無約束線性映射對(duì)位形空間曲率的影響

王 勇，陳英華

（廣東醫(yī)學(xué)院 信息工程學(xué)院，廣東 東莞523808）

0 引言

分析力學(xué)的研究總是伴隨著人們對(duì)系統(tǒng)位形空間幾何結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)的不斷發(fā)展和深化。從歷史上看，“當(dāng)力學(xué)系統(tǒng)加上約束時(shí)，由直角坐標(biāo)過渡到廣義坐標(biāo)是特別方便的，而且也是十分必要的”［1］。事實(shí)上，從描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的牛頓力學(xué)過渡到描述完整約束系統(tǒng)的Lagrange力學(xué)的過程，也就是力學(xué)系統(tǒng)的位形空間從由坐標(biāo)描述的、平直的歐幾里得空間過渡到由廣義坐標(biāo)描述的、有曲率的Riemann空間的過程。而在非完整力學(xué)系統(tǒng)的研究中，則進(jìn)一步引入了準(zhǔn)坐標(biāo)的概念。準(zhǔn)坐標(biāo)既可以通過非完整系統(tǒng)所受的非完整約束來定義［2－4］，也可以通過在完整力學(xué)系統(tǒng)的位形空間上復(fù)合一個(gè)同維數(shù)的非完整映射來定義［5－6］，因此，和廣義坐標(biāo)所描述的、有曲率的Riemann位形空間相比，由準(zhǔn)坐標(biāo)所描述的位形空間顯然具有更加廣泛的適用性。目前的研究已證明：由準(zhǔn)坐標(biāo)所描述的、受到一階線性齊次非完整約束的系統(tǒng)的位形空間是既有曲率又有撓率的Riemann－Cartan空間。

筆者在之前的研究中提出了用一階線性映射建立兩個(gè)空間幾何性質(zhì)之間聯(lián)系的方法，利用這一方法可以從力學(xué)系統(tǒng)一個(gè)已知的位形空間出發(fā)去構(gòu)造新的、更加貼近系統(tǒng)物理實(shí)質(zhì)的位形空間，從而在新的位形空間中使物理問題的研究得以簡(jiǎn)化。在隨后的工作中，又將這一方法應(yīng)用到非完整力學(xué)和剛體力學(xué)等領(lǐng)域的研究中，取得了一些有意義的成果［3－6］。在對(duì)這些問題的研究中，我們關(guān)注的是一階線性映射的非完整性對(duì)系統(tǒng)位形空間撓率的影響，指出映射的非完整性正是位形空間撓率的來源，非完整映射把力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)普通的無撓率的位形空間映射為一個(gè)有撓率的Riemann－Cartan位形空間。在此過程中，一階線性齊次非完整約束系統(tǒng)所受約束的非完整性被描述為空間撓率，從而實(shí)現(xiàn)了力學(xué)系統(tǒng)非完整性的幾何化。

本文將在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究一階線性映射對(duì)系統(tǒng)位形空間曲率的影響。一般來說，如果一階線性映射隱含約束，則約束會(huì)對(duì)系統(tǒng)位形空間的曲率產(chǎn)生影響，這一點(diǎn)無論從物理或幾何直觀上都很容易理解（例如，三維歐幾里得空間中運(yùn)動(dòng)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)完整約束時(shí)，位形空間一般就約化為三維歐幾里得空間中的一個(gè)二維曲面）。本文將指出，映射的非完整性同樣可能影響位形空間的曲率。為了清楚說明這一點(diǎn)，將討論無約束的一階線性映射對(duì)空間曲率的影響。顯然，對(duì)隱含約束的一階線性映射來說，本文的研究思路也一樣適用，且能得到類似的研究結(jié)論。

本文采用愛因斯坦求和約定，指標(biāo)取值范圍都為1，2，…，n。

1 無約束線性映射對(duì)位形空間曲率的影響

考慮一個(gè)由n維Riemann位形空間［Y］（記該空間的廣義坐標(biāo)為yi，度規(guī)為gij，聯(lián)絡(luò)為）所描述的完整約束系統(tǒng)，設(shè)為空間［Y］的切空間上的一個(gè)無約束的線性映射，即：

則式（1）中的zρ構(gòu)成了一個(gè)新的n維位形空間［Z］的切空間的基矢，計(jì)算可得位形空間［Z］的度規(guī)和聯(lián)絡(luò)分別為：

