少齒差星輪型減速器的彈性動(dòng)力學(xué)建模與模態(tài)分析

張 俊，郭 凡，謝勝龍

（安徽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002）

少齒差星輪型減速器的彈性動(dòng)力學(xué)建模與模態(tài)分析

張 俊，郭 凡，謝勝龍

（安徽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002）

針對(duì)目前少齒差星輪型減速器在機(jī)械應(yīng)用中行星軸承易燒毀的現(xiàn)象，對(duì)其進(jìn)行力學(xué)分析以尋求解決的途徑。基于子結(jié)構(gòu)綜合思想，將少齒差星輪型減速器劃分為輸出軸子系統(tǒng)、輸入軸子系統(tǒng)、星輪軸子系統(tǒng)和平動(dòng)星輪子系統(tǒng)，運(yùn)用牛頓力學(xué)方法建立各子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。通過(guò)計(jì)入各軸承徑向支承變形、齒輪副嚙合變形以及輸入軸和星輪軸上偏心套的分度誤差和偏心誤差等因素，構(gòu)造系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的變形協(xié)調(diào)條件，并將其與各子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程結(jié)合，構(gòu)建出少齒差星輪型減速器的彈性動(dòng)力學(xué)方程。通過(guò)求解系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的特征值問(wèn)題，可獲得其固有特性。以HJW－18B型星輪減速器為例，基于所建動(dòng)力學(xué)模型對(duì)其進(jìn)行了模態(tài)分析。結(jié)果表明，少齒差星輪型減速器的低階固有頻率遠(yuǎn)高于系統(tǒng)額定輸入轉(zhuǎn)頻，一般不會(huì)引起結(jié)構(gòu)諧振；系統(tǒng)低階模態(tài)對(duì)應(yīng)的振型表現(xiàn)為四類(lèi)子系統(tǒng)的復(fù)合振動(dòng)模式。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)結(jié)果與理論仿真結(jié)果吻合較好，表明所建彈性動(dòng)力學(xué)模型具有較高的計(jì)算精度，可準(zhǔn)確揭示少齒差星輪型減速器的動(dòng)態(tài)特性，從而為后續(xù)的受力分析、強(qiáng)度計(jì)算和結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供準(zhǔn)確的力學(xué)依據(jù)。

少齒差；星輪減速器；彈性動(dòng)力學(xué)；變形協(xié)調(diào)條件；模態(tài)分析

少齒差行星齒輪傳動(dòng)的振動(dòng)與噪聲是影響其可靠性、使用壽命及操作環(huán)境的關(guān)鍵因素［1－2］。圍繞該類(lèi)傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，學(xué)術(shù)界開(kāi)展了廣泛研究，內(nèi)容涉及動(dòng)力學(xué)建模、固有特性分析、動(dòng)態(tài)響應(yīng)求解、振動(dòng)和噪聲抑制等多個(gè)方面。這其中，動(dòng)力學(xué)建模與固有特性分析是進(jìn)行后續(xù)動(dòng)力學(xué)性能研究及減振降噪的理論基礎(chǔ)。

