完全保持不同因子交換性的映射

劉艷曉，黃麗

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024）

完全保持不同因子交換性的映射

劉艷曉，黃麗

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024）

刻畫了實(shí)或復(fù)的無限維Banch空間上的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)間完全保持不同因子交換性的一般映射，證明了這樣的映射是同構(gòu)的常數(shù)倍或(復(fù)的情形下)共軛同構(gòu)的常數(shù)倍。

標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù);完全保持問題;不同因子交換;同構(gòu)

1 概述

算子之間的交換關(guān)系在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占有很重要的地位，并且在量子力學(xué)的可觀測量及其譜分析中有重要的應(yīng)用。因而這種關(guān)系在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中被廣泛而深入的研究，與之相關(guān)的一個(gè)概念是兩個(gè)算子按照因子的交換性。對任意的A，B∈A，若對于某個(gè)非零數(shù)ξ，AB=ξBA成立，則算子A和B被稱為是因子交換的。設(shè)A，B是兩個(gè)代數(shù)，Φ∶A→B為一個(gè)映射，ξ，η∈F{0}，若對任意的A，B∈A，AB= ξBA?Φ(A)Φ(B)=ηΦ(B)Φ(A)，則我們說Φ是雙邊保持不同因子交換的。算子代數(shù)或者算子空間上保持因子交換的映射的刻畫問題一直備受關(guān)注，而且人們已經(jīng)獲得了許多深刻的結(jié)果［1-3］。

而完全保持問題對于標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)具有很強(qiáng)的剛性約束，能更恰切地反映同態(tài)映射的本質(zhì)。文獻(xiàn)［4-9］是近年來完全保持問題的一些研究成果，這些結(jié)果表明可逆性，譜函數(shù)，冪等元以及平方零元，斜冪等元，交換性及Jordan零積等都是同構(gòu)或者共軛同構(gòu)。無疑，對該問題的深入研究有望加深對算子空間算子代數(shù)理論的理解，特別是對它們之間內(nèi)在聯(lián)系的理解提供新的途徑。受以上這些文章的啟發(fā)，我們考慮標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上完全保持不同因子交換性的一般映射的刻畫問題。事實(shí)上，我們在文獻(xiàn)［8］中已經(jīng)對ξ=η=±1時(shí)的情形進(jìn)行了刻畫，并且得到交換性及Jordan零積都是同構(gòu)或者共軛同構(gòu)。因此，本文我們主要討論ξ，η∈F{0，1}時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上關(guān)于不同因子ξ，η雙邊完全保持交換性的滿射的刻畫問題。

令X，Y是實(shí)或復(fù)數(shù)域上的無限維的Banach空間，B(X)中包含所有有限秩算子和單位算子的閉子代數(shù)稱為X上的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)。P和I1(X)分別表示B(X)上的所有冪等元集合和秩一冪等元集合。對任意的P，Q∈P，如果PQ=QP=Q，則記作Q≤P.X*表示X的對偶空間，對任意的x∈X，f∈X*，x?f表示由y→(y，f)x定義的一秩算子。令A(yù)，B分別是X和Y上的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)，對每個(gè)正整數(shù)n，我們定義Φn∶A?Mn(F)→B?Mn(F)為Φn((Sij)n×n)→(Φ(Sij))n×n，則如果Φn保不同因子交換性，稱Φ是n-保不同因子交換性的;如果對于每個(gè)正整數(shù)n，Φ是n-保不同因子交換性的，則稱Φ是完全保不同因子交換性的。本文主要考慮B(X)上完全保持不同因子交換性滿射的具體形式。

2 主要結(jié)果和證明

定理令X，Y是實(shí)或復(fù)數(shù)域F上的無限維Banach空間，A，B分別是X和Y上的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)，令Φ∶A→B是一個(gè)滿射，則下列陳述等價(jià):

(1)Φ是雙邊完全保不同因子交換性的映射；(2)Φ是雙邊2-保不同因子交換性的映射；(3)存在有界可逆線性或(復(fù)情形)共軛線性算子A∶X→Y使得:

證明:(3)?(1)?(2)是顯然的，只需證明(2)?(3).

