齒輪箱振動信號的分數(shù)階時頻譜多重分形特征提取研究

張云強，張培林，吳定海，李 兵

（軍械工程學院車輛與電氣工程系，石家莊 050003）

齒輪箱振動信號的分數(shù)階時頻譜多重分形特征提取研究

張云強，張培林，吳定海，李 兵

（軍械工程學院車輛與電氣工程系，石家莊 050003）

針對齒輪箱振動信號的非線性和非平穩(wěn)性，提出一種基于Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法的分數(shù)階時頻譜多重分形特征提取方法。首先構(gòu)造時頻分辨率較好的分數(shù)階S變換技術(shù)獲取齒輪箱振動信號的分數(shù)階時頻譜；然后針對分數(shù)階時頻譜的特點，設(shè)計出一種Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法，用于提取分數(shù)階時頻譜的多重分形特征參數(shù)。對5種狀態(tài)的齒輪箱振動信號進行了分析和研究，結(jié)果表明齒輪箱振動信號的分數(shù)階時頻譜具有多重分形特性，Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法提取的多重分形特征參數(shù)能有效描述分數(shù)階時頻譜的多重分形特征。

齒輪箱；時頻分析；多重分形；Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法；分數(shù)階S變換

齒輪箱是機械設(shè)備中常用的傳動部件，其振動信號是一種典型的非線性、非平穩(wěn)信號［1－2］。如何提取有效的特征參數(shù)描述不同狀態(tài)的齒輪箱振動信號，從而準確診斷和識別齒輪箱故障，一直是眾多研究人員致力追求的目標。

時頻分析技術(shù)能將信號映射到二維時－頻面內(nèi)，從而有效描述信號的時頻局部特性，是處理非平穩(wěn)信號的主要手段。目前，常用的時頻分析技術(shù)有短時Fourier變換、Wigner-Ville分布、小波變換和S變換等［3－6］。其中S變換是一種較新的時頻分析技術(shù)，雖然克服了短時Fourier變換和小波變換的不足，但是對高頻信號的頻率分辨率較差。分數(shù)階Fourier變換［7］作為Fourier變換的一種推廣，具有良好的時頻旋轉(zhuǎn)特性。為改善S變換對高頻信號的頻率分辨率，從而提高S變換整體的時頻分辨性能，利用分數(shù)階Fourier變換的時頻旋轉(zhuǎn)特性，設(shè)計了一種分數(shù)階S變換，并用于齒輪箱振動信號分析。

分數(shù)階時頻譜雖然能有效地描述信號的非平穩(wěn)特性，但其維數(shù)較高，不能直接用于齒輪箱故障診斷。因此，還需要采用其它理論進一步挖掘分數(shù)階時頻譜中非線性特征，從而提取有效的特征參數(shù)。分形幾何理論是處理非線性信號的有力工具，并有研究表明齒輪箱振動信號具有多重分形特性［2，8］。鑒于此，本文引入多重分形理論提取分數(shù)階時頻譜的特征參數(shù)。典型的多重分形分析方法有小波模極大值法、形態(tài)學覆蓋法和Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法（Q-MSPF）等［2，9－10］，其中QMSPF具有理論簡單、計算復(fù)雜度低等優(yōu)點。由于基于振動信號分析的齒輪箱故障診斷比較關(guān)心的是信號頻率隨時間的變化情況，而不是信號采集的具體時刻，因此分數(shù)階時頻譜的時間和頻率信息具有不同的重要性，提取的特征參數(shù)應(yīng)該具有時間平移不變性和頻率平移敏感性。若將傳統(tǒng)的多重分形分析方法直接應(yīng)用于分數(shù)階時頻譜，所提取的多重分形特征難以滿足上述要求。

因此，本文在采用分數(shù)階S變換獲取齒輪箱振動信號分數(shù)階時頻譜的基礎(chǔ)上，針對分數(shù)階時頻譜的特點，對Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法進行改進，提出一種基于Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法的分數(shù)階時頻譜多重分形特征提取方法，并對5種狀態(tài)的齒輪箱振動信號進行了分析和研究。

1 分數(shù)階S變換

1.1 分數(shù)階Fourier變換和S變換簡介

分數(shù)階Fourier變換作為Fourier變換的廣義形式，可以根據(jù)需要將信號從時域變換到不同的分數(shù)階頻域，表現(xiàn)出良好的時頻旋轉(zhuǎn)特性。信號x（t）的分數(shù)階Fourier變換為［11］

式中，u為分數(shù)階頻率；Ka（t，u）為變換核，表達式為

S變換是近年來提出的一種較新的時頻分析技術(shù)，其時窗寬度隨頻率增大而減小，因而在低頻具有較高的頻率分辨率，在高頻具有較高的時間分辨率。信號x（t）的S變換為［6］