按照建模時(shí)考慮因素和力學(xué)層次的不同，可將少齒差行星齒輪傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)建模方法分為一般剛體力學(xué)方法、彈性靜力學(xué)方法和彈性動(dòng)力學(xué)方法。其中，一般剛體力學(xué)方法將機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件視為剛體，利用靜力平衡條件和力矩平衡條件建立系統(tǒng)的靜力學(xué)方程。應(yīng)海燕等［3-5］相繼采用這種方法研究了三環(huán)減速器、雙曲柄式精密行星傳動(dòng)和星輪減速器的受力問(wèn)題，給出了系統(tǒng)關(guān)鍵零部件的載荷變化曲線。需要指出的是，因少齒差行星齒輪傳動(dòng)中存在虛約束，各構(gòu)件不滿(mǎn)足靜定條件，故采用一般剛體力學(xué)方法無(wú)法準(zhǔn)確求得各構(gòu)件的受力。為此，在開(kāi)展該類(lèi)傳動(dòng)的力學(xué)分析時(shí)，必須計(jì)入盡可能多的影響因素，同時(shí)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)淖冃螀f(xié)調(diào)條件，方可建立能反映系統(tǒng)各環(huán)節(jié)真實(shí)受載狀況的力學(xué)模型。宋軼民等［6］通過(guò)計(jì)入行星軸承和齒輪副的彈性變形，采用彈性靜力學(xué)方法研究了三環(huán)減速器的受力和變形。類(lèi)似地，張俊等［7］通過(guò)計(jì)入高速軸彎曲、環(huán)板拉壓與彎曲、齒輪副、軸承、支承軸扭轉(zhuǎn)等變形，采用力—位移混合法建立了環(huán)板式減速器的彈性準(zhǔn)靜態(tài)模型，并進(jìn)一步分析了系統(tǒng)中各零部件的受力狀況。趙自強(qiáng)等［8－9］在計(jì)入各運(yùn)動(dòng)副處接觸變形的基礎(chǔ)上，通過(guò)建立彈性靜力學(xué)模型相繼研究了一類(lèi)內(nèi)平動(dòng)齒輪機(jī)構(gòu)和星輪減速器的受力問(wèn)題。彈性靜力學(xué)模型雖能在一定程度上反映少齒差傳動(dòng)的受載狀況，但卻無(wú)法揭示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，如固有頻率、振動(dòng)模式等。為明晰傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)機(jī)理，必須建立相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型。楊建明等［10－11］建立了三環(huán)減速器的彈性動(dòng)力學(xué)模型，并依托該模型分析了系統(tǒng)的固有特性和穩(wěn)態(tài)動(dòng)響應(yīng)。在此基礎(chǔ)上，宋軼民等［12－13］進(jìn)一步計(jì)入了環(huán)板和高速軸支承軸承的變形，建立了考慮更多影響因素的少齒差環(huán)板式減速器的動(dòng)力學(xué)模型，相繼分析了相位差120°的三環(huán)減速器和非對(duì)稱(chēng)180°相位差的新型雙環(huán)減速器的動(dòng)態(tài)特性。

相比其他型式的少齒差行星傳動(dòng)，星輪型減速器為實(shí)現(xiàn)功率分流而采用多根星輪軸均布的結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致系統(tǒng)中存在多重虛約束，也使得該類(lèi)傳動(dòng)裝置的動(dòng)力學(xué)分析極具挑戰(zhàn)性。迄今為止，尚未見(jiàn)到少齒差星輪型減速器動(dòng)力學(xué)研究的文獻(xiàn)。有鑒于此，本文將根據(jù)星輪型減速器的傳動(dòng)原理與結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過(guò)計(jì)入軸承和齒輪副的變形以及偏心套誤差等因素，構(gòu)造系統(tǒng)的變形協(xié)調(diào)條件，并結(jié)合動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)法，建立該類(lèi)減速器的彈性動(dòng)力學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步開(kāi)展系統(tǒng)的模態(tài)分析，并將理論分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證所建彈性動(dòng)力學(xué)模型的精確性。論文工作將為后續(xù)的動(dòng)響應(yīng)分析、參數(shù)靈敏度分析、誤差影響分析、動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)與性能優(yōu)化提供理論依據(jù)。

1 彈性動(dòng)力學(xué)建模

不失一般性，以?xún)?nèi)齒輪輸出型星輪減速器為例（見(jiàn)圖1），建立其彈性動(dòng)力學(xué)模型，所用方法同樣適用于其它型式的少齒差星輪型減速器。

為盡可能多地反映系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)本質(zhì)，同時(shí)避免數(shù)學(xué)處理上過(guò)于復(fù)雜，對(duì)實(shí)際系統(tǒng)作如下假設(shè)：

（1）因減速器中各軸的轉(zhuǎn)速均低于1 500 r／min，遠(yuǎn)低于各軸自身的一階臨界轉(zhuǎn)速，且由于星輪減速器結(jié)構(gòu)緊湊，各軸均短而粗，因此將各軸視為剛體，只計(jì)入各軸上支承軸承的彈性變形；

