基于混合優(yōu)化的運載器大氣層內(nèi)閉環(huán)制導方法

崔乃剛，黃盤興，韋常柱，傅 瑜，程 超

基于混合優(yōu)化的運載器大氣層內(nèi)閉環(huán)制導方法

崔乃剛1，黃盤興1，韋常柱1，傅 瑜2，程 超1

（1. 哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，哈爾濱 150001；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076）

針對運載器大氣層內(nèi)最優(yōu)閉環(huán)制導問題，研究了一種將求解最優(yōu)控制問題的間接法與直接法相結(jié)合求解最優(yōu)上升軌跡的軌跡在線規(guī)劃與閉環(huán)制導方法。該方法采用高斯偽譜法求解基于間接法推導的最優(yōu)上升軌跡兩點邊值問題，能以較少的離散節(jié)點獲得較高的求解精度，并具有較高的求解效率。為了進一步保證制導的實時性與飛行安全要求，提出了軌跡在線規(guī)劃與閉環(huán)制導策略。最優(yōu)上升軌跡求解結(jié)果表明，在同等的求解精度條件下，混合優(yōu)化算法的離散節(jié)點個數(shù)僅為間接法的25%～40%，計算效率提高了50倍左右。建立導航模型進行閉環(huán)制導蒙特卡洛打靶仿真，制導算法滿足實時性與過程約束要求，關(guān)機點高度、速度、彈道傾角及軌道傾角的最大偏差分別為-8.93 m、-3.35 m/s、0.015°、0.0018°，算法具有較高的制導精度。

運載器；大氣層內(nèi)；最優(yōu)閉環(huán)制導；間接法；高斯偽譜法；混合優(yōu)化

運載器在大氣層內(nèi)上升飛行過程中，由于同時受到地球引力、發(fā)動機推力及氣動力作用，運動數(shù)學模型較為復雜，存在飛行約束。采用閉環(huán)制導存在較大的計算量與難度，且對于具備真空段閉環(huán)制導能力的運載器，大氣層內(nèi)開環(huán)制導造成的偏差可以通過真空段的高精度制導方法進行消除。故傳統(tǒng)運載器大氣層內(nèi)上升段采用開環(huán)制導方案：射前根據(jù)預測的風場模型離線設(shè)計參考軌跡，飛行中根據(jù)裝訂的姿態(tài)指令進行導引。該方法缺乏自主性，為了保證運載器的飛行安全，需要在射前進行大量的任務設(shè)計與分析工作。除了設(shè)計與驗證一條可行飛行軌跡外，還需設(shè)計好應對突發(fā)事件的處理程序，如發(fā)動機故障處理、應急返回等，以保證任務不能被環(huán)境條件、突發(fā)事件（如臨近發(fā)射時任務目標或約束的改變）而導致發(fā)射延誤或失敗。若實際風場與用于設(shè)計的預測風場存在很大差異時，將取消發(fā)射或延遲發(fā)射。開環(huán)制導方案存在耗時長，設(shè)計成本高，不能處理緊急發(fā)射任務，任務適應性差，制導精度低等缺點[1]。

為了解決傳統(tǒng)運載器大氣層內(nèi)開環(huán)制導存在的問題，并實現(xiàn)未來先進運載器快速、自主、高精度、低成本的發(fā)展目標，學者們開始研究基于最優(yōu)控制的運載器大氣層內(nèi)軌跡在線規(guī)劃方法。該方法根據(jù)運載器的當前狀態(tài)，在線計算出滿足過程約束及終端約束要求的最優(yōu)飛行軌跡及參考指令，實現(xiàn)最優(yōu)閉環(huán)制導。由于模型的復雜性，如何保證最優(yōu)飛行軌跡求解的實時性是實現(xiàn)運載器大氣層內(nèi)最優(yōu)閉環(huán)制導的關(guān)鍵。目前，研究較熱的是基于間接法的最優(yōu)閉環(huán)制導技術(shù)[2-8]，其基于最優(yōu)一階必要條件將帶約束的最優(yōu)上升軌跡問題轉(zhuǎn)換成兩點邊值問題，采用有限差分法進行求解，并應用真空解析解初值及密度同倫技術(shù)，以保證算法的可靠收斂。大量的數(shù)值仿真結(jié)果表明，該方法可滿足最優(yōu)飛行軌跡求解的實時性要求，是一種可行、有效的運載器大氣層內(nèi)最優(yōu)閉環(huán)制導方法。然而，該方法存在不能同時保證較高的求解精度與求解效率的缺陷，其求解精度與求解效率是相互矛盾的，二者不可兼得。

