基于改進(jìn)粒子群算法的Volterra模型參數(shù)辨識

衛(wèi)曉娟，丁旺才，李寧洲，周學(xué)舟

（蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070）

基于改進(jìn)粒子群算法的Volterra模型參數(shù)辨識

衛(wèi)曉娟，丁旺才，李寧洲，周學(xué)舟

（蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070）

針對非線性系統(tǒng)Volterra泛函級數(shù)模型，結(jié)合混沌優(yōu)化策略和種群多樣性控制思想，提出了一種改進(jìn)粒子群算法，并應(yīng)用于Volterra模型參數(shù)的辨識，將非線性系統(tǒng)的辨識問題轉(zhuǎn)化為高維參數(shù)空間上的優(yōu)化問題。利用混沌序列增加初始種群的多樣性，通過構(gòu)建動態(tài)子群以進(jìn)行協(xié)作尋優(yōu)，且各子群采用不同的參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略，并定義算法收斂性測度以對精英粒子進(jìn)行合理的混沌變異，避免了算法早熟收斂，提高了算法的尋優(yōu)速度和尋優(yōu)精度。仿真實驗中，將該方法與基于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法、遺傳算法、量子粒子群算法的Volterra模型參數(shù)辨識方法相比較，驗證了該辨識方法的有效性和魯棒性。

改進(jìn)粒子群算法；非線性系統(tǒng)；Volterra級數(shù)；系統(tǒng)辨識

Volterra級數(shù)模型由意大利科學(xué)家Volterra提出，它能完全刻畫系統(tǒng)非線性傳遞特性［1］，因此Volterra級數(shù)可以描述一大類非線性現(xiàn)象。對于該模型參數(shù)辨識的研究是利用Volterra級數(shù)模型描述并研究非線性系統(tǒng)動態(tài)特性、并由此監(jiān)測和評估非線性系統(tǒng)健康狀況的關(guān)鍵。

非線性系統(tǒng)Volterra核的辨識實質(zhì)上是一個優(yōu)化問題。目前Volterra模型的辨識方法有傳統(tǒng)的最小二乘算法［2－5］、遺傳算法［6－7］、蟻群算法［8］、量子粒子群算法［9－10］等，但是，最小二乘算法辨識時要求目標(biāo)函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，且采用梯度信息進(jìn)行搜索，容易陷入局部最小，而遺傳算法等智能計算方法雖然克服了傳統(tǒng)辨識算法的相應(yīng)缺點，但在算法結(jié)構(gòu)和優(yōu)化效率上依然有改進(jìn)的余地。

粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是基于生物種群模擬的群體智能優(yōu)化算法［11－12］，具有結(jié)構(gòu)簡單、易于實現(xiàn)等特點［13］。因此，本文把粒子群算法引入到非線性Volterra級數(shù)模型的辨識中，且為了提高算法性能和避免陷入局部極值點，提出了一種改進(jìn)粒子群算法（Improved Particle Swarm Optimization Algo-rithm，IPSO）。IPSO算法在初始化階段以混沌序列初始化種群，增加了初始搜索的遍歷性，進(jìn)化過程中則依據(jù)粒子性能將粒子群劃分為不同子群，且各子群采用不同的參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略，同時定義了算法收斂性測度以便采用混沌變異策略對部分粒子進(jìn)行合理變異，不僅增加了種群的多樣性、避免了算法陷入局部最優(yōu)，而且實現(xiàn)了全局探索和局部開發(fā)能力的平衡，提高了算法的整體尋優(yōu)效率。將IPSO算法應(yīng)用于一個典型的Volterra級數(shù)模型并進(jìn)行仿真實驗，驗證了本文提出的辨識方法的有效性和魯棒性。

1 改進(jìn)粒子群算法

1.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法（Standard Particle Swarm Optimization，SPSO）的核心思想是通過跟蹤粒子當(dāng)前的局部最優(yōu)解和全局最優(yōu)解來更新粒子速度和位置，達(dá)到中止條件時，當(dāng)前全局最優(yōu)解即作為優(yōu)化問題的最優(yōu)解。

假設(shè)粒子群規(guī)模為n，粒子j的速度和位置分別用M維向量Vj和Xj表示，則SPSO算法的進(jìn)化方程為［14］

式中，Vj（t）為粒子j在第t代的速度，Xj（t）為粒子j在第t代的位置，Pj（t）為粒子j在第t代的個體歷史最優(yōu)位置，Pg（t）為粒子群在第t代的歷史最優(yōu)位置，w為慣性權(quán)重，c1為認(rèn)知系數(shù)，c2為社會系數(shù)，r1、r2為各分量在［0，1］之間的M維隨機(jī)向量。Pj（t）和Pg（t）的更新規(guī)則為［14］