（2）與其他變形環(huán)節(jié)相比，箱體的剛度較大，故忽略箱體軸承座處的變形；

（3）因支撐盤(pán)和各支承軸僅起支承作用，故忽略支撐盤(pán)和各支承軸的變形；

（4）計(jì)入齒輪副的嚙合變形，且嚙合剛度取內(nèi)嚙合齒輪副的時(shí)變嚙合剛度；

（5）各星輪及其組件均相同，各星輪軸按理論角度呈周向均布，但計(jì)入各軸上偏心的制造、安裝誤差；

（6）因少齒差星輪型減速器一般采用漸開(kāi)線直齒輪，其軸向載荷可忽略不計(jì)，故設(shè)定系統(tǒng)中兩相平動(dòng)星輪僅作平面運(yùn)動(dòng)，各軸不發(fā)生軸向竄動(dòng)。

圖1 內(nèi)齒輪輸出型星輪減速器結(jié)構(gòu)圖Fig．1 The structure of spider reducer with ring-gear-output type

為方便建模，采用動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)法，將整個(gè)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)劃分為輸出軸子系統(tǒng)、輸入軸子系統(tǒng)、星輪軸子系統(tǒng)以及平動(dòng)星輪子系統(tǒng)，分別建立各子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。不妨定義如下全局參考坐標(biāo)系O-xyz：以?xún)?nèi)齒輪幾何中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以重力加速度的反方向?yàn)閥軸方向，z軸方向與輸入軸軸線重合并指向輸入端，x軸方向由右手定則確定。

1.1 輸出軸子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

輸出軸子系統(tǒng)由內(nèi)齒輪、法蘭和輸出軸組成。其中，內(nèi)齒輪和法蘭之間通過(guò)螺栓連接，法蘭和輸出軸之間通過(guò)花鍵連接，故可將三者視為一體，其受力情況見(jiàn)圖2。

圖2 輸出軸子系統(tǒng)受力示意圖Fig．2 Force diagram of the output shaft

圖2中，Oo-xyz為輸出軸質(zhì)心處連體坐標(biāo)系；z1、z2為輸出軸質(zhì)心至輸出軸前、后端支承軸承支承點(diǎn)的距離；z3為輸出軸質(zhì)心至輸入軸后端支承軸承支承點(diǎn)的距離；z4、z5為輸出軸質(zhì)心至第1、第2相機(jī)構(gòu)齒輪副中點(diǎn)的距離；go為輸出軸的重量；fox1、foy1，fox2、foy2分別為輸出軸前、后端軸承在x，y方向的支反力；fsx2、fsy2為輸入軸后端軸承x，y方向的支反力；f1′、f2′為內(nèi)齒輪與第1、第2相平動(dòng)星輪的嚙合力。

通過(guò)分析，可建立輸出軸子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

式中：mo，jox，joy，joz分別為輸出軸的質(zhì)量和繞x，y，z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；f′xi，f′yi為嚙合力fi′沿x方向和y方向的分量（i＝1，2，后同）；rb為內(nèi)齒輪的基圓半徑；xo，yo為輸出軸子系統(tǒng)質(zhì)心沿x，y方向的位移；βox，βoy，βoz為輸出軸子系統(tǒng)繞x，y，z軸的角位移。

1.2 輸入軸子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

輸入軸子系統(tǒng)由輸入軸和其上的偏心套組成。由于輸入軸和偏心套之間通過(guò)2個(gè)呈180°對(duì)稱(chēng)布置的鍵連接，故可將二者視為一體，其受力情況見(jiàn)圖3。

圖3中，OI-xyz為輸入軸質(zhì)心處連體坐標(biāo)系；a1，a2為輸入軸質(zhì)心至前、后端支承軸承支承點(diǎn)的距離；a3，a4為輸入軸質(zhì)心至第1、第2相機(jī)構(gòu)偏心套中點(diǎn)的距離；gI為輸入軸的重量；fsx1，fsy1，fsx2，fsy2分別為輸入軸前、后端軸承在x，y方向的支反力；fIxi，fIyi為第i相平動(dòng)星輪上行星軸承在x，y方向的支反力；fexi，feyi為輸入軸在第i相平動(dòng)星輪處的離心力在x，y方向的分量。

