淺談數(shù)學概念的教學

潘倩

【摘 要】 高中數(shù)學新課標提出了與時俱進地認識“雙基”的基本理念，概念教學是數(shù)學教學中的重要組成部分，在新課程理念下，了解概念的體系、優(yōu)化概念教學的設計、剖析概念的本質(zhì)、掌握概念的符號、重視概念的鞏固，真正達到認識數(shù)學思想和本質(zhì)的目的。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學概念;教學

恩格斯說：“在一定意義上，科學的內(nèi)容就是概念的體系?！睌?shù)學概念是整個數(shù)學知識體系的基礎，是進行數(shù)學推理、判斷、證明的依據(jù)，是建立數(shù)學定理、法則、公式的基礎，也是形成數(shù)學思想方法的出發(fā)點。數(shù)學概念的教學既是數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié)，又是數(shù)學學習的核心，其根本任務是準確地揭示概念的內(nèi)涵與外延，是學生思考問題、推理證明有所依據(jù)，能有創(chuàng)見地解決問題?？梢哉f掌握數(shù)學概念是學好數(shù)學的關(guān)鍵。因此，數(shù)學概念的教學也相應稱為數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié)。高中數(shù)學教學實踐表明數(shù)學概念是數(shù)學中既不易教也不易學的內(nèi)容。在數(shù)學教學中要自始至終抓住數(shù)學概念的本質(zhì)屬性及其內(nèi)部聯(lián)系，就要了解概念的體系，關(guān)注概念的引入，剖析概念的本質(zhì)，掌握概念的符號，重視概念的鞏固。

一、了解概念的體系

數(shù)學概念是導出全部數(shù)學定理、法則的邏輯基礎，數(shù)學概念是相互聯(lián)系、由簡到繁而形成的學科體系。人們認識事物的本質(zhì)特征通常不可能一次性孤立完成。事實上，學生“獲得的知識，如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)把他聯(lián)系在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。一連串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促的可憐的壽命”。因此，數(shù)學概念的教學，要弄清楚學習這個概念需要怎樣的基礎，分析這個概念以后有何用處，它的地位和作用如何。這樣，在講授時就能主次分明，輕重得當，既復習鞏固已學過的概念，又為后繼概念作恰當?shù)脑蟹?。例如，“絕對值”是貫穿整個中學數(shù)學的重要概念，先是在有理數(shù)中引入;接著在算術(shù)根中出現(xiàn)了=|a|，把絕對值得概念拓展到實數(shù)范圍;最后在復數(shù)中，絕對值的概念擴展成了復數(shù)的模|a+bi|=（a，b∈R）。

二、關(guān)注概念的引入

傳統(tǒng)的概念教學將獲得知識結(jié)論作為主要目標，忽視了學生在知識形成過程中的重要作用，使學生的學習行為更多的表現(xiàn)為機械記憶，而不是理性分析。根據(jù)建構(gòu)主義學習理論學習應是認知主體的內(nèi)部心理過程，學生是信息加工的主體。高中數(shù)學新課標中提出了“過程與方法”這一教學目標維度，在這一維度下，新課程對學生的學習要求從原來的“知識性”向“過程性”轉(zhuǎn)變。概念的引入是進行概念教學的第一步，這一步走得如何，對學好概念有重要的作用。

1.提供現(xiàn)實原型。著名教育家杜威曾說：“教學絕對不僅僅是簡單地告訴，教學應該是一種過程的經(jīng)歷，一種體驗，一種感悟?！睌?shù)學教學中，教師應立足教材，著眼學生的發(fā)展，把握核心知識內(nèi)容，有效開展自主探究活動，向?qū)W生展示本質(zhì)，是學生理解數(shù)學概念的形成過程。形成準確概念的首要條件，是使學生獲得十分豐富和合乎實際的感性材料。因此，在教學中要密切聯(lián)系數(shù)學概念的現(xiàn)實原型，引導學生分析日常生活和生產(chǎn)實際中常見的事例，觀察有關(guān)的實物、圖示、模型，在具有充分的感性認識的基礎上引入概念。例如在“異面直線”概念的教學中，教師應先展示概念產(chǎn)生的背景，如在粉筆盒這樣一個長方體模型中，當學生找出兩條既不平行又不相交的直線時，教師告訴學生像這樣的兩條直線稱之為異面直線，接著教師可提出問題“什么是異面直線呢？”可讓學生進行討論，嘗試敘述，再進行反復修改可得出異面直線的簡明、準確而嚴謹?shù)亩x“我們把不在任何一個平面上的兩條直線稱為異面直線”。再讓學生找出教室中的異面直線，再以平面為襯托作出異面直線的圖，這樣學生對異面直線的概念就有了一個較為明確的認識，同時也讓學生經(jīng)歷了概念發(fā)生發(fā)展過程的體驗。

2.從數(shù)學內(nèi)在需要引入概念。例如，在實數(shù)范圍內(nèi)，方程x2+1=0沒有解，為了使它有解，就引入了一個新數(shù)i，i滿足i2=-1，它和實數(shù)一起可以按照通常的四則運算法則，進行計算。由此再引入復數(shù)的概念。于是方程x2+1=0就有解了。

3.用類比的方法引入概念。類比不僅是思維的一種重要形式，而且是引入新概念的一種重要方法。任何數(shù)學概念必定有與之相關(guān)的最近概念，因此教學中要以學生已掌握了的知識為基礎，引導學生探求新舊概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，通過類比教學引出新概念。例如，二面角可類比平面角引入，平面與平面的位置關(guān)系可類比平面上直線與直線的位置關(guān)系引入，平面向量加法的三角形法則、平行四邊形法則概念的引入可以與物理學科中的位移的合成、力的合成進行類比引入等。

