淺論概念同化策略在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

☉江蘇省無(wú)錫市江南中學(xué) 高峰官

淺論概念同化策略在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

☉江蘇省無(wú)錫市江南中學(xué) 高峰官

概念是思維的最基本單元，數(shù)學(xué)概念不僅是建立理論體系的基礎(chǔ)，同時(shí)也是解決問(wèn)題的前提.因此概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能學(xué)習(xí)的核心.

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)主要有兩種基本形式：概念形成和概念同化.概念形成主要依靠對(duì)具體事物的觀察、抽象、概括獲得概念.學(xué)生在學(xué)習(xí)用定義形式陳述的概念時(shí)，要主動(dòng)與其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念相互聯(lián)系，相互作用，并領(lǐng)會(huì)新概念的本質(zhì)屬性，從而獲得概念，這叫概念同化.隨著學(xué)生年級(jí)的升高和知識(shí)的積累，概念同化逐漸成為他們獲得概念的主要方式.

一、充分認(rèn)識(shí)概念同化策略及其教學(xué)價(jià)值

概念同化策略就是指學(xué)生直接利用原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)概念來(lái)定義和理解新概念的學(xué)習(xí)過(guò)程和方法.在同化過(guò)程中，同樣需進(jìn)行積極思維，但與概念形成的觀察、抽象、概括過(guò)程不同.概念同化的過(guò)程可表示為：（1）給出定義，揭示本質(zhì)屬性，給出名稱和符號(hào)；（2）與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系，明確新概念的內(nèi)涵與外延；（3）區(qū)別于原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念；（4）將新概念納入原有的概念體系中；（5）原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到充實(shí)和優(yōu)化.

從認(rèn)知理論上講，概念同化實(shí)際上是奧蘇貝爾的認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化論在概念教與學(xué)中的應(yīng)用.本質(zhì)上是根據(jù)學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教學(xué)情境，幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高概念教與學(xué)的水平.概念同化同樣需要教師對(duì)這種學(xué)習(xí)方式的心理機(jī)制進(jìn)行深入探析，尋求有效策略，精心設(shè)計(jì)相關(guān)學(xué)習(xí)過(guò)程.

運(yùn)用概念同化策略，有助于學(xué)生從已有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)背景出發(fā)，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活緊密聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)學(xué)習(xí)情境，提高學(xué)習(xí)的意向性和積極性；可以跨越概念形成過(guò)程中所包含的辨別、抽象、分析和概括等相對(duì)復(fù)雜的心理過(guò)程，這樣使概念學(xué)習(xí)更為方便，也更具有邏輯性和系統(tǒng)性，便于認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)一步優(yōu)化；可以溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有助于學(xué)生理解、記憶和運(yùn)用新概念，在遷移中發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力.

二、重點(diǎn)關(guān)注概念同化策略在教學(xué)中存在的問(wèn)題

概念同化的前提是學(xué)生具有良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和豐厚的知識(shí)背景，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的抽象概括能力.由于多種因素影響，學(xué)生對(duì)概念的接受和理解的程度往往不同.歸納一下，概念同化策略教學(xué)中主要存在以下幾個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題1：沒(méi)有充分運(yùn)用學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，往往從他原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)如知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，才能去認(rèn)識(shí)、理解和區(qū)分事物的各種聯(lián)系和性質(zhì).就學(xué)習(xí)而言，學(xué)生就必須掌握那些作為定義項(xiàng)的概念.就教學(xué)而言，教師就應(yīng)當(dāng)先創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，想方設(shè)法喚起學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn).例如，教師教學(xué)概率的概念時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)總數(shù)、頻數(shù)、頻率的概念，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到概率是指進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，某事件發(fā)生的頻率所趨近的一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定值.如果學(xué)生對(duì)頻率概念都不清楚，那么他對(duì)概率的理解一定是模糊不清的.

問(wèn)題2：不注重運(yùn)用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境

概念形成主要依賴的是對(duì)感性材料的抽象歸納，而概念同化主要依靠的是對(duì)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的概括.因此感性材料和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是概念學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ).在教學(xué)中，教師往往對(duì)學(xué)生的感性材料和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)重視不夠，導(dǎo)致學(xué)生的感知不充分，不豐富，難以抽象概括出對(duì)象的本質(zhì)屬性.針對(duì)這種情況，教師要盡可能地創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，盡可能地采用實(shí)物、模型或舉例等方式，加以豐富學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn).概念同化時(shí)，要選擇典型材料說(shuō)明概念，以突出概念的本質(zhì)屬性.