圖3 輸入軸子系統(tǒng)受力示意圖Fig．3 Force diagram of the input shaft

類(lèi)似地，可建立輸入軸子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

式中：mI，jIx，jIy為輸入軸的質(zhì)量和繞x，y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及重量；xI、yI，βIx，βIy分別為輸入軸子系統(tǒng)質(zhì)心沿x，y方向的線位移及繞x，y軸的角位移。

1.3 星輪軸子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

不失一般性，僅以第j根星輪軸為例，分析該子系統(tǒng)的受力，其受力情況如圖4所示。

圖4中，Os-xyz為星輪軸質(zhì)心處連體坐標(biāo)系；b1、b2為星輪軸質(zhì)心至輸入軸前、后端支承軸承支承點(diǎn)的距離；b3，b4為星輪軸質(zhì)心至第1、第2相機(jī)構(gòu)偏心套中點(diǎn)的距離；φ1，φ2分別為第1、第2相機(jī)構(gòu)的曲柄轉(zhuǎn)角；gsj為第j根星輪軸的重量；fhx1j，fhy1j，fhx2j，fhy2j分別為第j根星輪軸前、后端軸承在x，y方向的支反力；fsxij，fsyij為第i相平動(dòng)星輪上行星軸承作用于第j根星輪軸上的支反力在x，y方向上的分量；fgxij，fgyij為第j根星輪軸在第i相平動(dòng)星輪處的離心力在x，y方向上的分量。

由受力平衡可導(dǎo)出星輪軸子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

式中，下標(biāo)i，j分別為機(jī)構(gòu)相數(shù)和星輪軸的根數(shù)，且有i＝1，2，j＝1～m（m為星輪軸總根數(shù)）；msj，jsxj，jsyj，jszj為第j根星輪軸的質(zhì)量和繞x，y，z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；xsj，ysj為星輪軸子系統(tǒng)質(zhì)心沿x，y軸方向的位移；βsxj，βsyj，βszj為星輪軸子系統(tǒng)繞x，y，z軸的角位移。

圖4 第j根星輪軸受力示意圖Fig．4 Force diagram of the jthspider shaft

1.4 平動(dòng)星輪子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

不失一般性，僅以第i相機(jī)構(gòu)的平動(dòng)星輪為例，分析該類(lèi)子系統(tǒng)的受力，其受力情況見(jiàn)圖5。

圖5中，Oi為第i相平動(dòng)星輪的理論幾何中心；P為理論嚙合節(jié)點(diǎn)；L為星輪上各星輪軸軸孔的分布半徑；φj為第j根星輪軸的相位角；φi為第i相機(jī)構(gòu)曲柄的轉(zhuǎn)角；Ψi＝π／2－α′+φi，α′為嚙合角；gpi為第i相平動(dòng)星輪的重量；fpi為平動(dòng)星輪的離心力；其他符號(hào)的含義同前。

不難導(dǎo)出星輪子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程如下

式中：xpi、ypi為第i相平動(dòng)星輪的質(zhì)心相對(duì)于其理論位置在x，y方向的位移；θpi為第i相平動(dòng)星輪相對(duì)于其理論位置的轉(zhuǎn)角；mpi、jpzi為第i相平動(dòng)星輪的質(zhì)量、及繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；rbp為平動(dòng)星輪的基圓半徑。

圖5 第i個(gè)平動(dòng)星輪受力示意圖Fig．5 Force diagram of the ithspider gear

1.5 系統(tǒng)變形協(xié)調(diào)條件

（1）輸入軸和星輪軸與平動(dòng)星輪間位移關(guān)系

不失一般性，取第i相機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，其彈性變形見(jiàn)圖6。

圖6 輸入軸和星輪軸處變形協(xié)調(diào)條件Fig．6 Deformations among input，spider shafts and spider gear