考慮到映射（1）不含約束，所以有：

其中aρi滿足：

因此位形空間［Z］的聯(lián)絡(luò)可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為：

將式（5）帶入標(biāo)量曲率的公式［7］：

其中Rij為Ricci張量，定義為：

并考慮：

經(jīng)過計(jì)算可以證明位形空間［Z］的標(biāo)量曲率RZ為：

其中RY為位形空間［Y］的標(biāo)量曲率。

如果映射（1）是無約束的完整映射，則容易證明位形空間［Z］仍然是一個(gè)Riemann空間，且此時(shí)因?yàn)橛?/p>

由式（11）可以看出空間的標(biāo)量曲率將保持不變；從物理的角度看，此時(shí)無約束的完整映射就相當(dāng)于同一個(gè)位形空間中廣義坐標(biāo)之間的變換。而如果映射（1）是無約束的非完整映射，則式（12）不再成立，位形空間［Z］將是一個(gè)有撓率的Riemann－Cartan空間，且由式（11）可以看出，無約束的非完整映射不僅使系統(tǒng)的位形空間出現(xiàn)撓率，而且一般來說曲率也同樣發(fā)生了變化（一個(gè)例外是：如果空間［Y］是一個(gè)聯(lián)絡(luò)為零的平直空間，則由式（11）容易看出，即使映射（1）是無約束的非完整映射，空間［Z］的曲率仍然為零，保持不變，此時(shí)空間［Z］是一個(gè)有撓率、無曲率的特殊的 Riemann－Cartan空間——Weitzenbock空間）。

2 算例

考慮一個(gè)約束在單位球面上的、具有單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)，其位形空間［Y］是一個(gè)三維歐幾里得空間中的單位球面，取球面坐標(biāo)系中的仰角θ和方位角φ為廣義坐標(biāo)y1和y2，計(jì)算可得其度規(guī)、聯(lián)絡(luò)、標(biāo)量曲率和撓率分別為：

顯然，此時(shí)位形空間［Y］是一個(gè)常曲率、無撓率的Riemann空間。

如果在單位球面［Y］的切空間上引入一個(gè)無約束的線性映射：

容易驗(yàn)證映射（17）是一個(gè)非完整映射。將式（13），（14），（17）帶入式（2），可得位形空間［Z］的度規(guī)和聯(lián)絡(luò)分別為：

進(jìn)一步計(jì)算可得位形空間［Z］的標(biāo)量曲率和撓率分別為：

這說明位形空間［Z］是一個(gè)變曲率且有撓率的Riemann－Cartan空間。顯然，無約束非完整映射（17）不僅使質(zhì)點(diǎn)的位形空間具有了撓率，而且也改變了位形空間的曲率。

3 結(jié)論

從物理的角度看，完整的無約束線性映射相當(dāng)于約束系統(tǒng)位形空間不同廣義坐標(biāo)之間的變換關(guān)系，這種變換并不改變位形空間的曲率和撓率，因此本質(zhì)上只是描述同一個(gè)位形空間的不同廣義坐標(biāo)之間的變換。相對(duì)而言，非完整的無約束線性映射則要復(fù)雜得多，這種映射不僅會(huì)給位形空間帶來?yè)下?，而且也改變了空間的曲率。由于沒有約束，顯然此時(shí)空間曲率的變化是由于映射的非完整性所造成的。這說明映射的非完整性不僅能表現(xiàn)在空間撓率的變化上，而且也能表現(xiàn)在空間曲率的變化上，這從一個(gè)側(cè)面體現(xiàn)出非完整問題的復(fù)雜性。同時(shí)也說明，和撓率一樣，位形空間曲率的變化也能反過來反映出兩個(gè)位形空間之間映射的非完整性。

［1］ 梅鳳翔．分析力學(xué)：上卷［M］．北京：北京理工大學(xué)出版社，2013：12．

［2］ Kleinert H，Shabanov S V．Space with torsion from embedding，and the special role of autoparallel trajectories［J］Phys Lett B，1998，428：315－321．

［3］ Guo Y X，Wang Y，Chee G Y，et al．Nonholonomic versus vakonomic dynamics on a Riemann－Cartan man－ifold［J］J Math Phys，2005，46（5）：062902．

［4］ 王勇，郭永新．Riemann－Cartan空間中的d’A1embert－Lagrange 原 理 ［J］．物 理 學(xué) 報(bào)，2005，54（12）：5517－5520．

［5］ 王勇，郭永新，呂群松，等．非完整映射理論與剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 的 幾 何 描 述 ［J］．物 理 學(xué) 報(bào)，2009，58（8）：5142－5149．

［6］ Guo Yongxin，Liu Chang，Wang Yong，et al．Nonholonomic mapping theory of autoparallel motions in riemann－cartan space［J］．Science China（Physics，Mechanics ＆ Astronomy），2010（9）：1707－1715．

［7］ 余揚(yáng)振，馮承天．物理學(xué)中的幾何方法［M］．北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版社，1998：487．