1.2 分數(shù)階S變換定義

為改善S變換對高頻信號的頻率分辨率，從而提高S變換整體的時頻分辨性能，結(jié)合分數(shù)階Fourier變換和S變換，定義分數(shù)階S變換如下

式中，u為分數(shù)階頻率；w（τ－t，u）為高斯窗函數(shù)，表達式為

式中，p為調(diào)整參數(shù)，p∈（0，1］。

由式（4）可知，分數(shù)階S變換的時窗寬度隨分數(shù)階頻率u的變化而改變，因而在分數(shù)階低頻具有較高的頻率分辨率，在分數(shù)階高頻具有較高的時間分辨率，繼承了S變換良好的時頻分辨性能。隨著變換階次a取值的不同，分數(shù)階S變換能將信號變換到不同的分數(shù)階頻域進行時頻分析，從而獲得最佳的時頻分辨性能。當a＝1且p＝1時，分數(shù)階頻域即傳統(tǒng)的頻域，此時分數(shù)階S變換退化為S變換。

2 Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法

2.1 Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法

Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法（Q-MSPF）是一種借助統(tǒng)計學中樣本矩的概念，通過構(gòu)造時間序列的結(jié)構(gòu)方程來進行多重分形分析的方法。對于長度為N的時間序列xi，i＝1，2，…，N，Q-MSPF主要包括以下幾步［10，12］：

式中，q為實數(shù)。如果具有多重分形，Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)滿足以下標度特性

式中，τ（q）為質(zhì)量指數(shù)。對于不同的q值，τ（q）可以利用最小二乘擬合的方法求得。如果τ（q）是q的線性函數(shù)，則時間序列具有單分形特性；否則，時間序列具有多重分形特性。據(jù)此可以判定時間序列是否具有多重分形特性。

（4）按照式（9）對τ（q）進行勒讓德變換得到多重分形奇異譜α（q）和多重分形譜f（α）。

式中，α稱為奇異指數(shù)。對于復(fù)雜的分形體，可以根據(jù)奇異指數(shù)將其劃分為一系列不同的子集。多重分形譜f（α）表示具有相同奇異指數(shù)α值的子集分形維數(shù)，描述了奇異指數(shù)α概率分布情況，是多重分形體不規(guī)則和不均勻程度的一種度量。

2.2 頻率加權(quán)的Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法

由2.1節(jié)介紹可知，Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法很容易從一維信號推廣到二維分數(shù)階時頻譜。但由Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法提取的多重分形特征參數(shù)具有時間和頻率平移不變性，直接應(yīng)用于分數(shù)階時頻譜，不利于齒輪箱故障信號分類和故障診斷。為此，本文提出一種頻率加權(quán)的Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法（Q-WMSPF）。對于分數(shù)階時頻譜FrST（τ，u），Q-WMSPF的主要過程如下：

（2）將FrST′（τ，u）劃分成大小為s×s的子區(qū)域Dij，并按照公式計算各子區(qū)域Dij的概率測度

（3）構(gòu)造頻率加權(quán)的Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)

式中，uij為子區(qū)域Dij的中心頻率。后續(xù)步驟同QMSPF，在此不再贅述。由此得到的多重分形奇異譜和多重分形譜分別稱為加權(quán)多重分形奇異譜和加權(quán)多重分形譜。

3 齒輪箱振動信號分析

本文所用齒輪箱振動信號采自于一個二級傳動齒輪箱，該齒輪箱由兩個直齒輪副組成，齒數(shù)分別為18／91和25／50，輸入軸的轉(zhuǎn)速為1 491 r／min。試驗中模擬并采集了齒輪箱在正常、中間軸齒根裂紋、中間軸齒面磨損、輸出軸齒根裂紋和輸出軸齒面磨損等5種狀態(tài)下的振動信號。采樣頻率和采樣長度分別為6 400 Hz和1 024個點。圖1為5種狀態(tài)下采集到的齒輪箱振動信號波形。

圖1 齒輪箱振動信號Fig.1 Gearbox vibration signals

3.1 齒輪箱振動信號的分數(shù)階時頻譜

對圖1中5種齒輪箱振動信號分別進行分數(shù)階S變換，獲取分數(shù)階時頻譜。對于同種狀態(tài)的齒輪箱振動信號，變換階次a和調(diào)整參數(shù)p取相同值，并且各狀態(tài)對應(yīng)的參數(shù)取值通過多次實驗進行確定。最終，5種信號的分數(shù)階時頻譜如圖2所示，其中各子圖標題后面括號中的數(shù)字分別代表參數(shù)p和a的取值。

