基于多重分形理論與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的齒輪故障診斷

褚青青，肖 涵，呂 勇，楊志武

（武漢科技大學(xué)機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430081）

基于多重分形理論與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的齒輪故障診斷

褚青青，肖 涵，呂 勇，楊志武

（武漢科技大學(xué)機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430081）

針對(duì)齒輪故障振動(dòng)信號(hào)具有多重分形特征，提出多重分形與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的機(jī)械故障診斷方法。采用多重分形理論計(jì)算出振動(dòng)時(shí)間序列的多分形譜f（α）和廣義分形維數(shù)D（q），并將多分形譜能和廣義分形維數(shù)譜能作為特征量，構(gòu)成二維特征向量。將該特征向量作為概率神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入?yún)⒘浚瑢?duì)采自齒輪故障臺(tái)的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行故障分類。作為對(duì)比，將關(guān)聯(lián)維數(shù)作為特征量輸入同樣參數(shù)的概率神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并進(jìn)行故障識(shí)別，結(jié)果表明，所提出的方法具有更高的識(shí)別率。

多重分形理論；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；多分形譜；廣義分形維數(shù)

廣泛應(yīng)用于各種機(jī)械設(shè)備中的齒輪一旦出現(xiàn)故障，會(huì)引起機(jī)械設(shè)備無(wú)法正常工作，造成嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失甚至威脅到人的生命安全。齒輪振動(dòng)信號(hào)的故障診斷方法已經(jīng)有很多［1－2］，如常見(jiàn)的時(shí)頻域分析，譜分析，傅里葉變換等。但齒輪振動(dòng)信號(hào)所具有的非平穩(wěn)、非線性特征往往導(dǎo)致在提取其頻譜中的特征頻率時(shí)出現(xiàn)困難［3］，無(wú)法準(zhǔn)確反映信號(hào)的非線性特征。分形理論被證明是刻畫(huà)非平穩(wěn)時(shí)間序列的長(zhǎng)程相關(guān)性的可靠方法之一［4］，研究表明，齒輪振動(dòng)信號(hào)具有分形特性，這種分形特征為齒輪的故障診斷提供了一種有效的特征描述方法，利用分形方法可以較準(zhǔn)確地提取非線性振動(dòng)信號(hào)的特征。很多學(xué)者應(yīng)用單分形理論提取振動(dòng)信號(hào)特征并用于故障診斷，但單分形分析只能反映振動(dòng)時(shí)間序列的整體信息，對(duì)信號(hào)的局部特征刻畫(huà)不足。多分形不僅反映序列的整體信息，而且能夠清楚地展示出其局部信息，進(jìn)而對(duì)復(fù)雜的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行準(zhǔn)確描述［5－6］。

對(duì)于大多數(shù)客觀存在的分形物體而言，僅用一個(gè)分形維數(shù)并不能完全刻畫(huà)其結(jié)構(gòu)。Grassberger系統(tǒng)提出多重分形理論，用廣義分形維數(shù)和多重分形譜來(lái)描述分形客體，考慮了分形客體在分形支集的空間奇異性分布，因而在湍流、地震、圖像處理等幾乎所有涉及分形的領(lǐng)域迅速發(fā)展，并得到廣泛應(yīng)用［4－5，7］。多重分形譜能夠反映整個(gè)分形結(jié)構(gòu)上概率測(cè)度分布的比例、不均勻程度，能夠全面描述振動(dòng)信號(hào)的波動(dòng)程度以及振動(dòng)劇烈程度［8］。

多分形譜參數(shù)［5，9］，形態(tài)學(xué)分形維［10］，廣義分形維數(shù)［11－13］等可以清晰地反映出振動(dòng)信號(hào)的故障特征，洪時(shí)中等［7－8］指出多重分形譜參數(shù)和廣義分形維數(shù)可以表征故障特征，但這些研究?jī)H指出齒輪振動(dòng)信號(hào)具有多分形特征，并未針對(duì)這一特征提出對(duì)應(yīng)的診斷方法。由于實(shí)測(cè)信號(hào)中的噪聲對(duì)分形維數(shù)的影響較大，為得到精確可靠的分形維數(shù)，必須先對(duì)實(shí)測(cè)的齒輪振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行降噪處理［3，10］。首先將信號(hào)進(jìn)行EMD降噪處理，然后采用多分形理論與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的方法對(duì)齒輪故障狀態(tài)進(jìn)行分類，并用實(shí)驗(yàn)來(lái)證實(shí)提出方法的可行性和有效性。