圖6中，上半部分表示輸入軸和m根星輪軸構(gòu)成的平行四邊形機(jī)構(gòu)；下半部分中虛線表示機(jī)構(gòu)變形后的實(shí)際位置，實(shí)線為沒(méi)有彈性變形和誤差的理論位置。其中，OIA為機(jī)構(gòu)輸入軸偏心套理論位置，OIO′I為輸入軸在第i相機(jī)構(gòu)處的位移，O′IA2為機(jī)構(gòu)輸入軸偏心套實(shí)際位置，O′IA1為偏心套的徑向誤差，A1A2為偏心套分度誤差，A2A3為平動(dòng)星輪的位移；OsB為機(jī)構(gòu)星輪軸偏心套理論位置，OsO′s為星輪軸在第i相機(jī)構(gòu)處的位移，O′s B2為機(jī)構(gòu)星輪軸偏心套實(shí)際位置，O′sB1為偏心套的徑向誤差，B1B2為偏心套分度誤差，B2B3為平動(dòng)星輪的位移。

由圖6可導(dǎo)出以下變形協(xié)調(diào)關(guān)系式。

（1）輸入軸和平動(dòng)星輪間變形協(xié)調(diào)關(guān)系式

式中：uai為平動(dòng)星輪上輸入軸行星軸承孔的位移，xI為輸入軸質(zhì)心的位移向量，xpi為第i相平動(dòng)星輪質(zhì)心的位移向量，Gi、Hi分別為輸入軸第i相偏心套的偏心誤差和分度誤差，EaI、Eapi為系數(shù)，且有

（2）齒輪副處變形協(xié)調(diào)關(guān)系

以第i相平動(dòng)星輪與內(nèi)齒輪的嚙合為例，說(shuō)明其變形協(xié)調(diào)條件，其位移關(guān)系見(jiàn)圖7。

圖7 平動(dòng)星輪與內(nèi)齒輪嚙合位移示意圖Fig．7 Deformations between spider gear and internal gear

根據(jù)圖7所示位移關(guān)系，可得如下變形協(xié)調(diào)條件

式中：δi為第i相機(jī)構(gòu)內(nèi)嚙合副沿理論嚙合線的相對(duì)位移；xo＝（xo，yo，βox，βoy，βoz）T為輸出軸質(zhì)心的位移向量。

將式（5）～式（7）表征的位移協(xié)調(diào)方程帶入各子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，可得無(wú)阻尼情況下系統(tǒng)的彈性動(dòng)力學(xué)方程如下

式中：m，k分別為組裝后系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，x，f分別為系統(tǒng)的廣義位移列陣和外載荷列陣。各矩陣的表述形式如下：

x＝（xo，xI，xsj，xpi）T，f＝（fo，fI，fsj，fpi）T。篇幅所限，相關(guān)子矩陣的具體元素不再詳列。

2 固有特性分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

式（8）中的廣義特征值問(wèn)題為

求解上述特征值問(wèn)題，即可獲得系統(tǒng)的模態(tài)特性。不失一般性，以江蘇泰隆減速機(jī)股份有限公司的HJW－18B型星輪減速器為例，利用上述模型對(duì)其進(jìn)行固有特性仿真分析。樣機(jī)的基本參數(shù)為：外齒輪齒數(shù)z1＝192，內(nèi)齒輪齒數(shù)z2＝196，齒輪副模數(shù)m＝1．5 mm，齒輪副嚙合角α′＝25°；輸入軸前、后端支承軸承剛度kI1、kI2分別為10 MN／m和20 MN／m；輸入軸行星軸承剛度ka＝30 MN／m，輸出軸前、后端支承軸承剛度ko1、ko2分別為30 MN／m和40 MN／m；星輪軸前、后端支承剛度ks1、ks2均為30 MN／m；星輪軸行星軸承剛度kp1、kp2均為30 MN／m；齒輪副平均綜合嚙合剛度km為300 MN／m。

由式（9）不難計(jì)算出一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)各離散位置處減速器的固有頻率。限于篇幅，僅給出φ1＝0°時(shí)，系統(tǒng)前9階固有頻率及對(duì)應(yīng)的振型描述，其結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 基于理論模型的系統(tǒng)低階模態(tài)特性Tab.1 The theoreticalmodal properties of lower orders of spider reducer