由圖2可以看出，不同狀態(tài)的齒輪箱振動信號的分數(shù)階時頻譜具有不同的能量分布，表現(xiàn)出不同的時頻特性。由此可知，采用分數(shù)階S變換獲取的分數(shù)階時頻譜能夠有效描述不同狀態(tài)的齒輪箱振動信號。

圖2 齒輪箱振動信號的分數(shù)階時頻譜Fig.2 The fractional time-frequency spectrums of gearbox vibration signals

3.2 分數(shù)階時頻譜的多重分形特性分析

利用Q-WMSPF研究分數(shù)階時頻譜的多重分形特性，要求Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)Zq（s）與s具有較好的對數(shù)線性關(guān)系。圖3給出了正常和中間軸齒根裂紋狀態(tài)下的分數(shù)階時頻譜對應(yīng)的ln Zq（s）～ln s關(guān)系曲線，其中各子圖從上到下分別為q＝－5，－4，…，4，5對應(yīng)的ln Zq（s）～ln s關(guān)系曲線。

由圖3可以看出，對于不同的權(quán)重因子q，ln Zq（s）與ln s均呈現(xiàn)出良好的線性關(guān)系。因此，可以利用QWMSPF對分數(shù)階時頻譜進行研究。

圖3 ln Zq（s）～ln s關(guān)系曲線Fig.3 The relationship curves of ln Zq（s）～ln s

下面，分別采用Q-WMSPF和Q-MSPF對5種狀態(tài)齒輪箱振動信號的分數(shù)階時頻譜進行研究，結(jié)果如圖4～圖7所示，其中q的取值為－5：0.2：5，每種狀態(tài)的齒輪箱信號包含3個樣本。圖4和圖6是由Q-WMSPF得到的加權(quán)多重分形奇異譜和加權(quán)多重分形譜。圖5和圖7是由Q-MSPF得到的多重分形奇異譜和多重分形譜。

由圖4～圖7可以看出，隨著q絕對值的增大，加權(quán)多重分形譜和多重分形譜的譜值均趨于定值，并且在q絕對值較小的范圍內(nèi)，譜值均隨著q的增大而迅速減小，呈現(xiàn)出類似于反余切曲線的變化趨勢；加權(quán)多重分形譜和多重分形譜均隨著奇異指數(shù)的增大，呈現(xiàn)出倒鉤狀。由此可知，分數(shù)階時頻譜具有多重分形特性，這與齒輪箱振動信號具有多重分形特性是一致的。

圖4 加權(quán)多重分形奇異譜Fig.4 Weightedmultifractal singular spectrums

圖5 多重分形奇異譜Fig.5 Multifractal singular spectrums

圖6 加權(quán)多重分形譜Fig.6 Weighted multifractal spectrums

圖7 多重分形譜Fig.7 Multifractal spectrums

進一步觀察可以發(fā)現(xiàn)，與多重分形奇異譜和多重分形譜相比，加權(quán)多重分形奇異譜和加權(quán)多重分形譜均表現(xiàn)出更好的類間分散性和類內(nèi)聚合性，尤其在權(quán)重因子q較小和奇異指數(shù)α較大時對比十分明顯。因此，相比于Q-MSPF，由Q-WMSPF得到的多重分形奇異譜和多重分形譜具有更好的可區(qū)分性能。

3.3 多重分形特征參數(shù)選擇及性能分析

由多重分形理論可以形成一套描述多重分形體特征參數(shù)集合。常用的多重分形特征參數(shù)有αmax、αmin、 Δα、f（αmin）、f（αmax）、Δf和fmax，其中下標max和min分別代表最大值和最小值，Δα＝αmax－αmin，Δf＝f（αmin）－f（αmax）。根據(jù)圖4～圖7中加權(quán)多重分形奇異譜和加權(quán)多重分形譜的變化情況，本文選擇αmax、Δα、f（αmax）和Δf4個參數(shù)來描述齒輪箱振動信號分數(shù)階時頻譜的多重分形特性。為了便于區(qū)分和敘述，稱Q-WMSPF提取的特征參數(shù)為加權(quán)多重分形特征參數(shù)。

為研究加權(quán)多重分形特征參數(shù)的性能，對圖2所示的5個分數(shù)階時頻譜分別進行0.01 s、0.02 s、0.03 s 和200 Hz、400 Hz、800 Hz的平移處理，然后分別采用Q-WMSPF和Q-MSPF提取以上4個多重分形特征參數(shù)，并對各參數(shù)進行方差分析。5個分數(shù)階時頻譜分析的平均結(jié)果見表1。