1 多重分形譜算法

多重分形奇異譜最先由Halsey等［4］給出，經(jīng)過(guò)刻畫(huà)定義于分形集上的歸一化測(cè)度的奇異特性來(lái)研究其標(biāo)度性。分布的奇異性由兩個(gè)指數(shù)來(lái)刻畫(huà)：奇異性強(qiáng)度α及對(duì)應(yīng)的分布密度f(wàn)（α）。分形奇異譜則是由α值的取值范圍和函數(shù)f（α）確定。計(jì)算步驟如下：

（1）將時(shí)間序列｛xi｝，（i＝1，2，3，…，N）依次劃分成尺度為λ（λ＜1）的一維小盒子，令ai（λ）為盒子尺度為λ的第i個(gè)小盒子內(nèi)振動(dòng)信號(hào)的所有幅值之和，振動(dòng)信號(hào)的所有幅值之和為∑ai（λ），則定義概率測(cè)度為：

（2）由概率測(cè)度pi（λ）定義配分函數(shù)χq（λ），

其中，q為一個(gè)實(shí)參數(shù)，q的值可以?。ǎ?，+∞）之間的值，式（2）中pi（λ）＝0的情況除外，為避免pi（λ）＝0的情況，在計(jì)算之前先對(duì)序列進(jìn)行歸一化處理。當(dāng)q達(dá)到一定值，q對(duì)多重分形譜已沒(méi)有影響，q取值范圍選取的標(biāo)準(zhǔn)為：當(dāng)q改變1時(shí)，奇異指數(shù)的改變率Δα（q）＜0.2%［9，12］。

（3）配分函數(shù)χq（λ）與尺度λ之間存在冪指數(shù)關(guān)系：

冪指數(shù)稱為質(zhì)量指數(shù)。對(duì)式（3）兩邊取對(duì)數(shù)得：

式中質(zhì)量指數(shù)τ（q）即為配分函數(shù)與尺度的雙對(duì)數(shù)曲線的斜率。

（4）由勒讓德變換求得奇異指數(shù)α（q），計(jì)算公式為：

進(jìn)而求得多分形譜f（α），其計(jì)算公式為：

由質(zhì)量指數(shù)τ（q）計(jì)算廣義分形維數(shù)D（q），公式為：

當(dāng)q＝2時(shí)，得到關(guān)聯(lián)維數(shù)［13］D（2）。

2 齒輪振動(dòng)信號(hào)的多重分形性與特征提取

2.1 齒輪振動(dòng)信號(hào)采集

實(shí)驗(yàn)信號(hào)采自齒輪故障實(shí)驗(yàn)裝置，齒輪傳動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)傳動(dòng)簡(jiǎn)圖及實(shí)驗(yàn)裝置的結(jié)構(gòu)與測(cè)點(diǎn)示意圖如圖1所示。實(shí)驗(yàn)裝置為單級(jí)齒輪傳動(dòng)，小齒輪安裝在輸入軸上，其齒數(shù)Z1＝20，大齒輪齒數(shù)Z2＝37，齒輪模數(shù)為3。負(fù)載由磁粉加載器產(chǎn)生。振動(dòng)加速度傳感器安裝在輸入端軸承座的垂直方向。點(diǎn)擊轉(zhuǎn)速為285 r／min，負(fù)載為0 N·m～20 N·m之間的隨機(jī)狀態(tài)。分別采集齒輪狀態(tài)為正常、斷齒、磨損和周節(jié)誤差四種故障的振動(dòng)信號(hào)。采樣時(shí)間為2 s，采樣頻率2 048 Hz。

圖1 齒輪傳動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)傳動(dòng)簡(jiǎn)圖Fig.1 Transmission diagram of the gear transmission test bench