三、剖析概念的本質(zhì)

概念在人們頭腦中形成，僅是人們對概念認識的開始，對概念認識的深化必須從概念的內(nèi)涵與外延上作深入的剖析。概念的內(nèi)涵是指反映在概念中的對象的本質(zhì)特征。概念的外延是指具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對象。內(nèi)涵是概念的質(zhì)的方面，即概念所反映的事物是什么樣子的。外延反映的是概念的量的方面，即概念的適用范圍，它說明概念反映的是哪些實物。以三角函數(shù)的概念為例，對六個基本三角函數(shù)的定義，應抓住其中一個，如正弦函數(shù)sinα=y，可這樣進行分析：正弦函數(shù)的值本質(zhì)上是一個“比值”，它是角α的終邊上任意一點的縱坐標y與這一點到原點的距離r的比值，因此它是一個數(shù)值;指出由于|y|≤r，所以這個比值不超過1，這個比值與點在角的終邊上的位置無關(guān)，這可用相似三角形的原理來說明;這個比值的大小，隨著α的變化而變化，當α取某個確定的值，比值也有唯一確定的值與之相對應。如此，以函數(shù)概念為基本線索，從中找出了自變量、函數(shù)以及對應法則，從而對正弦函數(shù)概念的理解就比較深刻了。經(jīng)過對正弦函數(shù)概念的本質(zhì)屬性分析之后，指出角的終邊上的任意一點P（x，y）一經(jīng)確定，就涉及x，y，r這三個量，任取其中兩個量組成比值，有且僅有六個。因此，基本三角函數(shù)就有六個，從而對三角函數(shù)的外延，就揭示的非常清楚了。

四、掌握概念的符號

用數(shù)學符號表示數(shù)學概念既是數(shù)學的特點又是數(shù)學的優(yōu)點。由于數(shù)學概念本身就十分抽象，加上用數(shù)學符號表示，就更加抽象了，因而在數(shù)學概念教學中使學生真正掌握概念符號的意義是十分重要的。例如，學生往往將正弦函數(shù)的符號“sin”看成一個數(shù)，從而得出如下的錯誤等式：sin（α+β）=sinα+sinβ。所以在教學中，要始終給形式符號以具體的內(nèi)容，時刻提醒學生注意符號的意義及使用符號的條件。

五、重視概念的鞏固

初步形成的概念，鞏固程度差，易受相近概念的干擾，適時利用變式訓練有助于糾正學生的思維偏差。概念鞏固是概念教學的重要環(huán)節(jié)。心理學原理告訴我們，概念一旦獲得，如不及時鞏固，就會被遺忘。鞏固概念，首先應在引入、形成概念后，及時進行復述，以加深對概念的印象。其次應重視在發(fā)展中鞏固。第三是通過概念的應用來鞏固。概念的應用要注意遞進的過程，即由初步的，簡單的應用，逐步發(fā)展到較復雜的應用。要引導學生在判斷、推理、證明中運用概念，在日常生活、生產(chǎn)實踐中運用概念，以加深對概念的理解，達到鞏固概念的目的。例如，教學對數(shù)的概念后，可以通過以下四類練習題予以鞏固：

第一類，使學生習慣于對數(shù)符號logaN=b的運用，把“對數(shù)”與“對應的指數(shù)”聯(lián)系起來，如把23=8，3-2=，5x=625等改寫成對數(shù)式;把log432=，log3=x，log7N=2等改寫成指數(shù)式。

第二類，使學生了解對數(shù)、真數(shù)、底數(shù)三者之間的關(guān)系，如求對數(shù)：log525，log4，log9;求真數(shù)：log27x=，logx=4，logax=5（a>0，a≠1）;求底數(shù)：logx8=3，logx9=，logx5=-2。

第三類，使學生對底數(shù)a和真數(shù)N的取值有清晰的認識，如判斷下列各式是否成立：

1.log12=a，log（-2）16=4，log4（-20）=b;

2.求x：logx9=2，log（x+2）（x2-2x-2）=0。

第四類，通過對數(shù)恒等式a=N（a>0，a≠1）的證明，可以使學生深刻地理解對數(shù)的定義。

通過這些練習，可以使學生逐步學會運用對數(shù)概念進行判斷、推理和證明。在運用的過程中，加深對對數(shù)概念的理解。

人類的認識過程是一個特殊的心理過程，對于數(shù)學概念的理解和掌握，智力不同的學生完成這個過程往往有明顯的差異。在教學中要面向全體學生出發(fā)，從不同的角度，設計不同的方法，使學生對概念作辯證的分析，進而認識概念的本質(zhì)屬性。例如選擇一些簡單的鞏固練習來辨認、識別，幫助學生掌握概念的內(nèi)涵與外延;通過變式或變式圖形，深化對概念的理解;通過新舊概念的對比，分析概念的矛盾運動，抓住概念之間的區(qū)別與聯(lián)系來形成正確的概念。只有讓學生深刻理解并掌握了概念，才能更好的幫助學生認識數(shù)學，進一步發(fā)展學生的數(shù)學思維，提高學生的理解能力。

【參考文獻】

[1]布魯納.《教育過程》.文化教育出版社.第48頁

[2]朱秀紅.《高中數(shù)學概念教學的分析與思考》.《數(shù)學教學通訊》.（教師版）.2011.3.第13頁

（作者單位：江蘇省外國語學校）