式中，f（Pj（t））表示Pj（t）的適應(yīng)值，對于最小化問題而言，適應(yīng)值越小，對應(yīng)的適應(yīng)度越優(yōu)；argmin ｛f（Pj（t））｜j＝1，2，…，n｝表示使f（Pj（t））取最小值的Pj（t），該Pj（t）則作為第t代群體最優(yōu)位置Pg（t）。

1.2 改進(jìn)粒子群算法的改進(jìn)策略

目前大多數(shù)文獻(xiàn)并未考慮按照粒子的性能進(jìn)行參數(shù)調(diào)整［17－19］，從而在一定程度上影響了算法的尋優(yōu)效率；同時，搜索過程中由于粒子群的聚集性，群體多樣性的丟失不可避免，可能陷入局部極值而造成早熟收斂。

基于此，本文提出的IPSO算法的改進(jìn)策略主要體現(xiàn)在三個方面：①粒子群的混沌序列初始化；②根據(jù)粒子性能，在進(jìn)化過程中動態(tài)構(gòu)建精英子群和普通子群，并對各子群采用不同的參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略，以增加種群多樣性、同時實現(xiàn)全局探索和局部開發(fā)能力的平衡；③對部分精英粒子進(jìn)行混沌變異操作。

1.2.1 粒子群的混沌序列初始化

采用混沌序列初始化粒子群，是在不改變PSO算法初始化時所具有的隨機(jī)性本質(zhì)的前提下，利用混沌思想提高種群的多樣性和粒子搜索的遍歷性。文獻(xiàn)［14－16］通過分析指出式（3）所示Tent模型比Logisitic映射具有更好的遍歷性和更高的搜索效率，并驗證了Tent模型在增加種群多樣性及改善算法尋優(yōu)性能方面的有效性。

假設(shè)粒子群規(guī)模為n，變量的維數(shù)為M維。粒子群初始化時，首先隨機(jī)產(chǎn)生一個M維，且每個分量數(shù)值在［0，1］之間的向量T1＝（T11，T12，…，T1M），然后將其代入式（3），經(jīng)過N次（N＞n）迭代產(chǎn)生一個包含N個向量T1，T2，…，Tm，…，TN的混沌序列，再將Tm（m＝1，2，…，N）的各個分量經(jīng)映射xmk＝xkmin+（xkmaxxkmin）Tmk（k＝1，2，…，M）轉(zhuǎn)化到對應(yīng)變量的取值區(qū)間，構(gòu)成包含N個初始粒子的群體，再通過比較這N個粒子的適應(yīng)值，從中選出適應(yīng)值相對較小的n個解作為初始解，此即為粒子群的初始位置。

1.2.2 參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略

（1）子群構(gòu)建

設(shè)X（t）＝｛X1（t），X2（t），…，Xn（t）｝為第t代的群體，f（Xj（t））為Xj（t）的適應(yīng)值，f（Xj（t））越小，粒子適應(yīng)度越優(yōu)（即其性能越優(yōu)）；為了依據(jù)粒子性能構(gòu)建子群，定義群體平均適應(yīng)度為

定義群體最優(yōu)適應(yīng)度為

定義優(yōu)秀子群為

式中，q為優(yōu)秀粒子數(shù)。

定義優(yōu)秀粒子平均適應(yīng)度為

則可構(gòu)建精英子群和普通子群如下：

定義1精英子群 精英子群定義為

式中，s為精英粒子數(shù)。

定義2普通子群 普通子群定義為

式中，p為普通粒子數(shù)。

（2）慣性權(quán)重的自適應(yīng)調(diào)整策略

①精英子群慣性權(quán)重調(diào)整策略

設(shè)wj（t）為粒子j在第t代的慣性權(quán)重。為了說明IPSO中精英子群的wj（t）調(diào)整策略，引入下列定義：

定義3 精英子群最差適應(yīng)度 精英子群最差適應(yīng)度定義為

定義4 精英粒子性能指標(biāo) 精英粒子性能指標(biāo)定義為

式中，Perforj（t）∈［0，1］。精英粒子j在第t代的適應(yīng)度越優(yōu)，Perforj（t）越大，反之，則越小；α的取值根據(jù)實際問題確定。