問(wèn)題3：在引導(dǎo)學(xué)生抽象、概括方面缺少有效方法

盡管概念同化不像概念形成那樣需要觀察、分析、抽象、歸納概括等復(fù)雜的過(guò)程，但必要的抽象概括還是不可少的.通常所說(shuō)的抽象，是指在思維中把同類的各個(gè)對(duì)象的共同本質(zhì)屬性抽取出來(lái)，舍棄每個(gè)個(gè)別對(duì)象的所有其他屬性.所謂概括是把給定的對(duì)象納入到容量更大且包含前者的集合的過(guò)程.抽象與概括是形成和掌握概念的前提.

在實(shí)際教學(xué)中，我們往往發(fā)現(xiàn)學(xué)生的抽象概括能力不夠，不能抓住事物的本質(zhì)屬性.要提高學(xué)生的抽象概括能力，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生分清本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性.為此，教師教學(xué)時(shí)，可經(jīng)常利用彩色粉筆或加重語(yǔ)氣的方式，突出概念的本質(zhì)屬性.學(xué)生對(duì)概念含糊不清時(shí)，教師要明確指出哪些是非本質(zhì)屬性，它們與定義概念無(wú)關(guān).例如，對(duì)于三角形的垂心，往往有學(xué)生認(rèn)為只有三角形三邊上的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部才稱為垂心，其原因就是學(xué)生把非本質(zhì)屬性（交點(diǎn)在形內(nèi)、形外、形上）誤當(dāng)為本質(zhì)屬性了.因此教師及時(shí)指出概念所反映事物的非本質(zhì)屬性，突出本質(zhì)屬性，這樣能促進(jìn)學(xué)生理解、掌握概念的內(nèi)涵.

三、切實(shí)提升概念同化策略教學(xué)的有效性

認(rèn)知心理學(xué)派認(rèn)為實(shí)現(xiàn)概念同化應(yīng)具備一定條件：首先，學(xué)習(xí)者要具備把新概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)觀念關(guān)聯(lián)起來(lái)的意向；其次，學(xué)習(xí)材料呈現(xiàn)對(duì)新概念的學(xué)習(xí)必須具有潛在意義.兩個(gè)條件缺一不可，否則會(huì)導(dǎo)致機(jī)械性學(xué)習(xí).因此，教學(xué)時(shí)，要將新概念的定義或特征描述呈現(xiàn)給學(xué)生，并要求他們?cè)趦烧咧g建立聯(lián)系，以促使同化.

1.探尋已有固定觀念，注意新、舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系

概念同化和概念形成教學(xué)一樣，都要讓學(xué)生理解概念的本質(zhì)特征.新概念的本質(zhì)特征是用定義的方式直接呈現(xiàn)給學(xué)生，因此學(xué)生用于同化的概念主要是上位概念，往往是一種下位學(xué)習(xí).例如教學(xué)“正方形”的概念時(shí)，要用學(xué)生頭腦中已形成的上位概念“矩形或菱形”來(lái)同化.因此，在進(jìn)行概念同化教學(xué)前，教師首先要知曉和恰當(dāng)引出學(xué)生頭腦中用以同化新概念的原有知識(shí).有時(shí)在概念同化教學(xué)時(shí)，揭示概念本質(zhì)特征的定義中會(huì)涉及若干已有概念.如方程的本質(zhì)屬性是“含有未知數(shù)的等式”，其中涉及“等式”“未知數(shù)”兩個(gè)概念.教師不僅要激起學(xué)生回憶出作為上位概念的“等式”，也要讓學(xué)生回憶起構(gòu)成關(guān)鍵特征的“未知數(shù)”概念.總之，在呈現(xiàn)定義性概念的本質(zhì)特征前，一定要充實(shí)和豐富學(xué)生頭腦中具有同化和理解新概念本質(zhì)屬性的原有知識(shí).概念同化學(xué)習(xí)，最常用的方式是溫故引新.這里需要特別強(qiáng)調(diào)的是：為新概念學(xué)習(xí)而準(zhǔn)備的舊知識(shí)的復(fù)習(xí)，不是漫無(wú)邊際的復(fù)習(xí)，而是有針對(duì)性的復(fù)習(xí)，那么如何進(jìn)行有針對(duì)性的復(fù)習(xí)呢？

（1）從舊知識(shí)中選擇恰當(dāng)?shù)男轮R(shí)的自然生長(zhǎng)點(diǎn).因?yàn)榕f知識(shí)不僅能起到過(guò)渡與搭橋作用，而且還能作為納入新知識(shí)的連接點(diǎn)與固定點(diǎn).

（2）巧用比較法，通過(guò)比較新、舊知識(shí)的異同點(diǎn)引入新知識(shí)，這樣可以避免新、舊知識(shí)之間的干擾，又有利于促進(jìn)新、舊知識(shí)之間的學(xué)習(xí).例如通過(guò)平行四邊形與等腰梯形異同點(diǎn)的比較，既鞏固了平行四邊形的概念，又讓學(xué)生在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上吸納和理解了等腰梯形的新概念.

