勻速圓周運動與簡諧運動

張曉麗

[摘要]高中物理教材中勻速圓周運動屬于“曲線運動”的內(nèi)容，簡諧運動屬于“機械振動”的內(nèi)容，兩部分內(nèi)容彼此獨立，看似沒有聯(lián)系，但借助運動的合成與分解的知識，一個勻速圓周運動可以分解為兩個簡諧運動，反之，兩個有共同平衡位置的簡諧運動，若振幅相同，圓頻率相同，當(dāng)它們的初相差等于號時也可以合成為一個勻速圓周運動。

[關(guān)鍵詞]勻速圓周運動 簡諧運動運動的合成與分解

[中圖分類號]G633.7

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號]1674-6058（2016）32-0071

一、實驗觀察

在勻速轉(zhuǎn)動的水平轉(zhuǎn)臺上，靠近轉(zhuǎn)臺邊緣處，固定一個不透明小球，使小球隨轉(zhuǎn)臺一起做勻速圓周運動，用一束平行光沿水平方向照射小球，將小球的運動投影到一塊豎直懸掛的幕布上，小球在幕布上投影的運動是其勻速圓周運動的一個分運動。實驗表明：小球在幕布上影子的運動是在一中心位置兩側(cè)的往復(fù)運動。下面證明它是簡諧運動。

二、一個勻速圓周運動可以分解為兩個簡諧運動

一個質(zhì)量為m的質(zhì)點繞0點逆時針方向做勻速圓周運動，其圓周半徑為R，運動的角速度為ω，運動軌跡如圖1所示，以質(zhì)點做勻速圓周運動的圓心0為坐標(biāo)原點，過圓心0和質(zhì)點的初位置B的連線為x軸，過0點垂直x軸向上的方向為y軸，建立直角坐標(biāo)系。經(jīng)任意一段時間t，質(zhì)點沿圓周從B點運動到點P（x，y），x，y分別是t時刻質(zhì)點相對于0點的水平方向坐標(biāo)和豎直方向坐標(biāo)，連接質(zhì)點和圓心0的半徑轉(zhuǎn)過的圓心角為θ=ωt，由圖1可知，質(zhì)點在，z方向的坐標(biāo)為：

x=Rcosωt①

③和④兩式表明，質(zhì)點所受合力的水平分力與水平位移成正比，而方向總相反；質(zhì)點所受合力的豎直分力與豎直位移成正比而方向總相反。因此，兩個分運動都是簡諧運動，并且兩簡諧運動的振幅A等于勻速圓周運動的半徑R；兩簡諧運動的圓頻率等于圓周運動的角速度。

三、符合一定條件的簡諧運動可以合成為一個勻速圓周運動

我們研究相反的問題，在這里我們只討論兩簡諧運動的振幅和圓頻率相等的特殊情況。一個質(zhì)量為m的質(zhì)點同時參與兩個分運動，兩個分運動均為簡諧運動，振幅都是A，圓頻率都是ω。選兩簡諧運動共同的平衡位置為坐標(biāo)原點0，以水平向右的方向為x軸正方向，豎直向上的方向為y軸正方向建立直角坐標(biāo)系。水平方向分運動的初相位是ψ1，豎直方向分運動的初相位是ψ2。從兩簡諧運動的初位置開始計時，經(jīng)過任意一段時間t，質(zhì)點的水平位置坐標(biāo)和豎直位置坐標(biāo)分別是：

⑦式表明，合運動的軌跡是半徑等于振幅A的圓；⑧和⑨式表明，合運動的線速度大小恒定為Aω，合運動的加速度大小恒定為Aω²，兩者都不隨時間變化，因此，滿足以上條件的兩個簡諧運動的合運動是勻速圓周運動。

這種相互對比分析的方法，可拓寬學(xué)生對勻速圓周運動和簡諧運動的理解，尤其對一些概念，比如周期T、振幅A的物理意義。