將Perforj（t）作為精英粒子j在第t代對慣性權(quán)重的影響因子，則精英粒子j在第t代的慣性權(quán)重為

式（7）表明，Perforj（t）越大的精英粒子，全局最優(yōu)出現(xiàn)在其周圍的概率越大，而較小的慣性權(quán)重能增強(qiáng)算法的局部開發(fā)能力，所以wj（t）應(yīng)較小，以便保證這類粒子進(jìn)行局部搜索；反之，Perforj（t）越小，全局最優(yōu)出現(xiàn)在其周圍的概率越小，因較大的慣性權(quán)重能增強(qiáng)算法的全局探索能力，所以wj（t）應(yīng)較大，以便保證這類粒子進(jìn)行全局搜索。

②普通子群慣性權(quán)重調(diào)整策略

IPSO算法中，普通子群按照式（8）調(diào)節(jié)wj（t）。

式中，iter為迭代步數(shù)，max iter為最大迭代步數(shù)。此時，wj（t）隨迭代進(jìn)行按線性規(guī)律遞減。

（3）c1、c2的自適應(yīng)調(diào)整策略

c1和c2的調(diào)整會影響到算法的收斂性能和收斂速度。因此，IPSO算法中，采用式（9）對c1、c2進(jìn)行迭代更新。

式中，j，k表示粒子j的第k維，λ1，λ2為收縮因子，λ1、 λ2∈（0，3），α1、α2為［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)。

按式（9）調(diào)整c1、c2時，對于優(yōu)秀子群，因其比較接近全局最優(yōu)，所以c1應(yīng)較小、c2應(yīng)較大，以加速收斂到全局最優(yōu)，從而提高算法的尋優(yōu)效率和尋優(yōu)精度；而對于普通子群，因其具有良好的全局探索能力，所以應(yīng)使c1較大、c2較小，以擴(kuò)大算法的搜索范圍，防止陷入局部最優(yōu)。

1.2.3 混沌變異策略

（1）算法收斂性測度

為了定量描述粒子群的狀態(tài)，避免盲目變異引起的大量運算以及對算法收斂速度的影響，采用粒子群平均點距作為算法收斂性測度來衡量算法的收斂情況，以便合理進(jìn)行變異操作以擴(kuò)大搜索空間。

定義5 粒子群平均點距 設(shè)群體的平均中心為

（2）混沌變異策略

對粒子速度進(jìn)行變異以使粒子在相應(yīng)進(jìn)化代數(shù)條件下對搜索空間進(jìn)行大范圍的遍歷，當(dāng)算法陷入局部最優(yōu)時，使之能夠跳出局部極值點，進(jìn)入解空間的其它區(qū)域繼續(xù)搜索。

根據(jù)式（3）所示Tent模型迭代產(chǎn)生一個包含若干個向量T1，T2，…的混沌序列，再將Tk的各分量經(jīng)過映射變換至原粒子速度的解空間，得到若干個向量V1，V2，…，以此替代精英子群中按比例選取的精英粒子的速度，即得到變異后該部分粒子的當(dāng)前速度。

2 非線性系統(tǒng)Volterra模型辨識

2.1 Volterra模型描述

對于具有輸入x（k）和輸出y（k）的離散時間非線性動態(tài)系統(tǒng)，可用Volterra級數(shù)將其描述為［9］：

式中，e（k）為截斷誤差。hn（m1，m2，…，mn）為非線性系統(tǒng)的n階Volterra時域核，又稱為廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)（GIRF）。GIRF具有對稱性，且對稱性是唯一的［1］。利用Volterra核的對稱性，可以大大減小利用Volterra級數(shù)模型描述非線性系統(tǒng)所需參數(shù)的數(shù)目，從而可大大減小計算量。

利用前三階Volterra級數(shù)模型即可近似描述很多的實際非線性系統(tǒng)，因此，非線性系統(tǒng)Volterra模型的辨識通常是對其Volterra級數(shù)模型的一階、二階和三階核進(jìn)行辨識［1］。

考慮GIRF的對稱性，根據(jù)式（11），則系統(tǒng)輸出可表述為：

式中，Mi為記憶長度；Mi取適當(dāng)值時，e（k）可充分小，在誤差允許范圍內(nèi)，e（k）可忽略不計；s1（m1）、s2（m1，m2）、s3（m1，m2，m3）由式（13）確定。

若假設(shè)截斷Volterra級數(shù)模型的最高階次為N，定義系統(tǒng)的輸入矩陣為：

式中，L為數(shù)據(jù)長度。則k時刻的輸入（列）向量X（k）可定義為：

式中，e為誤差。

由式（15）可知，基于截斷Volterra級數(shù)模型的非線性系統(tǒng)辨識，就是在已知系統(tǒng)的輸入、輸出序列｛x（k）｝、｛y（k）｝的基礎(chǔ)上求解核向量H。其辨識實質(zhì)上是一個最優(yōu)參數(shù)估計問題。