針對間接法在求解精度與求解效率相沖突的問題，本文研究了一種采用Gauss偽譜法求解基于間接法推導出的大氣層內(nèi)最優(yōu)上升兩點邊值問題的混合優(yōu)化方法：采用統(tǒng)一的插值函數(shù)同時對協(xié)態(tài)變量與狀態(tài)變量進行離散，將兩點邊值問題模型轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組，并采用改進牛頓法進行數(shù)值求解。同時，提出了滿足制導實時性與飛行安全要求的軌跡在線規(guī)劃與閉環(huán)制導策略，包括合理選擇軌跡在線規(guī)劃周期與離散區(qū)間數(shù)目、在線串行優(yōu)化、自適應反饋更新、強路徑約束與導引指令變化率約束等。最后進行了運載器的大氣層內(nèi)上升段軌跡優(yōu)化設(shè)計對比仿真分析及基于蒙特卡洛打靶的閉環(huán)制導仿真驗證。

1 運載器大氣層內(nèi)最優(yōu)上升問題模型

1.1大氣層內(nèi)運動數(shù)學模型

為了增強數(shù)值計算的穩(wěn)定性和準確性，采用無量綱的運動數(shù)學模型。運載器質(zhì)量()mt由推進劑秒耗量決定，可視為飛行時間的函數(shù)，不作為狀態(tài)量。運載器在發(fā)射慣性坐標系下無量綱運動方程為[2,4]

式中：r與V∈R3為無量綱的地心距矢量和速度矢量；T為無量綱的發(fā)動機推力加速度；A、N分別為無量綱的軸向、法向氣動加速度；1b為運載器體軸方向的單位矢量；1n為位于運載器的縱對稱平面內(nèi)與1b垂直的單位矢量。無量綱化的氣動力和推力加速度大小表示為

式中：0R為地球赤道半徑；0g為地球赤道引力加速度；0ρ是在0R處的大氣密度；()rρ為地心距r處的大氣密度；rV為相對地球的無量綱速度大小，

式中：Eω為無量綱的地球自轉(zhuǎn)角速率，wV為無量綱的風速；軸向力、法向力系數(shù)AC、NC均為攻角α和馬赫數(shù)Ma的函數(shù)；refS為參考面積；大氣層內(nèi)的推力損失0TΔ≤為地心距r的函數(shù)。

運載器采用BTT控制方式，其縱向?qū)ΨQ面位于體軸b1與相對地球速度rV組成的平面內(nèi)，側(cè)滑角為0，有

式中：rV1為rV的單位矢量。

為了保證結(jié)構(gòu)安全，運載器大氣層內(nèi)上升飛行中需滿足一定的過程約束。這里考慮氣動彎矩約束（攻角及動壓的乘積）：

式中：q=ρVr2/2；Qα為允許的最大氣動彎矩。終端約束條件一般考慮標準關(guān)機條件：地心距、速度、軌道傾角i*及彈道傾角γf*，它們等價于給定半主軸、偏心率、軌道傾角及關(guān)機點的真近角。令1N為平行于地球極軸并指向北極的單位矢量，終端約束條件表示為

運載器的初始狀態(tài)是已知的，則大氣層內(nèi)最優(yōu)上升問題可描述為：根據(jù)當前的初始狀態(tài)，尋找最優(yōu)的體軸方向b1及發(fā)動機關(guān)機時間ft，使運載器的飛行軌跡滿足過程約束的同時，在關(guān)機時刻達到給定的終端狀態(tài)，并使某項性能指標最優(yōu)。一般取飛行時間最短或燃料消耗最少為性能指標，二者是等價的。

1.2最優(yōu)上升模型

一般采用內(nèi)、外雙層迭代的方法求解運載器大氣層內(nèi)最優(yōu)上升問題[3]：內(nèi)層采用最優(yōu)控制算法求解給定飛行時間的終端能量最優(yōu)上升軌跡問題，此時不考慮終端速度（或能量）約束；外層則調(diào)節(jié)飛行時間，使速度（或能量）滿足終端的約束條。該最優(yōu)控制問題與飛行時間最短問題等價，其外層迭代可采用割線法、牛頓迭代法搜索飛行時間，其求解較為簡單。復雜內(nèi)層最優(yōu)上升軌跡問題的快速、精確求解是實現(xiàn)最優(yōu)閉環(huán)制導的關(guān)鍵，是本文主要的研究內(nèi)容。