表1方差分析結(jié)果表明：①當分數(shù)階時頻譜發(fā)生時間平移時，Q-WMSPF和Q-MSPF提取的特征參數(shù)波動都比較小，在相同的平移幅度下，加權(quán)分形特征參數(shù)的波動小于分形特征參數(shù)的波動。在允許的誤差范圍內(nèi)可以認為兩種方法提取的特征參數(shù)均具有時間平移不變性，并且加權(quán)分多重形特征參數(shù)的平移不變性稍好于多重分形特征參數(shù)。②當分數(shù)階時頻譜發(fā)生頻率平移時，Q-MSPF提取的特征參數(shù)波動很小，而Q-WMSPF提取的特征參數(shù)波動非常大，由此可知多重分形特征參數(shù)具有近似的頻率平移不變性，而加權(quán)多重分形特征參數(shù)具有頻率平移敏感性。

因此，與Q-MSPF相比，Q-WMSPF提取的多重分形特征具有更好的性能。它們受信號采樣的開始時刻影響比較小，同時對不同時刻信號能量分布在頻率軸上的變化比較敏感，更加有利于齒輪箱振動信號分析和故障診斷。

表1 方差分析結(jié)果（×10－4）Tab.1 The variance analysis results（×10－4）

3.4 齒輪箱振動信號分數(shù)階時頻譜特征提取

從齒輪箱振動信號中隨機選取200個樣本，每種狀態(tài)包含40個樣本，在利用分數(shù)階S變換得到分數(shù)階時頻譜的基礎(chǔ)上，分別采用Q-WMSPF和Q-MSPF提取αmax、Δα、f（αmax）和Δf 4個多重分形特征參數(shù)。由αmax、Δα和f（αmax）繪制的箱型圖見圖8，圖中不同符號代表不同狀態(tài)下的齒輪箱振動信號。

圖8 分數(shù)階時頻譜特征提取結(jié)果Fig.8 Feature extraction results of fractional time-frequency spectrums

從圖8可以看出，由于Q-WMSPF通過分數(shù)階時頻譜子區(qū)域中心頻率加權(quán)的方式構(gòu)造了Q階矩結(jié)構(gòu)函數(shù)，所提特征參數(shù)具有時間平移不變性和頻率平移敏感性，導(dǎo)致加權(quán)多重分形特征參數(shù)表現(xiàn)出比多重分形特征參數(shù)更好的類內(nèi)聚合性和類間分散性。由此可知，Q-WMSPF提取的多重分形特征參數(shù)能更好地描述齒輪箱振動信號的分數(shù)階時頻譜的多重分形特征，因而是齒輪箱振動信號的一類新的有效特征參數(shù)。

4 結(jié) 論

針對非線性、非平穩(wěn)的齒輪箱振動信號，本文提出了一種基于Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法的分數(shù)階時頻譜多重分形特征提取方法。通過構(gòu)造分數(shù)階S變換獲取齒輪箱振動信號的分數(shù)階時頻譜，而后采用Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法提取分數(shù)階時頻譜的多重分形特征。齒輪箱振動信號研究結(jié)果表明：由于分數(shù)階S變換結(jié)合了分數(shù)階Fourier變換和S變換的優(yōu)點，分數(shù)階時頻譜可以很好地表達齒輪箱振動信號的時頻局部特性；齒輪箱振動信號的分數(shù)階時頻譜具有明顯的多重分形特性；相比于Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法，Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法提取的多重分形特征參數(shù)具有時間平移不變性和頻率平移敏感性，能更有效地描述分數(shù)階時頻譜的多重分形特性。

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M ultifractal feature extraction for fractional time-frequency spectra of gearbox vibration signals

ZHANG Yun-qiang，ZHANG Pei-lin，WU Ding-hai，LIBing

（Department of Vehicle and Electrical Engineering，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China）

For the nonlinearity and nonstationarity of gearbox vibration signals，a multifractal feature extraction approach for their fractional time-frequency spectra based on a Qth order weighted moment structure partition function method was proposed.A fractional S transformation with better time-frequency resolution was firstly constructed to obtain fractional time-frequency spectra of gearbox vibration signals.Then，aiming at the characteristics of fractional timefrequency spectra，a Qth order weighted moment structure partition function method was designed to extractmultifractal features of the fractional time-frequency spectra.The gearbox vibration signals under five stateswere analyzed.The results indicated that the fractional time-frequency spectra of gearbox vibration signals have the multifractal features，and the extracted multifractal features using the Qth orderweightedmoment structure partition functionmethod canmore effectively describe themultifractal characteristics of fractional time-frequency spectra.

gearbox；time-frequency analysis；multifractal；Qth order weighted moment structure partition function method；fractional S transformation

TH113；TK411

A

10.13465／j.cnki.jvs.2015.21.014

國家自然科學基金資助項目（E51205405，51305454）

2014－06－30 修改稿收到日期：2014－11－06

張云強男，博士生，1987年9月生

張培林男，教授，博士生導(dǎo)師，1955年12月生