提升鋼絲繩的縱向振動特性研究

王則，趙子龍，楊曉輝

(太原科技大學應用科學學院，太原 030024）

提升鋼絲繩的縱向振動特性研究

王則，趙子龍，楊曉輝

(太原科技大學應用科學學院，太原 030024）

以礦井提升鋼絲繩為研究對象，將鋼絲繩視為軸向受力和軸向運動的變長度柔索，應用哈密頓原理建立了變長度提升鋼絲繩縱向振動的偏微分方程。利用伽遼金離散化方法將偏微分方程轉化為具有時變系數(shù)的常微分方程。最后，選取礦井提升常用的S型運行狀態(tài)曲線作為輸入?yún)?shù)，對所建立的模型進行仿真和數(shù)值求解。研究結果表明，分布參數(shù)建模能更有效地反映提升鋼絲繩的縱向振動特性，并揭示了提升系統(tǒng)振動加劇的現(xiàn)象。

縱向振動;鋼絲繩;變長度;哈密頓原理

鋼絲繩提升系統(tǒng)廣泛應用在礦機提升機、起重機等工程設備中。Wang等［1-4］將礦井提升鋼絲繩看做離散的質量-阻尼-彈簧系統(tǒng)，研究了礦井提升系統(tǒng)在提升過程的動態(tài)響應問題。Kimura及杜小強等［5-6］研究了鋼絲繩在提升過程中質量、阻尼和剛度等參數(shù)變化的問題。Zhu等［7-8］人研究了末端附加集中質量軸向運動弦線的橫向振動響應和橫向振動穩(wěn)定性的問題，并建立了變長度水平弦線運動的能量表達式和橫向振動微分方程。王亮等［9］建立了變長度柔性梁的橫向振動控制方程，并進行了實驗分析和主動控制研究。然而，在針對礦井提升系統(tǒng)縱向振動的建模大多采用的還是離散化建模的方法，這種建模方法簡單易于計算，也可以滿足大多數(shù)低速礦井提升機設計的精度要求，但是由于鋼絲繩屬于連續(xù)彈性體，當提升系統(tǒng)的高度和速度增加之后，提升過程中系統(tǒng)的質量、長度、和剛度等參數(shù)發(fā)生明顯變化，離散化的建模方法將不能反映連續(xù)體所特有的動態(tài)性能。本文將提升系統(tǒng)鋼絲繩看作變長度運動的柔索，基于廣義哈密頓原理建立了變長度提升鋼絲繩的縱向振動方程，并使用伽遼金離散法和數(shù)值方法對其求解。最終得到系統(tǒng)的響應曲線，為變長度提升系統(tǒng)設計提供理論依據(jù)。

1 提升系統(tǒng)的縱向振動模型

本文的建模基于以下三項假設:

(1)鋼絲繩在運行過程中線密度、橫截面積和彈性模量保持不變;

(2)不考慮鋼絲繩的橫向振動，且縱向振動的變形遠小于鋼絲繩的長度;

(3)忽略鋼絲繩彎曲剛度的影響。

將提升系統(tǒng)簡化為一端附加有集中質量m的變長度縱向運動的柔索。如圖1所示，柔索單位長度質量為ρ，橫截面積為A，彈性模量為E，在運動過程中柔索長度為l(t)，柔索在x(t)處的縱向振動位移為u(x，t)，柔索速度為v(x，t)，柔索的加速度為a(x，t)，:v=且柔索和容器的宏觀運行速度滿足(t).上標“·”表示對時間t求導。選取坐標向下為正。

系統(tǒng)動能為:

圖1 礦井提升系統(tǒng)Fig.1 Mining hoisting system

式中m為容器質量，第一項為容器動能，第二項為鋼絲繩動能。

系統(tǒng)勢能為:

下標x表示對坐標x的偏導數(shù)。式中第一項為系統(tǒng)靜平衡時的勢能，第二項為軸向引起的廣義勢能，第三項為鋼絲繩彈性勢能。P(x，t)為柔索靜平衡狀態(tài)下的軸向靜張力:

系統(tǒng)重力勢能為:

式中，g為重力加速度，Egs為初始重力勢能，u(l，t)為容器的縱向振動位移。

將式(1)、式(2)和式(4)帶入廣義哈密頓原理:

并應用時間邊界條件和幾何邊界條件:

由于δu為獨立變分，故有:

式(5)和式(6)分別是鋼絲繩的振動方程和在x=l(t)處的邊界條件方程。

2 離散化求解

由于鋼絲繩振動的控制方程是偏微分方程，并且邊界方程中的一些參數(shù)是時變的，所以解析法求解十分困難。本文采用廣義伽遼金離散化的方法將鋼絲繩的振動方程離散為常微分方程，再通過數(shù)值方法求解。為方便計算，首先定義一個新獨立變量ξ，對原變量歸一化處理，即ξ=x/l(t).x的時變域變成了ξ的固定域［0，1］.假設方程(5)的解可以表示成如下形式。