根據(jù)上述分析，選取性能指標為根據(jù)最優(yōu)控制理論，哈密頓函數(shù)定義為式中：rp和3

VR∈p為協(xié)態(tài)變量；qαλ為標量乘子，當

協(xié)態(tài)變量微分方程的展開式比較復雜，可參考文獻[2]。根據(jù)控制方程，可推導得最優(yōu)體軸表達式為根據(jù)極小值原理，最優(yōu)解的標準必要條件為

式中：Φ為pV與Vr間的夾角；1pV為pV的單位矢量；攻角α通過求解tan(Φ-α)(T-A+Nα)-(Aα+N )=0得到。根據(jù)及發(fā)射慣性系與本體系之間的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系，可計算出俯仰角、偏航角及滾轉(zhuǎn)角指令。

對于固定飛行時間的能量最優(yōu)問題，最優(yōu)控制解必須滿足式(7)中的前3個終端約束條件及根據(jù)6個橫截條件推導得到的如下3個代數(shù)約束：

式中：Hf=rf×Vf。式(12)與式(7)的前三個約束構(gòu)成了6個終端邊界條件。

1.3Hamiltonian兩點邊值問題模型

式中：B0為給定的6個初始狀態(tài)條件x(t0)；Bf為6個終端邊界條件。Hamiltonian兩點邊值問題描述為：尋找協(xié)態(tài)變量初值p(t0)，使得系統(tǒng)y˙=f(t,y)在終端滿足邊界條件Bf=0。

2 高斯偽譜求解算法

式(13)給出的運載器大氣層內(nèi)最優(yōu)上升Hamiltonian兩點邊值問題模型較復雜，目前采用的有效求解方法是有限差分法[2-8]，其通過中心有限差分將非線性微分方程組離散成非線性代數(shù)方程組進行求解，存在求解精度與求解效率相矛盾的問題。為了滿足軌跡在線規(guī)劃與閉環(huán)制導的實時性，需取較少的離散節(jié)點個數(shù)，以犧牲求解精度來獲得較快的求解速度。Gauss偽譜法是求解最優(yōu)控制問題直接法中的一種新方法，其利用插值代替積分和雅克比矩陣高度稀疏特性，使得能以較少的節(jié)點獲得較高的最優(yōu)控制問題的求解精度，且其非線性規(guī)劃問題的KKT（Karush-Kuhn-Tucker）條件與離散的哈密頓邊值問題的一階最優(yōu)條件具有一致性，避免了直接法存在的缺陷[9-13]。

為了能在獲得較快求解速率的同時保證較高的求解精度，采用高斯偽譜法能以較少的離散節(jié)點精確逼近微分方程系統(tǒng)的特性，基于Gauss偽譜法求解運載器大氣層內(nèi)最優(yōu)上升Hamiltonian兩點邊值問題。

2.1兩點邊值問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程組約束

首先采用公式t=[(tf-t0)τ+(tf+t0)]2把時域t∈[t0,tf]轉(zhuǎn)化到高斯點的分布區(qū)間τ∈[-1, 1]上。此時，式(13)變?yōu)?/p>

然后，用初始端點01τ=-與N個高斯點12,,ττ ...,Nτ(Legendre-Gauss點)上的離散狀態(tài)構(gòu)造全局Lagrange插值多項式去近似真實狀態(tài)。需同時對狀態(tài)變量與協(xié)態(tài)變量進行離散：

式中：y(τ)為實際的狀態(tài)變量與協(xié)態(tài)變量時間歷程；Y(τ)為近似的狀態(tài)變量與協(xié)態(tài)變量時間歷程；Y (τi)為離散點上的狀態(tài)值；Li(τ)為Lagrange插值基函數(shù)：

最后，分別對式(15)中的()τy、()τY進行求導，并讓其導數(shù)相等，可得12N個代數(shù)方程：

式中，kiD為常值矩陣，

式(17)的代數(shù)約束均在Legendre-Gauss點上，還缺少兩個邊界點的狀態(tài)約束。起始邊界點的狀態(tài)約束為0B，終端邊界點的狀態(tài)可由高斯求積公式得到：

