāng)壓縮比例為25%時(shí)，算法的信號(hào)恢復(fù)能力基本趨于穩(wěn)定，RMSE達(dá)到0.25左右.

圖3 頻域稀疏信號(hào)的壓縮與重構(gòu)Fig.3 Compression and reconstruction of frequency-domain sparse signal

圖4 壓縮率與重構(gòu)信號(hào)均方根誤差關(guān)系Fig.4 Relationship between compression rate and RMSE of the reconstructed signal

3.3 非時(shí)域稀疏含噪信號(hào)

工業(yè)現(xiàn)場工況復(fù)雜，采集的數(shù)據(jù)往往是振動(dòng)信號(hào)和噪聲的混合信號(hào)[17].因此，為驗(yàn)證提出的算法對(duì)于含噪聲信號(hào)的壓縮和去噪能力，本文進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證:

在實(shí)驗(yàn)信號(hào)中加入隨機(jī)噪聲z，即信號(hào)表達(dá)式變?yōu)?/p>

式中:z∈N(0，t).在原始信號(hào)有噪聲情況下，壓縮感知的優(yōu)化問題變?yōu)?/p>

式中:ε為誤差項(xiàng).

圖5中，由上至下分別是非時(shí)域稀疏含噪信號(hào)、本文算法壓縮重構(gòu)信號(hào)和小波壓縮重構(gòu)信號(hào).本文提出的算法選取DFT矩陣為稀疏矩陣，隨機(jī)矩陣為測量矩陣，重構(gòu)算法采用基于l1范數(shù)最小化的Lasso算法.信號(hào)長度為N=1 024，稀疏性為256，松弛稀疏為1×10-5.小波壓縮算法中，小波基函數(shù)為Morlet小波，對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行3層分解.選用全局閥值進(jìn)行信號(hào)的壓縮處理，閥值取為40.由圖5可知，在當(dāng)前參數(shù)條件下，本文算法重構(gòu)后的信號(hào)與未加入噪聲的原始信號(hào)之間的RMSE為0.545 1，信噪比(RNS)為 -23.801 1.而小波壓縮重構(gòu)后的信號(hào)與未加入噪聲的原始信號(hào)之間的RMSE 為0.864 3，信噪比 RNS 為 -24.033 3.結(jié)果表明，本文提出的方法相對(duì)于小波重構(gòu)的方法壓縮性能好，并且有較強(qiáng)的去噪能力.

圖5 頻域稀疏含噪信號(hào)的壓縮與重構(gòu)Fig.5 Compression and reconstruction of frequency-domain sparse signal tainted by noise

4 實(shí)驗(yàn)分析

4.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

為進(jìn)一步驗(yàn)證TvCS的有效性和實(shí)用性，在長征718機(jī)床上采集主軸系統(tǒng)正常狀態(tài)振動(dòng)信號(hào)并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖6所示.

圖6 試驗(yàn)平臺(tái)示意圖Fig.6 Schematic of experimental platform

在圖6中，主軸系統(tǒng)前端安裝INV9832型加速度振動(dòng)傳感器，監(jiān)測主軸系統(tǒng)狀態(tài).振動(dòng)信號(hào)經(jīng)過INV1870型調(diào)理儀調(diào)理后，由PCI-1710采集卡采集至工控機(jī).振動(dòng)信號(hào)采樣頻率為10 kHz，采樣持續(xù)時(shí)間20 s.

4.2 算法驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文算法TvCS的有效性，將TvCS與小波壓縮進(jìn)行對(duì)比.圖7分別正常工作狀態(tài)下不同壓縮比的保留能量百分比和均方根誤差的關(guān)系.

圖7 壓縮比與均方根誤差和保留能量百分比關(guān)系Fig.7 Compression rate vs RMSE and energy retention rate

由圖7可以看出，在同樣壓縮比的情況下，TvCS比小波的壓縮效果要好，TvCS更能保障振動(dòng)信號(hào)的質(zhì)量.設(shè)置壓縮比為45%，比較兩種在此壓縮比下的重構(gòu)信號(hào)，如圖8所示.圖8由上至下分別為原始信號(hào)、TvCS壓縮重構(gòu)信號(hào)、小波壓縮重構(gòu)信號(hào).由圖8可以看出，TvCS的重構(gòu)RMSE為4.6×10-6，小波壓縮的重構(gòu) RMSE 為6.6 ×10-6.

圖8 對(duì)主軸振動(dòng)信號(hào)通過不同壓縮算法的重構(gòu)信號(hào)Fig.8 Spindle vibration signals reconstructed by different algorithms

5 結(jié)論

本文以機(jī)械振動(dòng)時(shí)變信號(hào)為研究對(duì)象，以壓縮感知技術(shù)為理論基礎(chǔ)，構(gòu)造了稀疏矩陣和信號(hào)感知矩陣，實(shí)現(xiàn)了原始信號(hào)的壓縮，最后通過優(yōu)化求解的方法對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行重構(gòu).理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的方法對(duì)于時(shí)變信號(hào)具有很好的壓縮能力，并且能夠有效地去除信號(hào)中的噪聲成分.本文算法可應(yīng)用于機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的采集、遠(yuǎn)程傳輸和信號(hào)去噪等工程實(shí)踐.

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