由表1可知，系統(tǒng)低階固有頻率的變化范圍不大，前9階固有頻率的波動(dòng)區(qū)間為［66．2，272．6］Hz。從數(shù)值上判斷，結(jié)構(gòu)尺寸近似的情況下，星輪型減速器的首階固有頻率值和波動(dòng)幅值均小于三環(huán)減速器的頻率值。究其原因，可能是星輪減速器屬于內(nèi)平動(dòng)齒輪機(jī)構(gòu)，其行星軸承的安裝尺寸受星輪尺寸的制約，導(dǎo)致其支承剛度低于外平動(dòng)齒輪構(gòu)型的三環(huán)減速器，從而造成系統(tǒng)低階固有頻率值偏低。盡管如此，系統(tǒng)首階固有頻率值為66．2 Hz，依然遠(yuǎn)高于減速器的輸入轉(zhuǎn)頻（25 Hz，額定轉(zhuǎn)速1 500 r／min），故其輸入轉(zhuǎn)頻一般不會(huì)引起減速器的結(jié)構(gòu)共振。另一方面，從表中可以看出，與星輪減速器低階固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)振型一般表現(xiàn)為各子系統(tǒng)的復(fù)合振動(dòng)模式，區(qū)別僅在于各階振型中某一類(lèi)子系統(tǒng)的振動(dòng)模式占主導(dǎo)地位。

同時(shí)，為直觀起見(jiàn)，圖8示出了系統(tǒng)低階固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)能量分布。圖中，各下標(biāo)的含義為：O表示輸出軸子系統(tǒng)；I表示輸入軸子系統(tǒng)；S1，S2，S3和S4分別表示4根星輪軸子系統(tǒng)；P1和P2分別表示2個(gè)平動(dòng)星輪子系統(tǒng)。為清晰計(jì)，各子系統(tǒng)的模態(tài)能量均作歸一化處理。

圖8 系統(tǒng)各子系統(tǒng)前9階模態(tài)能量圖Fig．8 Themodal energy of the first9 orders of each subsystem

為驗(yàn)證上述少齒差星輪型減速器彈性動(dòng)力學(xué)模型的計(jì)算精度，利用錘擊法進(jìn)行了該樣機(jī)的試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析，其實(shí)驗(yàn)原理和現(xiàn)場(chǎng)照片分別見(jiàn)圖9、圖10。

圖9 實(shí)驗(yàn)原理圖Fig．9 The schematic diagram experimental test

圖11為經(jīng)由LMS Test．Lab數(shù)據(jù)處理后的頻響函數(shù)。虛線為輸入信號(hào)x方向的頻響函數(shù)曲線，實(shí)線為輸出信號(hào)x方向的頻響函數(shù)曲線。

將上述實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)結(jié)果與前文的理論計(jì)算結(jié)果列表對(duì)比，以驗(yàn)證本文所建理論模型的正確性。相關(guān)對(duì)比數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

圖10 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)照片F(xiàn)ig．10 The photo of experimental scene

圖11 星輪減速器頻響函數(shù)曲線Fig．11 The frequency response function curve of Spider Reducer

表2 理論與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果對(duì)比Tab.2 Com parison of theoretical and experimental results