假設(shè)粒子群規(guī)模為n，將Volterra模型的待估計參數(shù)（核矢量H）作為IPSO算法中的粒子位置，則粒子j的位置用M維向量表示，粒子群的位置可以用矩陣表示。對粒子j而言，算法中控制辨識誤差的適應(yīng)度函數(shù)定義為

式中，L為數(shù)據(jù)長度，j＝1，2，…，n。

通過搜索使適應(yīng)度函數(shù)值（即適應(yīng)值）最小的全局最優(yōu)解Pg，即是Volterra核矢量H的最優(yōu)解H＾。

2.2 Volterra模型辨識流程

利用IPSO算法對形如式（15）所示有限階非線性離散系統(tǒng)的Volterra模型參數(shù)進(jìn)行辨識的算法流程如圖1所示。

圖1 基于IPSO的Volterra模型辨識算法流程圖Fig.1 The identification algorithm of Volterra kernel based on the IPSO

3 Volterra模型辨識測試

作為辨識目標(biāo)的Volterra模型如式（17）所示。

式（17）所示模型的一階、二階和三階核的記憶長度均為3，核向量為：H＝［1.52，－0.55，0.24，0.78，0，0，1.36，－1.18，0，1.25，0，0，－0.88，0，0，0，0，1.06，0］T。

利用本文提出的IPSO算法對式（17）所示三階非線性系統(tǒng)的Volterra模型進(jìn)行辨識，系統(tǒng)的輸入信號為［0，1］之間的均勻白噪聲信號，種群規(guī)模為80，維數(shù)為19，最大進(jìn)化代數(shù)為800，系統(tǒng)辨識的對比測試重復(fù)進(jìn)行20次，結(jié)果取運行20次結(jié)果的平均值。

表1為無噪聲情況下，IPSO算法、SPSO算法、遺傳算法（簡稱GA算法）、量子粒子群算法（簡稱QPSO算法）所得到的Volterra模型參數(shù)的估計值。

為了考察存在噪聲干擾時本文算法的辨識精度和抗噪性能，在輸入、輸出端疊加獨立平穩(wěn)的白噪聲，且輸入輸出信號的信噪比均為20 dB［9］。表2為四種算法測試得到的辨識結(jié)果。

表1 無噪聲干擾下Volterra模型辨識結(jié)果Tab.1 Estimation results of the Volterra model under the free－noise environment

由表1可知，在無噪聲干擾情況下，四種算法均可得到真值的近似值，說明四種算法均可用于Volterra模型參數(shù)的辨識。其中應(yīng)用IPSO算法得到的估計值的平均值更加接近真實值，其辨識精度明顯較高。

由表2亦可看到，在加入噪聲干擾時，IPSO算法得到的估計值的誤差相對較小，顯然噪聲干擾并未對其辨識精度產(chǎn)生影響，體現(xiàn)了IPSO算法具有較強(qiáng)的魯棒抗噪性能。

圖2給出了無噪聲情況下，四種辨識方法分別得到的一階時域核參數(shù)h1（1）、二階時域核參數(shù)h2（1，2）和三階時域核參數(shù)h3（1，2，2）的進(jìn)化曲線；圖3給出了無噪聲情況下，四種辨識方法的平均適應(yīng)度值變化曲線。

從圖中可以看出，IPSO算法的收斂速度明顯快于其他三種算法，雖然其他三種算法最終也能較為準(zhǔn)確地估計出Volterra核參數(shù)的值，但是收斂速度相對較慢；且由圖3可看出，IPSO算法相較SPSO算法而言，其全局探索能力和局部開發(fā)能力都得到了改善，在整個進(jìn)化過程中IPSO算法表現(xiàn)出了較強(qiáng)的持續(xù)尋優(yōu)能力，未陷入局部最優(yōu)，且辨識精度明顯優(yōu)于其他三種算法。

表2 信噪比20 dB時Volterra模型辨識結(jié)果Tab.2 Estimation results of the Volterra m odel（SNR＝20 dB）

圖2 無噪聲時h1（1），h2（1，2），h3（1，2，2）的收斂曲線Fig.2 The evolution curves of the Volterra kernel vector h1（1），h2（1，2），h3（1，2，2）under the free-noise environment