2.2 齒輪振動(dòng)信號(hào)的多重分形特性

共采集齒輪四種故障狀態(tài)（正常、磨損、斷齒、周節(jié)誤差）振動(dòng)信號(hào)，每種狀態(tài)采集20組數(shù)據(jù)。

為了提高結(jié)果的準(zhǔn)確性和計(jì)算的高效性，首先用EMD方法對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，將原始信號(hào)分為10層［10，14］，對(duì)齒輪正常和磨損狀態(tài)信號(hào)取前兩層，斷齒狀態(tài)信號(hào)取前三層，周節(jié)誤差狀態(tài)信號(hào)取前四層。然后對(duì)分解后的信號(hào)按式（8）進(jìn)行歸一化處理［15］。

式中xi為時(shí)間序列｛xi｝（i＝1，2，3，…，N）中的元素，xmin為時(shí)間序列元素中的最小值，xmax為時(shí)間序列元素中的最大值。根據(jù)前文q值范圍選取標(biāo)準(zhǔn)，q的取值范圍［－60，60］，取值間隔為3。通過(guò)式（1）和（2）計(jì)算得到齒輪振動(dòng)信號(hào)的配分函數(shù)χq（λ）。以正常齒輪振動(dòng)信號(hào)為例，其配分函數(shù)與尺度λ的雙對(duì)數(shù)圖如圖2所示。

由圖2看出配分函數(shù)χq（λ）與尺度λ的雙對(duì)數(shù)曲線呈現(xiàn)很好的線性關(guān)系，表現(xiàn)出標(biāo)度不變性［9］，表明齒輪振動(dòng)信號(hào)具有多重分形性。

圖2 正常齒輪振動(dòng)信號(hào)對(duì)應(yīng)的配分函數(shù)與尺度的雙對(duì)數(shù)圖Fig.2 The log-log graphs of the corresponding partition function and the size of normal gear state

由式（3）和式（4）計(jì)算得到質(zhì)量指數(shù)τ（q），以正常齒輪振動(dòng)信號(hào)為例，其質(zhì)量指數(shù)與實(shí)參數(shù)q的關(guān)系曲線如圖3所示。圖中實(shí)線為過(guò)兩個(gè)端點(diǎn)的直線，由圖3看出τ（q）與q之間呈現(xiàn)非線性關(guān)系，也表明齒輪振動(dòng)信號(hào)具有多重分形特征［4］。

圖3 正常齒輪振動(dòng)信號(hào)的質(zhì)量指數(shù)與q的關(guān)系曲線Fig.3 The curves of the quality index and q of normal gear state

由式（5）、（6）計(jì)算得到多分形譜f（α）和奇異指數(shù)α，圖4為多分形譜與奇異指數(shù)的關(guān)系曲線圖。

圖4 齒輪的四種故障狀態(tài)的多分形譜圖Fig.4 Multifractal spectras of four types of gear fault states

由圖4看出齒輪振動(dòng)信號(hào)的多分形譜f（α）均為單峰函數(shù)，再次說(shuō)明齒輪四種振動(dòng)信號(hào)的多重分形性，但四種故障狀態(tài)的奇異性又有不同。多分形譜f（α）是對(duì)分形結(jié)構(gòu)上的復(fù)雜程度、不規(guī)則程度以及不均勻程度的一種度量。

由式（7）計(jì)算得到廣義分形維數(shù)D（q），以正常齒輪為例，其廣義分形維數(shù)與實(shí)參數(shù)q的關(guān)系曲線如圖5所示。

由圖5看出廣義分形維數(shù)D（q）與q之間的關(guān)系，廣義分形維數(shù)是隨q增大而單調(diào)遞減的函數(shù)，進(jìn)一步表明齒輪振動(dòng)信號(hào)的多重分形性。

圖5 正常齒輪振動(dòng)信號(hào)的廣義分形維數(shù)與實(shí)參數(shù)q的關(guān)系曲線Fig.5 The curves of the generalized fractal dimensions and q of normal gear state

