探究基于數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)教學(xué)

鐘朝勇

在義務(wù)教育課程改革以前，中國的數(shù)學(xué)課程教學(xué)主要以“雙基”教學(xué)為主，要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能，力求做到基礎(chǔ)知識扎實，基本技能熟練。但是不少中國的教育工作者們總愛走極端，斷然認(rèn)為基礎(chǔ)知識中的概念、定理、命題靠記憶就能完成；基本技能中的證明、運算靠反復(fù)演練就足矣。部分教師帶著這樣的錯誤思想進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生照樣能取得好成績。但這樣一來，學(xué)生就會對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去基本的興趣和信。蘇聯(lián)教育學(xué)家烏申斯基說過：“沒有絲毫興趣的強(qiáng)制學(xué)習(xí)，將會扼殺學(xué)生探求真理的欲望。”興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的不竭動力和激發(fā)自主學(xué)習(xí)意識的前提。學(xué)生一旦失去了興趣，思維將會變得遲緩，記憶將會逐漸減退，意志也會消沉。著名主持人崔永元曾講過他的噩夢：他夢見一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題。題的大意是：有一個水池，里面有一定的水量，池底有兩根水管，一根水管往水池里注水，另一根水管往水池外放水，兩根水管的閥門同時打開，問什么時候水池能夠注滿或什么時候水池的水會被放完？崔永元郁悶了，這到底是要注水還是要放水??？看完這個例子，我們可能會覺得崔永元在開玩笑。因為大部分人都知道，這是一個很真實的問題。但也從另一個側(cè)面反映出人們對數(shù)學(xué)是持一種恐懼、害怕、膽怯的心態(tài)，認(rèn)為數(shù)學(xué)題就是用來折磨人的大腦的事物。

在新的課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出了“四基”教學(xué)，即在原有的“雙基”教學(xué)上增加了基本思想和基本活動經(jīng)驗兩項。其目的是為了讓教師和學(xué)生們明白：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅要掌握好基礎(chǔ)知識和基本技能，更重要的是要在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的實質(zhì)--數(shù)學(xué)思想。東北師范大學(xué)校長史寧中教授曾在重慶師范大學(xué)60 周年校慶學(xué)術(shù)報告中提到：“作為一名優(yōu)秀的老師，首先要知道數(shù)學(xué)的實質(zhì)是什么？數(shù)學(xué)的實質(zhì)就是數(shù)學(xué)思想。其次，一個優(yōu)秀的老師要做到根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容的實質(zhì)，創(chuàng)設(shè)一個學(xué)生能夠接受或感悟的情景。”那么，什么是數(shù)學(xué)思想呢？史寧中教授提到，數(shù)學(xué)思想并不是通常我們所說的等量代換、數(shù)形結(jié)合、換元法等等。他將數(shù)學(xué)思想分為三個部分：1）抽象；2）推理；3）模型。抽象指的是將外部事物引入數(shù)學(xué)內(nèi)部的思想，要學(xué)好數(shù)學(xué)就必須有很強(qiáng)的抽象能力；推理指的是推理論證，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展，學(xué)好數(shù)學(xué)同樣要有一定的推理能力；模型是指溝通數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，學(xué)生要善于構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。但即便是課程改革專家和眾多數(shù)學(xué)教育家都主張要追求數(shù)學(xué)的實質(zhì)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想的作用。但在實際的中小學(xué)教學(xué)中，這樣做的教師卻屈指可數(shù)。

本文用一個具體的中學(xué)教學(xué)案例，分析在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何揭示數(shù)學(xué)實質(zhì)的問題，并探討基于數(shù)學(xué)實質(zhì)的數(shù)學(xué)教學(xué)對學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的重要影響。

案例分析

目前，在義務(wù)教育教科書七年級下冊的課本中，第八章主要學(xué)習(xí)二元一次方程組。教材將本章內(nèi)容分為四個部分：二元一次方程組、消元——解二元一次方程組、實際問題與二元一次方程組以及三元一次方程組的解法（選講）。將本章的知識進(jìn)行這樣的分塊本沒有什么問題，但教師在實際的教學(xué)中卻沒有抓住數(shù)學(xué)的實質(zhì)。

我們先來看看第一部分，教材首先以一個實例引入：

籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分勝負(fù)，每隊勝一場得2 分，負(fù)一場得1 分。某隊在10 場比賽中得到了16 分，那么這個隊勝負(fù)場數(shù)分別是多少？

設(shè)勝的場數(shù)是x，負(fù)的場數(shù)是y，你能用方程把這些條件表示出來嗎？

由問題得

勝的場數(shù)+負(fù)的場數(shù)=總場數(shù),

勝場積分+負(fù)場積分=總積分

用方程

表示。

這種引入二元一次方程和二元一次方程組的思路，主要是想告訴學(xué)生二元一次方程和二元一次方程組是如何從現(xiàn)實生活中抽象得出的。這里采用了數(shù)學(xué)思想---抽象，即將現(xiàn)實生活中的實際情形抽象為數(shù)學(xué)方程式，使得學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)知識和現(xiàn)實生活聯(lián)系起來，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。

但教師在教學(xué)中，卻沒有注重對學(xué)生進(jìn)行這方面的引導(dǎo)，而把重心放在了讓學(xué)生判斷什么是二元一次方程，以及什么是二元一次方程組上。課后作業(yè)中也出現(xiàn)大量這種類型的習(xí)題，而沒有注重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，幫助學(xué)生將知識與實際聯(lián)系起來，而這一點，恰恰是這部分教學(xué)的重點。

