具有非倍測度的參數(shù)型Marcinkiewicz積分交換子在Hardy空間的估計?

程紀,逯光輝,周疆

(新疆大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，新疆烏魯木齊830046)

0 引言

設μ是定義在Rd上的正Radon測度且滿足下面的增長條件:對于所有的x∈Rd,r>0,都有

其中C0,n是正數(shù)且00,滿足μ(B(x,2r))≤Cμ(B(x,r)),則稱μ是倍測度.近年來,對于Marcinkiewicz積分交換子在Lebesgue空間,Morrey空間以及Hardy空間的研究,得到了很多結果[1?5].受此啟發(fā),本文主要討論參數(shù)型Marcinkiewicz積分交換子在Hardy空間的有界性.

設K(x,y)是定義在Rd×Rd{(x,y):x=y}上的局部可積函數(shù)且滿足下列條件:存在常數(shù)C>0,使得對所有的x,y∈Rd且x6=y有

以及對任意的x,y0∈Rd,有

定義關于上述K(x,y)的參數(shù)型Marcinkiewicz積分算子為

定義1如果函數(shù)滿足下列條件

則稱f∈Lipβ(0<β<1).

定義2設函數(shù)b∈Lipβ(μ)(0<β<1),定義相應的參數(shù)型Marcinkiewicz積分交換子

定義3設0

(1) 存在x0∈Rd以及r>0,使得suppa?B(x0,r),

(3) 當|γ|≤s時,有

定義4原子Hardy空間的定義為

定義5對0<α<∞,定義與非倍測度μ相關的分數(shù)次積分Iα為

Garc′?a-Cuerva和Gatto對Iα進行了研究并得到[7]:

引理1假定0<α0,使得對所有的λ>0和具有緊支集的函數(shù)f∈L∞(μ),有

引理2設0

其中下確界取遍f的所有原子分解.

引理3設核函數(shù)K(x,y)滿足(2)-(3),Mρb為(6)式所定義的參數(shù)型Marcinkiewicz積分交換子,

那么是從Lp(μ)到Lq(μ)上的有界算子.

注記1引用引理1,很容易驗證引理3的結論,這里略去證明過程.

全文中,C表示與主要參數(shù)無關的常數(shù),其值在不同的地方可能不盡相同.對任意μ可測集合E,χE表示其特征函數(shù).對于固定的p滿足1≤p<∞,p0表示p的共軛指數(shù),即

1 主要結果和證明

首先給出本文的主要定理:

定理1設K(x,y)滿足(2)和(3),為(6)式中定義的參數(shù)型Marcinkiewic積分交換子.假設Mρ在L2(μ)上有界,則對≤1以及f∈Hq.有

證明設a(x)是一個(p,2,0)原子,即a(x)滿足0. 則存在與a無關的常數(shù)C>0使得不妨設B?=4nB.由于

對于I1,取1和q1使得則由H¨older不等式,引理3以及a(x)的尺寸條件知

再來估計I2,

注意到x∈(B?)c和y∈B,有|x?y|～|x?x0|～|x?x0|+2r0,于是對I21,有

對于I22,利用原子的消失性以及|x?x0|+2r0

對于II2,類似于I21的估計,有

下面估計II1,有

對于II11,有

對于II12,有

參考文獻：

[1]陳冬香,吳麗麗.具有非倍測度的Marcinkiewicz積分交換子Morrey空間的有界性[J].數(shù)學物理學報,2011,31A(4):1105-1114.

[2]陳曉莉,陳冬香.具有非倍測度的Marcinkiewicz積分交換子有界性[J].數(shù)學年刊,2010,30A(3):375-384.

[3]Sawano Y,Tanaka H.Morrey spaces for non-doubling measures[J].Acta Mathematica Sinica(English Series),2005,21:1535-1544.

[4]Ding Y,Fan D S,Pan Y B.Lpboundedness of Marcinkiewicz integrals with Hardy functions kernel[J].Acta Math Sinica,2000,16(4):593-600.

[5]陸善鎮(zhèn),吳強,楊大春.交換子在Hardy空間上的有界性[J].中國科學,2002,32(3):232-244.

[6]Stein E M.On the functions of Littlewood-Paley,Lusin,and Marcinkiewicz[J].Trans Amer Math Soc.1958,88:430-466.

[7]Garc′?a-Cuerva J,Gatto A E.Boundedness properties of fractional integral operators associated to non-doubling measures[J].Studia Math,2004,162:245-261.