下面假設(shè)Φ是雙邊2-保不同因子交換性的映射。

斷言1Φ是單射。

對任意的T，S∈A，假設(shè)Φ(T)=Φ(S)，有:

將上式中的Φ(T)用Φ(S)代替，得到:

由Φ2是雙邊保持不同因子交換的，得到:

此蘊(yùn)含著T=S.這樣，就證明了Φ是單射，因此是A到B的雙射。

斷言2Φ(0)=0，Φ(I)=cI對某一非零數(shù)c成立。

對任意的T∈A，我們有:

將Φ2應(yīng)用于上面的等式中，得到:

因?yàn)棣恰?，所以由式(2)式得到Φ(0)2=0.由Φ的滿射性，存在某個(gè)T0∈A使得Φ(T0)=I.在式(1)中，令T=T0，得到(1-η)Φ(0)=0，此蘊(yùn)含著Φ(0)=0.

下面證明Φ(I)=cI，對某一非零數(shù)c成立。

對任意的T∈A，

將Φ2應(yīng)用于上面的等式中，有:

同樣，由Φ的滿射性，存在某個(gè)T0∈A使得Φ(T0)=I.在式(3)中，令T=T0，得到(1-η)［Φ(I)+Φ(-I)］=0，此蘊(yùn)含著

將式(4)帶入式(3)，得到Φ(I)Φ(T)= Φ(T)Φ(I).由Φ的單射性，Φ(I)與B中的每一個(gè)算子可交換。因此，存在非零數(shù)c∈F使得Φ(I)=cI.如果必要的話，用c-1Φ來替換Φ，顯然c-1Φ仍然是雙邊2-保不同因子交換性的，故而在后面一直假設(shè)Φ(I)=I.

在證明Φ雙邊保冪等元之前，先證明Φ(-T)= -Φ(T).

這蘊(yùn)含著Φ雙邊保冪等元。

接下來，將證明Φ雙邊保秩一冪等元。

由于Φ2雙邊保不同因子交換性，從而

因此Φ在冪等元集上雙邊保序，Φ雙邊保秩一冪等元。

斷言4存在有界可逆線性或(復(fù)情形)共軛線性算子A∶X→Y使得Φ(P)=APA-1對于任意的P∈I1(X)都成立。

由于對于任意的P，Q∈I1(X)，

由于Φ2雙邊保不同因子交換性，故有PQ= 0?Φ(P)Φ(Q)=0，即，Φ是I1(X)上雙邊保零積的雙射。由文獻(xiàn)［10］可得，存在有界可逆線性或(復(fù)情形)共軛線性算子A∶X→Y使得Φ(P)= APA-1，對任意的P∈I1(X)成立。令Ψ∶A→A-1AA是由Ψ(·)=A-1Φ(·)A定義的雙射，則有Ψ(P)= A-1Φ(P)A=P對于每個(gè)P∈I1(X)都成立。顯然，Ψ2也是雙邊保不同因子交換性的映射。不失一般性，以下可以假設(shè)Φ(P)=P，其中P∈I1(X).

休閑農(nóng)業(yè)融合了農(nóng)村一二三產(chǎn)業(yè)，并且兼具生產(chǎn)、生活、生態(tài)功能，最初是依靠農(nóng)民發(fā)展起來的，但如果單純依靠農(nóng)民自身來發(fā)展，不僅資金問題較難得到解決，規(guī)范化管理也難提上日程，客觀上需要社會資本與農(nóng)民、村集體合作共同發(fā)展。對此，江西贛州定南縣鼓勵(lì)引導(dǎo)農(nóng)民和村集體通過租賃、合作、入股等形式參與鄉(xiāng)村旅游，增強(qiáng)自身“造血”功能；浙江麗水縉云縣試行民宅兩權(quán)分離、資產(chǎn)入股、受益共享機(jī)制，提高了農(nóng)民的財(cái)產(chǎn)性收入。

斷言5Φ(x?f)=λx?f(x?f)對于任意的秩一算子x?f成立，其中λx?f∈F{0}.

對于任意的秩一算子x?f，我們可以找到y(tǒng)∈X，h∈X*使得＜y，h＞=1，則有

將Φ2應(yīng)用于上述等式，得到h∈(ranΦ(x?f))⊥，y∈ker(Φ(x?f)).因此h∈(ran(Φ(x?f)))⊥?h∈{x}⊥，y∈ker(Φ(x?f))?y∈kerf.所以，對于某個(gè)λx?f∈F{0}，得到Φ(x?f)= λx?f(x?f).