從表2可知，就系統(tǒng)低階固有頻率而言，基于彈性動(dòng)力學(xué)模型的理論分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試的固有頻率結(jié)果在數(shù)值上均較為接近，部分階次的固有頻率甚至幾乎相同。雖然系統(tǒng)第3階固有頻率的誤差較大，但結(jié)合表1的振型描述可知，系統(tǒng)第3階模態(tài)振型主要表現(xiàn)為輸出軸的擺動(dòng)，因輸出軸為懸臂式結(jié)構(gòu)，且輸入軸后端通過(guò)支承軸承安裝于空心結(jié)構(gòu)的輸出軸前端，當(dāng)輸出軸擺動(dòng)時(shí)必然引起輸入軸的附加振動(dòng)。進(jìn)一步分析可知，系統(tǒng)低階固有頻率對(duì)輸入軸支承軸承的剛度變化較為敏感，故如果輸入軸與輸出軸耦合處的支承軸承安裝導(dǎo)致其與理論估算剛度值有出入，則在系統(tǒng)層面將引起較大的計(jì)算誤差。表2中所示的17%計(jì)算誤差很可能由此產(chǎn)生。故總體而言，可以認(rèn)為理論分析結(jié)果與模態(tài)實(shí)驗(yàn)的實(shí)測(cè)結(jié)果吻合較好，從而也表明了本文所建的彈性動(dòng)力學(xué)模型具有較高的計(jì)算精度，可用于后續(xù)的動(dòng)力學(xué)分析及參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3 結(jié) 論

（1）少齒差星輪型減速器的低階固有頻率遠(yuǎn)高于系統(tǒng)的輸入轉(zhuǎn)頻，一般不會(huì)產(chǎn)生因輸入激起的結(jié)構(gòu)共振；

（2）少齒差星輪型減速器的低階固有頻率值比較密集，且系統(tǒng)出現(xiàn)重根，這與其多星輪軸的復(fù)雜結(jié)構(gòu)及多重約束的結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)性有關(guān)。

（3）少齒差星輪型減速器的低階模態(tài)振型較為復(fù)雜，一般表現(xiàn)為各個(gè)子系統(tǒng)的復(fù)合振動(dòng)模式，區(qū)別僅在于各階振型中某一類(lèi)子系統(tǒng)的振動(dòng)模式占主導(dǎo)地位。

（4）基于彈性動(dòng)力學(xué)模型的理論分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)的測(cè)試結(jié)果吻合較好，表明本文建立的少齒差星輪型減速器彈性動(dòng)力學(xué)方程具有較高的精度，可作為后續(xù)動(dòng)態(tài)特性分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)模型。

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Elasto-dynam icmodeling and modal analysis of spider reducer with small tooth number difference

ZHANG Jun，GUO Fan，XIE Sheng-long
（School of Mechanical Engineering，Anhui University of Technology，Ma'an'shan 243032，China）

In order to solve the problems of teeth breakage and premature fatigue of planetary bearings in spider reducers，a methodology of dynamic modeling for spider reducers was proposed and its dynamic characteristics were analyzed．With the substructure synthesis technique，a lumped parameter elasto-dynamicmodel of the spider reducer was established．The transmission system was divided into four subsystems as the input shaft subsystem，output shaft subsystem，spider shaft subsystem and translational spider gear subsystem．The differentialmotion equations of the four subsystemswere derived by using the Newtonian method．The compatibility conditions of the reducer were derived with considering the deflections of bearings and gear pairs and the index and eccentric errors of eccentric sleeves．By combining the compatibility conditions with subsystem motion equations，the governing motion equations of the reducer were formulated．Through the eigenvalue decomposition，themodal properties of the transmission system were analyzed and the lower orders of natural frequencies and corresponding vibration modes were classified．The results show that the lower orders of natural frequencies are far above the rated input rotation frequency of the reducer，so it is not possible to cause structural resonances．Meanwhile，the corresponding vibrationmodes behave as complicated compound vibrationmodes of the four subsystems．To verify the correctness of theoretical analysis，an impact modal test was carried out．The comparison of lower orders of natural frequencies reveals a good match between theoretical and experimental results．From this point of view，it can be concluded that the proposed elasto-dynamicmodel si of satisfactory accuracy，and hence can be used to predict the steady-state dynamic responses of the system．The present research provides a solid fundament for further dynamic design and structural optimization of spider reducers．

small tooth number difference；spider reducer；elasto-dynamics；deformation compatibility condition；modal analysis

TH132．4

A

10．13465／j．cnki．jvs．2015．12．029

國(guó)家自然科學(xué)基金（51375013，50905122）；安徽省自然科學(xué)基金（1208085ME64）

2014－05－10 修改稿收到日期：2014－06－17

張俊 男，博士，教授，碩士生導(dǎo)師，1981年生