（3）設(shè)計(jì)“先行組織者”，引導(dǎo)學(xué)生把新知識(shí)與舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái).先行組織者作為先于學(xué)習(xí)內(nèi)容呈現(xiàn)的一種引導(dǎo)性材料，其目的是在于把新知識(shí)納入到已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，教師如果在教學(xué)設(shè)計(jì)中對(duì)先行組織者設(shè)計(jì)得當(dāng)，學(xué)生甚至?xí)霈F(xiàn)創(chuàng)造性的理解方式和技巧.例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系概念之前，教師有意識(shí)地介紹法國(guó)大數(shù)學(xué)家笛卡爾的故事，這一故事中涉及笛卡爾如何經(jīng)過(guò)冥思苦想解決了質(zhì)點(diǎn)定位的問(wèn)題.這樣既介紹了數(shù)學(xué)史有關(guān)內(nèi)容，拓寬了學(xué)生的知識(shí)面，又起到了學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的先行組織者作用，激發(fā)了學(xué)生關(guān)注生活、勇于創(chuàng)新的意識(shí).

2.遵循認(rèn)知規(guī)律，逐級(jí)提升概念同化的程度

概念同化的本質(zhì)就是揭示新、舊概念的內(nèi)在聯(lián)系.初中生正處于形象思維向抽象邏輯思維的轉(zhuǎn)變階段，因此，初中數(shù)學(xué)概念同化學(xué)習(xí)中，新、舊概念聯(lián)系的復(fù)雜性、抽象性決定了學(xué)習(xí)者對(duì)新概念的精確建構(gòu)不可能一步到位，像概念形成一樣，也應(yīng)該遵循由感知—表象—抽象的認(rèn)識(shí)規(guī)律.

例如，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)時(shí)，學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)意義的理解，需經(jīng)歷一個(gè)逐步抽象的過(guò)程，需要引導(dǎo)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)一種漸進(jìn)式的轉(zhuǎn)換和提升.具體可以設(shè)計(jì)成以下幾個(gè)環(huán)節(jié).

（1）情景感知.要學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)概念，教師要先復(fù)習(xí)正數(shù)與零的概念，然后創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引出生活中許多具有相反意義的量，如天氣預(yù)報(bào)中的零上多少度與零下多少度；家庭收入1000元與支出500元；海平面以上80米與海平面以下30米；倉(cāng)庫(kù)中運(yùn)進(jìn)大米50噸與運(yùn)出大米30噸等，這些教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生充分感知到生活中確實(shí)有很多具有相反意義的量，而我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)零與正數(shù)的概念，那么與正數(shù)具有相反意義的數(shù)又叫什么數(shù)呢？從而有效地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的好奇心和學(xué)習(xí)意向.

（2）數(shù)形結(jié)合.《九章算術(shù)》曰：“析理以辭，解體用圖.”古往今來(lái)，數(shù)與形密不可分.數(shù)形結(jié)合具有雙向性，一方面“以形助數(shù)”——借助形的生動(dòng)和直觀來(lái)闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系；另一方面，以數(shù)助形——借助數(shù)的簡(jiǎn)潔性和概括性來(lái)提煉事物（圖形）的本質(zhì).顯然，在認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的過(guò)程中，給學(xué)生提供了實(shí)際生活情景后，可利用以形助數(shù)的手段，借助于畫直線圖形以某點(diǎn)為界點(diǎn)，表示溫度的零上與零下、海平面上與海平面下、向南與向北等，我們規(guī)定“交界點(diǎn)”表示零，其中一個(gè)為正數(shù)，另一個(gè)就為負(fù)數(shù)，這樣能通過(guò)圖形充分感知到一對(duì)相反意義的量，這為負(fù)數(shù)概念的理解提供了豐富的圖形直觀支撐，使學(xué)生形成有關(guān)負(fù)數(shù)的清晰表象，為負(fù)數(shù)的抽象概括提供堅(jiān)實(shí)的表象基礎(chǔ).

（3）抽象概括.在學(xué)生經(jīng)歷生活背景與圖形表示之后，就可在這些豐富的實(shí)例和直線圖形的基礎(chǔ)上抽象出負(fù)數(shù)的定義：比零小的數(shù)是負(fù)數(shù).正、負(fù)數(shù)表示一對(duì)相反意義的量.

可見(jiàn)，概念同化的學(xué)習(xí)方式雖然從本質(zhì)上說(shuō)是一種從概念到概念的過(guò)程，但是新、舊概念之間聯(lián)系的建立，不是一種簡(jiǎn)單空洞的邏輯鏈接，同樣需要根據(jù)學(xué)生的心理特點(diǎn)組織一個(gè)生動(dòng)豐富的學(xué)習(xí)過(guò)程：情景感知—數(shù)形結(jié)合—抽象概括.只有這樣，才能使新概念真正與已有的概念體系相融合，獲得意義建構(gòu).