根據(jù)終端邊界點狀態(tài)可形成終端邊界約束Bf。定義=[,]T，Hamiltonian兩點邊值問題變成12(N+1)個非線性代數(shù)方程組E=(,...)T根X=(,...)T∈R12(N+1)的求解問題。

2.2帶松弛因子的改進牛頓數(shù)值求解算法

牛頓法求解非線性方程組具有收斂快、穩(wěn)定性好、精度高等優(yōu)點。為了保證序列{E(Xj)}單調(diào)遞減，采用帶松弛因子的改進牛頓法來求解非線性方程組E。從初始猜想值Y0開始，迭代公式為

式中：i≥0，0＜σj≤1，0＜β＜1；σj為松弛因子。當E(Xj)小于給定的允許值時，即認為收斂。第j次迭代的搜索方向dj為

3 軌跡在線規(guī)劃與閉環(huán)制導策略

采用混合優(yōu)化算法進行運載器大氣層內(nèi)上升段的軌跡在線規(guī)劃，并實現(xiàn)閉環(huán)制導的過程為：在每一個軌跡規(guī)劃周期的起始時刻，根據(jù)導航系統(tǒng)給出的運載器當前狀態(tài)，在線計算出滿足路徑約束與終端約束的最優(yōu)上升軌跡，更新程序角與發(fā)動機關(guān)機指令，運載器根據(jù)新生成的導引指令飛行。如何保證最優(yōu)上升軌跡在線求解的實時性是實現(xiàn)運載器大氣層內(nèi)閉環(huán)制導的關(guān)鍵，同時生成的最優(yōu)導引指令也應滿足運載器的飛行安全要求。為了進一步保證在線制導的實時性及運載器的飛行安全，提出如下的制導策略：

① 合理選擇軌跡規(guī)劃周期。根據(jù)軌跡優(yōu)化算法的求解速度，取合適的軌跡規(guī)劃周期。如果軌跡規(guī)劃周期較小，算法實時性不能保障；如果規(guī)劃周期太長，在外界干擾作用下，進行重規(guī)劃時運載器的狀態(tài)與上一次規(guī)劃的狀態(tài)偏差較大，算法求解效率也會降低。

② 合理選取離散節(jié)點數(shù)目。在滿足制導精度要求的條件下，可適當減小離散節(jié)點的數(shù)目，采用較少的未知量獲得較高的求解速率。隨著剩余飛行時間的逐漸減小，求解精度會逐步提高。

③ 在線串行優(yōu)化。當前軌跡規(guī)劃的解作為下一次軌跡規(guī)劃的初值，不再進行密度同倫，即離線規(guī)劃的最優(yōu)上升軌跡的收斂解作為第一次軌跡在線規(guī)劃的初值，每一次軌跡在線規(guī)劃的收斂解作為下一次軌跡在線規(guī)劃的初值。

④ 自適應反饋更新。某個軌跡在線規(guī)劃耗時已超出規(guī)劃周期時若還未得到最優(yōu)解，可繼續(xù)使用之前計算得到的導引指令，下一個規(guī)劃周期再重新計算，直至取得最優(yōu)解，更新制導指令。

⑤ 強路徑約束。干擾條件下，根據(jù)標稱模型在線優(yōu)化得到的導引指令不能保證導引運載器飛行時仍能滿足路徑約束，可以根據(jù)反饋的運載器狀態(tài)實時修正導引指令。

⑥ 導引指令變化率約束。為了減小最優(yōu)控制模型的復雜性，運載器大氣層內(nèi)上升軌跡的最優(yōu)控制模型不考慮攻角、傾側(cè)角與俯仰角、偏航角、滾轉(zhuǎn)角等角度的變化率約束。因此，還需對軌跡在線規(guī)劃出的參考指令進行變化速率約束，以保證飛行安全。

運載器大氣層內(nèi)上升段軌跡在線規(guī)劃與閉環(huán)制導的邏輯結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖1中：FDI為故障檢測與隔離模塊，檢測并識別、隔離故障信息；在每一個規(guī)劃周期的起始時刻，軌跡在線規(guī)劃模塊采用本文研究的混合優(yōu)化快速算法求解參考軌跡，給出參考指令，其應用在線串行優(yōu)化與自適應反饋更新策略；指令合成與輸出模型根據(jù)軌跡在線規(guī)劃的參考指令實時給出導引指令，并應用強路徑約束與導引指令變化律約束策略對導引指令進行約束。