圖3 無噪聲時適應(yīng)度函數(shù)變化曲線Fig.3 The curves of the fitness function under the free-noise environment

圖4給出了信噪比20 dB情況下，四種辨識方法分別得到的一階時域核參數(shù)h1（1）、二階時域核參數(shù)h2（1，2）和三階時域核參數(shù)h3（1，2，2）的進(jìn)化曲線。從圖可以看出，IPSO算法的收斂速度明顯快于其他算法，雖然其他算法最終也能較為準(zhǔn)確地估計出Volterra核參數(shù)的值，但是由于噪聲干擾，收斂速度相對較慢，尤其是SPSO算法的收斂過程波動也較大。

圖4 SNR＝20 dB時h1（1），h2（1，2），h3（1，2，2）的收斂曲線Fig.4 The evolution curves of the Volterra kernel vector h1（1），h2（1，2），h3（1，2，2）（SNR＝20 dB）

綜上所述，IPSO算法的尋優(yōu)性能和效率明顯優(yōu)于SPSO算法和GA算法，且相對于QPSO算法其性能也有一定提高。這主要是因為IPSO算法是在SPSO算法的基礎(chǔ)上經(jīng)過優(yōu)化而來。參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整加快了算法的計算效率，組合混沌策略的引入有效避免了SPSO算法局部收斂與早熟的問題，而SPSO算法早期收斂速度較快，但到尋優(yōu)后期其收斂速度則比較緩慢，這主要是因為算法收斂到局部極小時缺乏有效機(jī)制使算法逃離極小點，從而導(dǎo)致算法在接近或進(jìn)入最優(yōu)點區(qū)域時的收斂速度比較緩慢。因此，相對而言，本文提出的方法在全局優(yōu)化能力和快速收斂能力上都有較大的提高，很好地克服了基于SPSO算法的Volterra模型辨識方法的不足。

4 結(jié) 論

本文將改進(jìn)粒子群算法（IPSO算法）引入到非線性系統(tǒng)Volterra模型參數(shù)的辨識中，并在仿真研究中，將該辨識方法與相應(yīng)的基于SPSO算法、GA算法和QPSO算法的辨識方法進(jìn)行了對比分析。結(jié)果表明，即使在有噪聲干擾的情況下，提出的方法也能得到很好的參數(shù)辨識精度，且收斂過程依然平穩(wěn)，表現(xiàn)出很好的魯棒抗噪性能。與其他三種算法相比，由于本文提出的方法將種群劃分為不同的子群，且不同子群采用相應(yīng)的參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略，并利用混沌變異算子對一定比例的精英個體進(jìn)行變異操作，所以既增加了種群多樣性、又很好地利用了不同粒子分別進(jìn)行全局探索和局部開發(fā)，提高了算法的計算效率。本文提出的IPSO算法及其在非線性系統(tǒng)Volterra模型辨識中的應(yīng)用研究為非線性系統(tǒng)辨識提供了一種新的有效方法，具有重要的理論價值和實際應(yīng)用價值。

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Parametric identification of nonlinear volterra model based on improved PSO algorithm

WEIXiao-juan，DINGWang-cai，LINing-zhou，ZHOU Xue-zhou

（School of Mechatronic Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China）

By combining the particle swarm optimization（PSO）with the chaotic optimization strategy and the control idea of population diversity，an improved particle swarm optimization（IPSO）algorithm was proposed for parametric identification of nonlinear Volterra seriesmodel.The basic idea of themethod was that the problem of nonlinear system identification was converted into an optimization problem in a high-dimensional parameter space.The chaotic optimization strategy was employed to increase the diversity of the initial population.By building dynamic subgroups，the optimization was realized through the collaboration of sub groups.The different adaptive adjustment strategies for control parameters of IPSO were used in subgroups.The convergencemeasure of IPSO was defined to perform the chaoticmutation operation reasonably.So the premature convergence was avoided，the speed and accuracy of IPSO were improved.In simulation tests，the proposed method was compared with Volterra model identification methods based on standard PSO algorithm，the genetic algorithm and the quantum-behaved PSO，respectively.Its effectiveness and robustness were verified.

improved particle swarm optimization algorithm（IPSO）；nonlinear system；Volterra series；system identification

TP18

A

10.13465／j.cnki.jvs.2015.21.019

國家自然科學(xué)基金項目（11162007，11462011）；甘肅省自然科學(xué)基金項目（1308RJZA149）

2014－05－23 修改稿收到日期：2014－08－22

衛(wèi)曉娟女，博士生，副教授，1973年生

丁旺才男，教授，博士生導(dǎo)師，1964年生