3.引導(dǎo)學(xué)生同化與分化相整合，深化概念理解

奧蘇貝爾在同化理論的基礎(chǔ)上還提出了學(xué)習(xí)組織的四大原則.其中第一條原則就是漸近分化的原則.該原則倡導(dǎo)在學(xué)習(xí)新知識(shí)的同時(shí)，明確新、舊知識(shí)的區(qū)別，并使新、舊知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別協(xié)調(diào)整合.這與美國(guó)心理學(xué)家威特金提出的心理分化理論也是一致的.心理分化的一般原則即從渾然一體到清晰分化的發(fā)展.因此，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的意義建構(gòu)也應(yīng)該是一個(gè)從同化到分化的過(guò)程，兩者應(yīng)有機(jī)統(tǒng)一.在概念同化過(guò)程中，如果說(shuō)同化是尋找新、舊概念的共同特征，那么分化就是辨析新、舊概念的區(qū)別特征.對(duì)中學(xué)生來(lái)說(shuō)，這種分化也應(yīng)該是漸近式的.

例如，我們?cè)趯W(xué)習(xí)了變量與變化概念后，引入函數(shù)的概念.首先，我們要認(rèn)識(shí)到函數(shù)描述性的概念“雛形”：在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量，一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化，但這是不準(zhǔn)確的界定，沒(méi)有抓住概念的本質(zhì)特征.函數(shù)的本質(zhì)特征是：在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，對(duì)于變量x的每一個(gè)值，變量y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng).這時(shí)，可舉出一個(gè)反例深入理解函數(shù)概念：y是非負(fù)數(shù)x的平方根，y不是x的函數(shù).這個(gè)反例，可促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)與一個(gè)量隨另一個(gè)量變化而變化兩個(gè)概念的分化，從而加深對(duì)概念的理解.可見(jiàn)，在教學(xué)中，教師通過(guò)由粗略描述到精確定義、由肯定例證到否定例證的教學(xué)設(shè)計(jì)，可逐步實(shí)現(xiàn)新、舊概念的精確分化.這一過(guò)程將求同的思維過(guò)程實(shí)施逆轉(zhuǎn)：變求同為求異，變同化為分化，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的意義建構(gòu).

4.引導(dǎo)學(xué)生掌握概念圖策略

一個(gè)數(shù)學(xué)概念的獲得，既包括對(duì)它本身涵義的理解，同時(shí)還包括對(duì)不同概念間的各種相互聯(lián)系的理解.新的概念只有納入相應(yīng)的概念系統(tǒng)中，與其他概念建立必然的聯(lián)系，才能被學(xué)習(xí)者全面、深刻地理解和掌握.概念圖策略是指學(xué)習(xí)者按照自己對(duì)知識(shí)的理解，用結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的形式表示出概念的意義以及與其他概念之間聯(lián)系的一種策略.一個(gè)完整的概念圖要包括命題、層次等級(jí)、橫向聯(lián)系和實(shí)例四個(gè)方面.

（1）命題.命題是兩個(gè)概念通過(guò)某個(gè)連接詞而形成的，例如“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)”這個(gè)命題是通過(guò)“是”而形成的.

（2）層次等級(jí).概念圖中的概念必須是有層次的，這以概念的抽象水平為依據(jù).

（3）橫向聯(lián)系.概念圖必須反映同一或不同抽象層次概念之間的“橫向”聯(lián)系.

（4）實(shí)例.概念圖不只是抽象的概念，還需用具體實(shí)例豐富和加深學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí).如實(shí)數(shù)的概念圖如下所示.

概念圖是一種同化學(xué)習(xí)策略，更是一種有效的“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的方式.引導(dǎo)學(xué)生掌握概念圖策略可分為三個(gè)環(huán)節(jié)：首先，教師要結(jié)合具體實(shí)例，講清楚概念圖的構(gòu)成及其制作步驟，做出示范；其次，學(xué)生模仿教師的步驟，師生共同編制概念圖，教師及時(shí)給予指導(dǎo)；最后，學(xué)生自己制作有關(guān)的概念圖，相互交流、比較和評(píng)價(jià)，并及時(shí)修改和補(bǔ)充，從而加深對(duì)有關(guān)概念及其內(nèi)在聯(lián)系的理解.

總之，對(duì)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)，只有理清概念的關(guān)聯(lián)，并納入系統(tǒng)之中，才能真正掌握它.因此，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生把學(xué)過(guò)的概念進(jìn)行分析、比較，揭示概念的共性、特性、區(qū)別與聯(lián)系，形成概念的網(wǎng)絡(luò)圖.

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