圖1 軌跡在線規(guī)劃與閉環(huán)制導的邏輯結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Logical structure of trajectory’s online planning and closed-loop guidance

4 仿真驗證與分析

為了驗證算法的性能，對某運載器大氣層內(nèi)上升段的飛行軌跡進行優(yōu)化設(shè)計。運載器從地面發(fā)射后，先垂直上升飛行5.0 s，然后指數(shù)攻角轉(zhuǎn)彎25.0 s，接著進入優(yōu)化軌跡飛行段。需要對運載器飛行30.0 s后的上升軌跡進行優(yōu)化設(shè)計及閉環(huán)制導仿真。飛行過程中要求氣動彎矩≤0.7 kPa·rad，要求關(guān)機點高度為60.0 km，速度為2700.0 m/s，彈道傾角為25.4°，軌道傾角為10.0°。

仿真算法采用C++語言編寫，運行環(huán)境為CPU主頻為2.0 GHz的工控機。

4.1上升軌跡優(yōu)化設(shè)計

為了保證算法可靠收斂，采用真空解析解初值及密度同倫技術(shù)，并采用割線法調(diào)整發(fā)動機關(guān)機時間以滿足末端速度約束要求[2-5]。根據(jù)優(yōu)化得到的導引指令（發(fā)動機關(guān)機時間、離散姿態(tài)角）對動力學方程進行積分，可得到積分狀態(tài)量。對積分狀態(tài)量與優(yōu)化狀態(tài)量進行對比分析。其中，對優(yōu)化得到的離散姿態(tài)角進行Lagrange插值，獲得積分需要的姿態(tài)角。

取不同的離散節(jié)點個數(shù)，對混合優(yōu)化法與間接法進行軌跡優(yōu)化設(shè)計對比分析。仿真結(jié)果如表1所示。

表1 混合優(yōu)化法與間接法仿真結(jié)果對比Tab.1 Comparison on simulation results for the hybrid method and the indirect method

從表1中可知：①混合優(yōu)化法與間接法的位置精度和速度精度隨著離散節(jié)點個數(shù)的增加而提高，但求解耗時也隨之增大；②離散節(jié)點個數(shù)為15的混合優(yōu)化法與離散節(jié)點個數(shù)為60的間接法的求解精度相當，二者的求解耗時分別為0.134 s、7.022 s；③離散節(jié)點個數(shù)為25的混合優(yōu)化法與離散節(jié)點個數(shù)為80的間接法的求解精度相當，二者的求解耗時分別為0.352 s、21.548 s；④在同等精度條件下，混合優(yōu)化法的離散節(jié)點個數(shù)比間接法少60%～75%，計算效率高50～60倍左右。

所研究的混合優(yōu)化法兼具間接法滿足一階最優(yōu)必要條件與Gauss偽譜法能以較少的離散區(qū)間獲得較高求解精度及求解速度快的優(yōu)點，其求解精度與求解效率均優(yōu)于間接法。

4.2閉環(huán)制導蒙特卡洛打靶仿真

由于干擾作用，運載器上升飛行過程中將偏離設(shè)計的標稱軌跡。為了保證關(guān)機點的狀態(tài)精度，可采用提出的混合優(yōu)化算法進行閉環(huán)制導。

綜合考慮10%軸向力系數(shù)偏差、10%法向力系數(shù)偏差、8%大氣密度偏差、2%推力偏差及風干擾，各項偏差均服從31σ=的正態(tài)分布。建立導航模型，對陀螺儀及加表進行誤差模擬，考慮常值項、一次項及二次項誤差。軌跡規(guī)劃周期均取5.0 s，制導周期取100 ms，攻角、傾側(cè)角與姿態(tài)角的最大變化率為1.0 (°)/s，臨近關(guān)機時刻不再進行指令更新。高斯點個數(shù)取5，進行500次蒙特卡洛打靶仿真。

繪制其中的40條攻角、傾側(cè)角、氣動彎矩曲線如圖 2至圖4所示，從圖中可知：每次導引指令更新時攻角、傾側(cè)角呈現(xiàn)出跳變的趨勢，這是由干擾導致彈道偏差而引起的，但受角速率約束，攻角、傾側(cè)角變化較為平緩；氣動彎矩絕對值的最大值為0.70.7 kPa?rad，滿足過程約束要求。