第二部分，消元——解二元一次方程組。這里包含了兩種方法：1）代入消元法；2）加減消元法。教材在這部分的開頭就提到了什么是消元的思想。接著一一介紹了代入消元法和加減消元法，并分別給出了一個純運算的例題和一個應(yīng)用型例題。在課后的習(xí)題中也包括了運算題和應(yīng)用題。這一部分的數(shù)學(xué)實質(zhì)是利用消元的思想求解二元一次方程組。教學(xué)目標(biāo)是兩個：1）讓學(xué)生學(xué)會利用消元的思想求解二元一次方程組；2)引導(dǎo)學(xué)生在簡單的應(yīng)用題中建立二元一次方程組，并能正確求解。

但有的老師在實際的教學(xué)中，卻偏離了正確的軌道，并沒有按照既定的教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行教學(xué)。首先，教師會給學(xué)生介紹消元的思想；其次，講解代入消元法和加減消元法的具體步驟；最后，粗略地講解一下應(yīng)用題。接下來的安排，就是給學(xué)生布置大量的純運算題。在這些運算題里加入小數(shù)、分?jǐn)?shù)、參數(shù)等，而應(yīng)用題在布置的作業(yè)里僅占了百分之十左右。

我們從學(xué)生角度出發(fā)，求解二元一次方程組的方法很簡單，運算過程并不復(fù)雜，應(yīng)該說大部分學(xué)生都能夠正確求解。但老師布置大量的純運算題作業(yè)，在測試中也給出了大量的純運算題。采用這樣的方式雖然讓學(xué)生提高了運算能力，但過多的運算訓(xùn)練，卻使得學(xué)生進(jìn)入了一個致命的思想誤區(qū)：不需要明白如何建立二元一次方程組，也不需要知道二元一次方程組有什么實際意義，更不用管什么是消元思想，只要能夠正確求解出二元一次方程組的解就可以了。有的學(xué)校甚至在一周的數(shù)學(xué)課上，都讓學(xué)生練習(xí)二元一次方程組的運算，使得學(xué)生把解二元一次方程組完全當(dāng)成了一個“機(jī)械性行為”。機(jī)械性行為指的是按照指定的法則去對無意義的符號進(jìn)行機(jī)械的操作，既不知道為什么這樣做，也不知道這種操作有任何實際的意義。

帶著這樣的思想誤區(qū)進(jìn)入到第三部分的學(xué)習(xí)，教師和學(xué)生都陷入了兩難的處境。

對于教師而言，他認(rèn)為學(xué)生經(jīng)歷了一周時間的運算訓(xùn)練，加之學(xué)生以前也做過應(yīng)用題，所以，在第三部分二元一次方程組的實際應(yīng)用問題學(xué)習(xí)中，學(xué)生學(xué)習(xí)起來應(yīng)該不會有太大的難度。

然而，對于學(xué)生而言，恰恰相反。由于在第一、二部分的教學(xué)中，老師過多地強(qiáng)調(diào)運算，而不注重抽象思維的培養(yǎng)。學(xué)生也在一周的時間里，進(jìn)行沒完沒了的運算，使得學(xué)生早已忽視了數(shù)學(xué)方程式的實際意義，剩下的只是“機(jī)械性行為”。當(dāng)需要學(xué)生采用“自動化行為”，即獨立分析問題中的數(shù)學(xué)關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系建立方程組時，學(xué)生自然而然感到十分困難。上文提到的自動化行為指的是操作者在需要時就能隨時告訴你，他這樣做的理由和目的，他也能隨時根據(jù)情景的不同做出必要的調(diào)整。

老師覺得易、學(xué)生覺得難的情形，歸根結(jié)底還是由于教師的教學(xué)方法和教學(xué)理念有問題。蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基說過：“只有能夠激發(fā)學(xué)生進(jìn)行自我教育的教育，才是真正的教育”。同樣，只有適應(yīng)學(xué)生的教學(xué)，才是好的教學(xué)。在實際的教學(xué)中，教師沒有緊緊抓住數(shù)學(xué)的實質(zhì)開展教學(xué)，從而產(chǎn)生了錯誤的引導(dǎo)方向，使學(xué)生不知不覺鉆進(jìn)了思想的誤區(qū)，教師也陷入了尷尬的境地。不僅教學(xué)效果達(dá)不到預(yù)期值，還會使得學(xué)生越來越看不到數(shù)學(xué)的價值，感受不到數(shù)學(xué)無窮的美，對于學(xué)好數(shù)學(xué)也就失去了應(yīng)有的信心。

如果教師在今后的教學(xué)中，能夠準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)的實質(zhì)，充分融入數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)數(shù)學(xué)“源于實踐，源于生活”的理念，相信學(xué)生們在教師的正確引導(dǎo)下，既能夠輕松學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)知識的精髓，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣和自信心，又能夠體會到數(shù)學(xué)的生活價值，感悟到數(shù)學(xué)獨有的魅力！

[1]鄭毓信，梁貫成.認(rèn)知科學(xué)建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育[M].上海：上海教育出版社，2002.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[D].北京：人民教育出版社，2011.

[3]課程教材研究所.數(shù)學(xué)七年級下冊義務(wù)教育教科書[M].北京：人民教育出版社，2012.