2.3 齒輪振動(dòng)信號(hào)的特征參數(shù)提取

從能量理論的角度出發(fā)，系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)故障狀態(tài)的能量大小和空間分布也會(huì)發(fā)生變化，且各個(gè)故障狀態(tài)的能量大小是不同的。因此，本論文采用多分形譜f（α）的二階矩和廣義分形維數(shù)D（q）譜的二階矩作為特征量，構(gòu)成二維特征向量。由式（7）計(jì)算得到廣義分形維數(shù)D（q）的值。兩個(gè)特征量的計(jì)算公式如下：

朱云博等［16］以多個(gè)多重分形譜參數(shù)及廣義分形維數(shù)作為特征量，計(jì)算量大，本論文中利用多重分形譜和廣義分形維數(shù)的二階矩作為特征量，能有效提高計(jì)算速度。

3 PNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析方法進(jìn)行分類及結(jié)果分析

概率神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較強(qiáng)的對(duì)非線性問(wèn)題處理和分類能力。其實(shí)質(zhì)是基于貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則發(fā)展而來(lái)的，PNN訓(xùn)練時(shí)間短，且分類正確率較高［17］。

通過(guò)研究分析多重分形譜能和廣義維數(shù)譜能具有明確的物理意義，表達(dá)了時(shí)間序列內(nèi)部的動(dòng)力學(xué)機(jī)制，對(duì)機(jī)械系統(tǒng)狀態(tài)的變化非常敏感，因此，適合作為表征系統(tǒng)狀態(tài)的特征量。本實(shí)驗(yàn)研究中，每種故障狀態(tài)采集20組振動(dòng)信號(hào)，每種故障狀態(tài)振動(dòng)信號(hào)中的10組作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，利用概率神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)首先對(duì)提取的訓(xùn)練樣本進(jìn)行學(xué)習(xí)訓(xùn)練，另外10組用作檢驗(yàn)數(shù)據(jù)。所得結(jié)果見(jiàn)表1與表2。

表1 多分形與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的機(jī)械故障診斷識(shí)別率Tab.1 Recognition rates ofm achinery fault diagnosis ofmultifractal com bined w ith neural network

表2 基于關(guān)聯(lián)維數(shù)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)械故障診斷結(jié)果Tab.2 M echanical fault diagnosis result based on the correlation dim ension and neural network

由表1、表2分類結(jié)果可以看出，運(yùn)用多分形與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的機(jī)械故障診斷方法對(duì)實(shí)驗(yàn)臺(tái)的故障數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，其識(shí)別率更高。

4 結(jié) 論

本文提出將多分形理論與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的方法，然后應(yīng)用于齒輪故障診斷，并用實(shí)驗(yàn)證實(shí)提出方法的可行性和有效性。不足之處是選擇某一個(gè)無(wú)標(biāo)度區(qū)計(jì)算，可能丟失一些振動(dòng)信號(hào)信息，可以考慮基于多個(gè)無(wú)標(biāo)度區(qū)間的多分形分析方法，以期得到振動(dòng)信號(hào)的全部信息。

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Gear fault diagnosis based on multifractal theory and neural network

CHU Qing-qing，XIAO Han，LüYong，YANG Zhi-wu
（MOE Key Laboratory of Metallurgical Equipment and Its Control，College of Machinery and Automation，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430081，China）

Themechanical fault diagnosismethod based on themultifractal theory combined with the neural network was proposed according to multifractal characteristics of gear fault vibration signals.Themultifractal theory was used to calculatemultifractal spectra f（α）and generalized fractal dimensions D（q）of vibration time series.Taking the multifractal dimension spectral energy and the generalized fractal dimension spectral energy as characteristics，a twodimensional characteristic vector was formed，itwas taken as input parameters of a probabilistic neural network，and with it the fault classification for vibration signals collected from a gear fault platform was done.Experimental results showed that the proposed method can effectively be used in gear fault diagnosis，and it has a higher recognition rate.

multifractal theory；neural network；multifractal spectrum；generalized fractal dimension

TH133

A

10.13465／j.cnki.jvs.2015.21.003

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51105284）

2014－08－22 修改稿收到日期：2014－11－06

褚青青女，碩士生，1987年生

肖涵男，副教授，1979年生