關(guān)機點狀態(tài)偏差的最大值及均值統(tǒng)計結(jié)果、散布情況分別如圖5、表2所示，從中可知：關(guān)機點高度的最大偏差為-8.93 m，偏差均值-0.91 m；速度的最大偏差為-3.35 m/s，偏差均值-0.04 m/s；彈道傾角的最大偏差為0.015°，偏差均值0.0045°；軌道傾角的最大偏差為0.0018°，偏差均值1.3×10-4(°)?；诨旌蟽?yōu)化的閉環(huán)制導算法具有較高的制導精度。

在每一個制導周期內(nèi)，軌跡在線規(guī)劃求解耗時均小于0.05 s，滿足制導實時性要求。

圖2 攻角隨時間變化曲線Fig.2 Time history of attack angle

圖3 傾側(cè)角隨時間變化曲線Fig.3 Time history of heeling angle

圖4 氣動彎矩隨時間變化曲線Fig.4 Time history of aerodynamic bending moment

圖5 關(guān)機點狀態(tài)偏差散布Fig.5 Deviations of condition error at engine cut-off point

表2 蒙特卡洛打靶仿真結(jié)果Tab.2 Results of Monte-carlo simulation

5 結(jié) 論

為了擺脫傳統(tǒng)間接法不能同時保證較高的求解精度與求解效率的缺陷，提出了一種基于混合優(yōu)化的運載器大氣層內(nèi)閉環(huán)制導方法，采用高斯偽譜法求解基于間接法推導的Hamiltonian兩點邊值問題。該方法兼具間接法滿足一階最優(yōu)必要條件與Gauss偽譜法能以較少的離散區(qū)間獲得較高求解精度及求解速度快的優(yōu)點。為了保證制導實時性與飛行安全要求，提出了包括合理選擇軌跡在線規(guī)劃周期與離散節(jié)點數(shù)目、在線串行優(yōu)化、自適應反饋更新、強路徑約束與導引指令變化率約束等在內(nèi)的軌跡在線規(guī)劃與閉環(huán)制導策略。最優(yōu)上升軌跡求解的仿真對比分析表明，在同等的求解精度條件下，提出的混合優(yōu)化算法在求解效率上比間接法具有較大的優(yōu)勢。基于蒙特卡洛打靶的閉環(huán)制導仿真結(jié)果表明，提出的制導算法具有較高的制導精度。

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Closed-loop endo-atmospheric guidance of launch vehicle based on hybrid optimization approach

CUI Nai-gang1, HUANG Pan-xing1, WEI Chang-zhu1, FU Yu2, CHENG Chao1
(1. Department of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering, Beijing 100076, China)

In view of the optimal atmospheric ascent closed-loop guidance of launch vehicles, an online trajectory planning and closed-loop guidance approach is studied by combining the direct method with the indirect one for solving optimal atmospheric ascent trajectory. In this approach, Gauss pseudo-spectral method is applied to solve the Hamiltonian two-point boundary value problem of optimal ascent trajectory, which is derived from the indirect method. The hybrid method can obtain high solution accuracy and fast convergence rate with minor nodes. A strategy of on-line trajectory planning is introduced to further guarantee the real-time and safety requirements. The navigation models are established to conduct Monte Carlo targeting simulation with closed-loop guidance. The solution results of optimal ascent trajectory show that, for the same level of solution accuracy, the hybrid algorithm’s node number is 25%-40% of the indirect method’s node number, and the computational efficiency is improved about 50 times. The simulation results show that the guidance algorithm meets the real-time and flight path constraint requirements with high guidance precision. The maximum deviations of altitude, velocity, flight path angle, and orbit inclination at engine cut-off point are -8.93 m, -3.35 m/s, 0.015°, and 0.0018°, respectively.

launch vehicle; endo-atmosphere; optimal closed-loop guidance; indirect method; Gauss pseudospectral method; hybrid optimization

V448.1

A

1005-6734(2015)03-0328-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.03.009

2014-12-31；

2015-05-26

國家自然科學基金項目（61403100）；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項基金項目（HIT.NSRIF.2015037）

崔乃剛（1965—），男，教授，博導，研究方向為導彈及空間飛行器飛行力學、制導與控制、濾波理論及應用。

E-mail：Cui_Naigang@163.com