式中，qi(t)為廣義坐標，φi(ξ)為模態(tài)函數(shù):

將式(8)帶入振動方程(5)和邊界條件(6)，再乘以(1/)φj(x/l(t))(j=1，2，…，n)，并對x在［0，l(t)］內(nèi)積分，原來的偏微分方程組離散為:

式中，q=［q1(t)，q2(t)，…，qn(t)］T，為廣義坐標向量，M、C、K和F分別為廣義質量、阻尼、剛度和激勵力矢量，其中各元素分別為:

3 算例分析

以礦井鋼絲繩提升系統(tǒng)為例，各參數(shù)選為:

圖2 提升系統(tǒng)速度運行曲線Fig.2 Speed curves of hoisting system

鋼絲繩彈性模量E=100 GPa，橫截面積A= 701.6 mm2，線密度ρ=6.63 kg/m，容器質量m= 6 000 kg，在井口時鋼絲繩的懸垂長度30 m.

運行過程的速度采取S型提升曲線，如圖2所示。將上述參數(shù)帶入方程(9)進行數(shù)值計算，得容器的振動位移、容器的振動加速度和鋼絲繩頂部的張力的變化曲線。圖3為提升系統(tǒng)的提升時系統(tǒng)的動態(tài)特性，圖4為下降時系統(tǒng)的動態(tài)特性。由圖3知，相對于在勻速提升階段，在加速階段，系統(tǒng)的響應振動幅值和鋼絲繩頂部的張力明顯增加。

由圖4知，相對于在勻速下降階段，在制動階段系統(tǒng)的振動幅值和鋼絲繩頂部的張力明顯增加。

比較圖3和圖4可知:鋼絲繩在上升過程中容器的振動位移、振動加速度和鋼絲繩頂部張力的波動幅值明顯比下降過程容器的振動位移和振動加速度和鋼絲繩頂部張力波動幅值大，當采用不同參數(shù)輸入時，結果類似。

當拽引機停止后，系統(tǒng)存在殘余振動。

圖3 提升過程系統(tǒng)的動態(tài)特性Fig.3 Dynamic characteristics of the system on rising process

圖4 下降過程系統(tǒng)的動態(tài)特性Fig.4 The dynamic characteristics of the system during falling process

4 結論

(1)提升過程中:容器振動位移幅值最大達到0.04 m，容器的波動幅值最大達到0.003 m;容器振動加速度最大為0.18 m/s2，最大波動幅值為0.09 m/s2;鋼絲繩頂部的張力最大為88 kN，比相應靜止時張力增加了10%，鋼絲繩頂部張力波動的幅值最大為7 kN.

(2)在下降過程中:容器振動位移幅值最大達到0.38 m，容器的波動幅值不明顯;容器振動加速度最大為0.11 m/s2，最大波動幅值為0.002 m/s2;鋼絲繩頂部的張力最大為88 kN，比相應靜止時張力增加了10%，鋼絲繩頂部張力波動的幅值不明顯。

(3)在提升過程中的加速階段和在下降過程中的制動階段，系統(tǒng)的振動強度明顯增加，這種往復振動的特性將加劇鋼絲繩的磨損，導致鋼絲繩的疲勞。

(4)本文的建模和分析方法可為進一步研究礦井提升系統(tǒng)的振動特性提供了一定的參考價值。

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［3］ROBERTS R.Control of high-rise/high-speed elevator［C］∥ASME.Proceeding of American Control Conference，1998: 3440-3444.

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［8］ZHU W D，NI J，HUANG J.Active control of translating media with arbitrarily varying length［J］.Journal of Vibration and A-coustics，2001，123(7):347-358.

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Study on Longitudinal Vibration Characteristics of Hoisting Rope

WANG Ze，ZHAO Zi-long，YANG Xiao-hui
(College of Applied Science，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China)

Aiming at mine hoisting rope，the wire rope was viewed as soft rope under the axial force and the axial movement.The partial differential equation of longitudinal vibration of hoisting ropes was set up based on Hamilton' s principle.The partial differential equations was turned into ordinary differential equations with time-varying coefficients by using Galerkin discrete method.Finally，selecting S-type running state curve as input parameters，the proposed model was solved and emulated.Research results show that the distributed parameter model can reflect effectively the longitudinal vibration of hoisting ropes，and can reveal the phenomenon of vibration increase.

longitudinal vibration，rope，time-varying length，hamliton principle

TD50

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2015.03.017

1673-2057(2015)03-0241-04

2014-12-08

國家自然科學基金(11372207);山西省自然科學基金(2013011005-3)

王則(1988-)，男，碩士研究生，主要研究方向為材料與結構的動力學行為。