斷言6存在映射h∶A→F{0}使Φ(T)= h(T)T得對任意的T∈A成立。

對任意的T，S∈A，

將Φ2應(yīng)用于上式，可得:

對任意的秩一算子x?f，在等式(5)中，令S= x?f，得到λTST(x?f)Φ(T)=λSTΦ(T)(x?f)T，即，λTS(Tx?Φ(T)*f)=λST(Φ(T)x?T*f).由此對于任意的x∈X，Φ(T)x和Tx是線性相關(guān)的。因此，存在某個(gè)非零數(shù)λT使得Φ(T)=λTT成立。我們定義如下一個(gè)泛函h(·)∶A→F{0}，h(0)=1;若T≠0，h(T)=λT，從而Φ(T)=h(T)T，?T∈A.

斷言7對任意的T∈A，h(T)=1.因此Φ(T)=T，對任意的T∈A成立。

因?yàn)棣凳菃紊淝姚?I)=I，所以有h(I)=1= h(0).而且，對任意的P∈P，有Φ(P)=P，因此h(P)=1.

下面，證明h(x?f)=1，對任意的秩一算子x?f成立。

由式(6)，對任意的T，S∈A滿足(TS)2≠0，我們有(h(TS))2=h(T)h(STS).對任意的x∈X，f∈X*，存在y∈X使得x，y線性無關(guān)且＜y，f＞=1.我們可以找到g1，g2∈X*，使得＜x，g1＞=1，＜y，g1＞=0，＜x，g2＞=0，＜y，g2＞=1.令g=g1+ g2，則有＜x，g＞=1，＜y，g＞=1.令T=x?f，S=y?g，其中T，S滿足(TS)2≠0，則有(h(x?g))2=h(x?f)h(y?g).因此，h(x?f)=1.

對任意的T∈A{0}，存在x∈X，f∈X*使得＜Tx，f＞≠0，則1=(h(T(x?f)))2=h(T)h((x?f)T(x?f))=h(T).這樣就完成了(2)?(3)的證明。

對于有限維的情形，我們有如下結(jié)果，省略了它的證明。

命題令Φ∶Mn(F)→Mn(F)(n＞2)是一個(gè)滿射，則下列陳述等價(jià):

(1)Φ雙邊完全保不同因子交換性;

(2)Φ雙邊2-保不同因子交換性;

(3)存在一個(gè)可逆矩陣A∈Mn(F)，非零數(shù)c和一個(gè)自同構(gòu)τ∶F→F使得:

對于任意的T∈Mn(F)成立。這里，對于T= (tij)，Tτ=(τ(tij)).

［1］崔建蓮，侯晉川.保持因子交換性的可加映射［J］.數(shù)學(xué)年刊:A輯，2008，29(5):583-590.

［2］DOLINAR G，KUZMA B.General preservers of quasi-commutativity［J］.Canad J Math，2010，62:758-786.

［3］DOLINAR G，KUZMA B.General preservers of quasi-commutativity on self-adjoint operators［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2010，364(2):567-575.

［4］HOU J，HUANG L.Characterizing isomorphisms in terms of completely preserving invertibility or spectrum［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2009，359(1):81-87.

［5］HOU J，HUANG L.Maps completely preserving idempotents and maps completely preserving square-zero operators［J］.Israel Journal of Mathematics，2010，176(1):363-380.

［6］HUANG L，HOU J.Maps completely preserving spectral functions［J］.Linear Algebra and Its Applications，2011，435(11): 2756-2765.

［7］HUANG L，LIU Y.Maps completely preserving commutativity and maps completely preserving Jordan zero-product［J］.Linear Algebra and its Applications，2014，462:233-249.

［8］黃麗，路召飛，李俊林.標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上完全保斜冪等性的可加映射［J］.中北大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，32(1):71-73.

［9］路召飛，黃麗，李俊林.保持算子乘積譜函數(shù)并零的映射［J］.太原科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，32(1):59-62.

［10］MOLNáR L.Orthogonality preserving transformations on indefinite inner product spaces:generalization of Uhlhorn's version of Wigner's theorem［J］.Journal of Functional Analysis，2002，194(2):248-262.

Maps Completely Preserving Commutativity up to a Factor on Standard Operator Algebras

LIU Yan-xiao，HUANG li
(Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China)

This paper gives a characterization of surjections between A and B which completely preserves commutativity up to a factor in both directions，which shows that every map completely preserving commutativity up to a factor from A onto B is a scalar multiple of either an isomorphism or(in the complex case)a conjugate isomorphism.

standard operator algebras，completely preserver problems，commutativity up to a factor，isomorphisms

O177.1

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2015.03.016

1673-2057(2015)03-0237-04

2014-12-22

劉艷曉(1990-)，女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閳D論及泛函分析。